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2012高考数学一轮复习:1.3.2《算法案例——秦九邵算法》课件(人教A版必修3)


1.3

算法案例

第二课时

例2 求325,130,270三个数的最大 公约数. 因为325=130×2+65,130=65×2, 所以325与130的最大公约数是65. 因为270=65×4+10,65=10×6+5, 10=5×2,所以65与270最大公约数是5. 故325,130,270三个数的最大公约 数

是5.

问题提出

1.辗转相除法和更相减损术,是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法, 我们将算法转化为程序后,就可以由计 算机来执行运算,实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合.
2.对于求n次多项式的值,在我国古 代数学中有一个优秀算法,即秦九韶算 法,我们将对这个算法作些了解和探究.

知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序
x=5 f=2*x^5-5*x^4-4*x^3+3*x^2-6*x+7

PRINT f
END

点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.

思考2:在上述问题中,若先计算x2的值, 然后依次计算x2·x,(x2·x)·x, ((x2·x)·x)·x的值,这样每次都可以 利用上一次计算的结果,,那么一共做 了多少次乘法运算和多少次加法运算? 9次乘法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 第二种做法能更快地得到结果.

思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? v0=2 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x v2=v1x-4=5×5-4=21 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(((2x v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
所以,当x=5时,多项式的值是2677.

v5=v4x+7=534×5+7=2677

5次乘法运算,5次加法运算.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.

思考4:利用最后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0的值,这 个多项式应写成哪种形式? f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+?+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+?+a2)x+a1)x+a0 =? =(?((anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0.

思考4:对于f(x)=(?((anx+an-1)x+ an-2)x+?+a1)x+a0,由内向外逐层计算 一次多项式的值,其算法步骤如何? 第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2.

第三步,计算v3=v2x+an-3. …
第n步,计算vn=vn-1x+a0.

思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法,利用该算法求f(x0)的 值,一共需要多少次乘法运算,多少次 加法运算? n次乘法运算, n次加法运算 思考6:在秦九韶算法中,记v0=an,那么 第k步的算式是什么?

vk=vk-1x+an-k (k=1,2,?,n)

知识探究(二):秦九韶算法的程序设计

思考1:用秦九韶算法求多项式的值,可 以用什么逻辑结构来构造算法?其算法 步骤如何设计?
第一步,输入多项式的次数n,最高次 项的系数an和x的值. 第二步,令v=an,i=n-1. 第三步,输入i次项的系数ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断i≥0是否成立.若是,则返回第 二步;否则,输出多项式的值v.

思考2:该算法的程序框图如何表示?
开始 输入n,an,x的值 v=an i=n-1 i=i-1

v=vx+ai
输入ai i≥0? 否 输出v 结束



思考3:该程序框图对应的程序如何表述? 开始 INPUT “n=”;n 输入n,a ,x的值 INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a v=an i=n-1 i=n-1 i=i-1 WHILE i>=0 v=vx+a INPUT “ai=”;b v=v*x+b 输入a i=i-1 i≥0? 是 否 WEND 输出v PRINT y 结束 END
n n i i

理论迁移

例1 已知一个5次多项式为
f (x ) = 5x + 2x + 3.5x - 2.6x + 1.7x - 0.8
5 4 3 2

用秦九韶算法求f(5)的值.
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3451.2; v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
所以f(5)= =17255.2.

变式:例2 已知一个5次多项式为 5 3 f (x ) = 5x + 3.5x + 1.7x - 0.8 用秦九韶算法 求当x=5时,V1,V3的值及求f(5)的值做多 少次乘法运算.
v1=5×5+0=25; v2=25×5+3.5=128.5; v3=128.5×5+0=642.5; v4=642.5×5+1.7=3214.2; v5=3214.2×5-0.8=16070.8.

解:f(x)=((((5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.

所以v1=25, v3=642.5 ,f(5)=16070.8.

例3 阅读 INPUT “x=”;a 下列程序,说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么? WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
求多项式 在x=a时的值.
f (x ) = 1 + 2x + 3x + 4x
2 3

+ 5x

4

小结作业

评价一个算法好坏的一个重要标志 是运算的次数,如果一个算法从理论上 需要超出计算机允许范围内的运算次数, 那么这样的算法就只能是一个理论算法. 在多项式求值的各种算法中,秦九韶算 法是一个优秀算法.

作业: P45练习:2. P48习题1.3A组:2.


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