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数学填空压轴题(答案与解析)


数学填空压轴题(答案与解析)
一.填空题(共 30 小题) 1. (2015?滕州市校级模拟)已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x)< , 则不等式 f(x2)< 的解集为 (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .

【考点】导数的运算;其他不等式的解法.菁优网版权所有 【专题】压轴题;导数的概念及应用. 【分析】设 F(x)=f(x)﹣ x,根据题意可得函数 F(x)在 R 上单调递减,然后根据 f(x2) < 可得 f(x2)﹣ <f(1)﹣ ,最后根据单调性可求出 x 的取值范围.

【解答】解:设 F(x)=f(x)﹣ x,则 F′(x)=f′(x)﹣ ∵f′(x)< ,∴F′(x)=f′(x)﹣ <0 即函数 F(x)在 R 上单调递减 而 f(x2)< 即 f(x2)﹣ <f(1)﹣

∴F(x2)<F(1)而函数 F(x)在 R 上单调递减 ∴x2>1 即 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及利用单调性解不等式和构造法的应用,同时考查了运 算求解的能力,属于中档题.

2. (2014?浙江校级一模)已知:M={a|函数 y=2sinax 在[
﹣|x﹣1|

]上是增函数},N={b|方程 3 在 D 内没有最小

﹣b+1=0 有实数解},设 D=M∩N,且定义在 R 上的奇函数 m> .

值,则 m 的取值范围是

【考点】利用导数研究函数的单调性;奇函数.菁优网版权所有 【专题】压轴题. 【分析】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围.再根据 在 D 内没有最

小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定出函数的 最小值在区间 D 的左端点取到即可, 由于直接研究有一定困难, 可将函数变为( f x) = = ,

构造新函数 h(x)=

,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题,

利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范围.

【解答】解:∵M={a|函数 y=2sinax 在[ ,解得 a ∵N={b|方程 3
﹣|x﹣1|

]上是增函数,可得 }

且 a>0,即

,故 M={a|a

﹣b+1=0 有实数解},所以可得 N={b|1<b≤2}

∴D=M∩N=(1, ] ∵ 是定义在 R 上的奇函数

∴f(0)=0 可得 n=0 ∴f(x)= ,又 在 D 内没有最小值

∴f(x)=

=



定义在 R 上的奇函数 若 m>0,令 h(x)= ,则

在 D 内没有最小值,所以分母恒为正,即 m 必须为正数, 在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有

最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研究: 由于 h′(x)=1﹣ 函数 h(x)在(0, 当 当 ,令 h′(x)>0,可解得 x> )是减函数,在( ,令 h′(x)<0,可解得 x< ,由此知,

,+∞)上是增函数,

≥ 时,即 m≥ 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意 ≤1 时,即 m≤1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( ) ,不符合题意 < 时,即 1<m< 时,函数 h(x)在(1, )是减函数,在( , )上是增函

当 1<

数,必有 h(1)>h( )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有 1+m> + ,

解得 m> ,符合题意 综上讨论知,m 的取值范围是 m> , 故答案为 m> 【点评】 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系, 三角函数的周期求法及 对三角函数图象特征的理解, 指数函数的值域及集合的运算. 考查了转化的思想及分类讨论的思 想,计算的能力,本题综合性强涉及到的知识点较多,属于综合题中的难题.

3. (2014?昆山市校级模拟)已知函数 f(x)=﹣xlnx+ax 在(0,e)上是增函数,函数 .当 x∈[0,ln3]时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,则 a= .

【考点】利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 【专题】综合题;压轴题. 【分析】根据函数 f(x)=﹣xlnx+ax 在(0,e)上是增函数,可得 f'(x)=﹣lnx+a﹣1≥0 在(0, e)恒成立,从而 f'(x)=﹣lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可,进而可得参数的范围;利用函数 .当 x∈[0,ln3]时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,可 求参数的值,从而可得结论. 【解答】解:∵f(x)=﹣xlnx+ax,∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1 ∵函数 f(x)=﹣xlnx+ax 在(0,e)上是增函数 ∴f'(x)=﹣lnx+a﹣1≥0 在(0,e)恒成立 ∵y=﹣lnx 是(0,e)上的减函数 ∴f'(x)=﹣lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可,即﹣1+a﹣1≥0 ∴a≥2

∵x∈[0,ln3],∴ex∈[1,3] ∴ex=a 时,函数取得最小值为 ∵x=0 时, 3>a≥2 时,函数 g(x)的最大值 M= ∵函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ∴3>a≥2 时, ∴a= a>3 时,x0>ln3,此时 x 在[0,ln3]内单调递减,所以函数在 f(0)处取最大值,在 f(ln3)处 取最小值,a= 故答案为: 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数最值的确定,其中确定函数 g(x) 的最大值 M 与最小值 m 是关键. 不符合 a 大于 3,所以舍去. ;x=ln3 时,

4. (2014?江苏模拟)已知函数 f(x)满足 f(x)=2f( ) ,且 f(x)≠0,当 x∈[1,3],f(x) =lnx, 若在区间[ , 3]内, 函数 g (x) =f (x) ﹣ax 有三个不同零点, 则实数 a 的取值范围是 < . ≤a

【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 【专题】压轴题;导数的综合应用. 【分析】可以根据函数 f(x)满足 f(x)=2f( ) ,求出 x 在[ ,1]上的解析式,已知在区间[ ,

3]内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点,对 g(x)进行求导,利用导数研究其单调 性,从而求出 a 的范围. 【解答】解:在区间[ ,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点, ①a>0 若 x∈[1,3]时,f(x)=lnx,可得 g(x)=lnx﹣ax, (x>0) g′(x)= ﹣a= ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 g(x)必须在[1,3]上有两个交点,



,解得,

≤a< ①



<x<1,可得 1< <3, )=2ln , ,此时 g(x)=﹣2lnx﹣ax,

∴f(x)=2f( g′(x)=﹣

若 g′(x)>0,可得 x<﹣ <0,g(x)为增函数 若 g′(x)<0,可得 x>﹣ ,g(x)为减函数,

在[ ,1]上有一个交点,则

,解得 0<a≤6ln3②

综上①②可得

≤a< ;

②若 a<0,对于 x∈[1,3]时,g(x)=lnx﹣ax>0,没有零点,

不满足在区间[ ,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣ax,有三个不同的零点, ③a=0,显然只有一解,舍去 综上: ≤a< . ≤a< .

故答案为:

【点评】此题充分利用了分类讨论的思想,是一道综合题,难度比较大,需要排除 a<0 时的情 况,注意解方程的计算量比较大,注意学会如何分类讨论. 5. (2014?南昌模拟)已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函 数 y=f′(x)的图象如图示. x f(x) ﹣1 1 下列关于 f(x)的命题: ①函数 f(x)的极大值点为 0,4; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点; ⑤函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 ①②⑤ . 0 2 4 2 5 1

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 【专题】综合题;压轴题;导数的综合应用. 【分析】由导数图象可知,函数的单调性,从而可得函数的极值,故可得①,②正确;因为在 当 x=0 和 x=4,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,要使当 x∈[﹣1,t]函数 f(x)的最大值是 4,当 2≤t≤5,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f(x)=a 知,因为极小值 f(2)未知, 所以无法判断函数 y=f(x)﹣a 有几个零点,所以④不正确,根据函数的单调性和极值,做出 函数的图象如图,即可求得结论. 【解答】解:由导数图象可知,当﹣1<x<0 或 2<x<4 时,f'(x)>0,函数单调递增,当 0 <x<2 或 4<x<5,f'(x)<0,函数单调递减,当 x=0 和 x=4,函数取得极大值 f(0)=2,f (4)=2,当 x=2 时,函数取得极小值 f(2) ,所以①正确;②正确; 因为在当 x=0 和 x=4,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2,要使当 x∈[﹣1,t]函数 f(x)的最 大值是 4,当 2≤t≤5,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确; 由 f(x)=a 知,因为极小值 f(2)未知,所以无法判断函数 y=f(x)﹣a 有几个零点,所以④ 不正确, 根据函数的单调性和极值,做出函数的图象如图, (线段只代表单调性) ,根据题意函数的极小值 不确定,分 f(2)<1 或 1≤f(2)<2 两种情况,由图象知,函数 y=f(x)和 y=a 的交点个数有 0,1,2,3,4 等不同情形,所以⑤正确,

综上正确的命题序号为①②⑤. 故答案为:①②⑤.

【点评】本题考查导数知识的运用,考查导函数与原函数图象之间的关系,正确运用导函数图象 是关键. 6. (2013?江西)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)= 【考点】导数的运算;函数的值.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】由题设知,可先用换元法求出 f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出 f′(1) . 【解答】解:函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex, 令 ex=t,则 x=lnt,故有 f(t)=lnt+t,即 f(x)=lnx+x, ∴f′(x)= +1,故 f′(1)=1+1=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式,属于基本题型,运算型. 2 .

7. (2013?息县校级一模)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 则 a 等于 ﹣ 或﹣1 .

都相切,

【考点】导数的几何意义.菁优网版权所有 【专题】压轴题. 【分析】已知点(1,0)不知曲线 y=x3 上,容易求出过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 相切的切 点的坐标,进而求出切线所在的方程;再利用切线与 y=ax2+ x﹣9 相切,只有一个公共点,两

个方程联系,得到二元一次方程,利用判别式为 0,解出 a 的值. 【解答】解:由 y=x3?y'=3x2,设曲线 y=x3 上任意一点(x0,x03)处的切线方程为 y﹣x03=3x02 (x﹣x0) , (1,0)代入方程得 x0=0 或 ①当 x0=0 时,切线方程为 y=0,则 ,

②当

时,切线方程为

,由



∴ 故答案为:﹣ 或﹣1

或 a=﹣1.

【点评】熟练掌握导数的几何意义,本题属于中档题,应学会当直线与抛物线相切时,考虑判别 式为 0 这一等式.对于本题需提醒的是,对于类似 y=ax2+bx+c 这种情况,应考虑讨论 a 是否为 0 这一情形. 8. (2013?仙桃校级模拟)已知 4 个命题: ①若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 则三点(10, ) , (100, ) , (110, ) ,共线;

②命题:“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”; ③若函数 f(x)=x﹣ +k 在(0,1)没有零点,则 k 的取值范围是 k≥2, ④f(x)是定义在 R 上的奇函数,f′(x)>0,且 f(2)= ,则 xf(x)<1 的解集为(﹣2,2) . 其中正确的是 权所有 【专题】计算题;综合题;压轴题. 【分析】利用三点连线的斜率关系判定①的正误; 直接写出命题的否命题即可判定②的正误; 利用函数的单调性,零点存在定理判定③的正误; 通过函数的导数,以及函数的性质,求出不等式的解集,判定④的正误,即可得到结论. 【解答】解:① = , = , = ,设等差数列的公差为 d, ①②④ .

【考点】利用导数研究函数的单调性;命题的否定;函数零点的判定定理;三点共线.菁优网版



=

= ,

=

= ,

即 前两个点连线的斜率等于后两个点连线的斜率,故三点共线,故①正确. ②根据命题的否定的定义,“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”;是正确的,故②正 确. ③函数 f(x)=x﹣ +k 在(0,1)没有零点,故 f′(x)=1+ 增函数,x﹣ <0,当 k≥2 时,函数有零点,③不正确. ④f(x)是定义在 R 上的奇函数,f′(x)>0,且 f(2)= ,所以 x>0 时,函数是恒为正值, f(0)=0,x<0 时函数为负值,2f(2)=1,则 xf(x)<1 的解集为(﹣2,2) .正确. >0,所以函数在(0,1)内是

故答案为:①②④. 【点评】本题是综合题,考查三点共线,命题的否定,零点,导数与不等式的知识,考查知识的 灵活运应,是中档题. 9. (2013?盐城校级三模)函数 f(x)= x2﹣2tx+3lnx,g(x)=

,函数 f(x)在 x=a,x=b

处取得极值(0<a<b) ,g(x)在[﹣b,﹣a]上的最大值比最小值大 ,若方程 f(x)=m 有 3 个

不同的解,则函数 y=

的值域为

(27,e4) .



【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有 【专题】压轴题;导数的综合应用. 【分析】由 f′(x)=0 解得 x=t ,从而可得 a,b,由 g′(x)=0,得 x=﹣t ,

根据其与﹣b,﹣a 的大小关系可判断 g(x)在[﹣b,﹣a]上的单调性,从而可求得 g(x)的最 大值、最小值,根据题意可得关于 t 的方程,解出 t,再根据方程 f(x)=m 有 3 个不同的解可得 m 的范围,由此可求值域. 【解答】解:f′(x)=﹣x﹣2t+ = ,

令 f′(x)=0 解得 x=t 由题意知 a=t﹣ ,b=t

, ,由 a>0 知 t>0,

g′(x)=﹣

,令 g′(x)=0,得 x=﹣t



[﹣b,﹣a]=[﹣t﹣ ﹣t+ ,

,﹣t+

],且﹣t﹣

<﹣t﹣

,﹣t+



可知 g′(x)>0 在[﹣t﹣ t+ ]上递增,

,﹣t+

]上成立,从而 g(x)在[﹣t﹣

,﹣

=





由题意得,



= ,解得 t=2 或﹣2(舍) ,

f′(x)=



令 f′(x)>0 得 x<1 或 x>3;令 f′(x)<0 得 1<x<3, f(x)极小值为 f(3)=﹣ +3ln3,f(x)极大值为 f(1)=﹣ , +3ln3<m<﹣ ,

因为方程 f(x)=m 有 3 个不同的解,所以﹣

< 所以函数 y=



,即 27<

<e4,

的值域为(27,e4) .

故答案为: (27,e4) . 【点评】本题考查利用导数求函数在区间上的最值,考查转化思想,运算量大,综合性强,对能 力要求高.

10. (2012?新课标)设函数 f(x)= 2 .

的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.菁优网版权所有 【专题】综合题;压轴题. 【分析】函数可化为 f(x)= = ,令 ,则

为奇函数,从而函数

的最大值与最小值的和为 0,由此

可得函数 f(x)=

的最大值与最小值的和.

【解答】解:函数可化为 f(x)=

=



令 ∴

,则

为奇函数,

的最大值与最小值的和为 0.

∴函数 f(x)= 即 M+m=2. 故答案为:2.

的最大值与最小值的和为 1+1+0=2.

【点评】本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,解题的关键是将函数化简,转化为利用函数 的奇偶性解题.

11. (2012?烟台一模)已知向量 = 区间 上存在增区间,则 t 的取值范围

, =(1,t) ,若函数 f(x)= ? 在 .

【考点】利用导数研究函数的单调性;平面向量数量积的运算;余弦函数的单调性.菁优网版权 所有 【专题】计算题;压轴题;转化思想. 【分析】函数 f(x)= ? 在区间 上存在增区间,转化为函数的导数在区间上有大

于 0 的区间,通过函数的最大值求解 t 的范围. 【解答】解:函数 f(x)= ? = 增区间, 所以函数 f′(x)= 即t t . ,∵x ﹣t,在区间 ,∴sinx<1, 上有 ﹣t>0 成立的区间, ,函数 f(x)= ? 在区间 上存在

故答案为: 【点评】本题考查向量的数量积,函数的导数的应用,考查转化思想计算能力. 12. (2012?新干县校级模拟)在区间[﹣6,6]内任取一个元素 x0,抛物线 x2=4y 在 x=x0 处的切线 的倾斜角为 α,则 α∈[ , ]的概率为 .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;几何概型.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;导数的概念及应用;概率与统计. 【分析】 求出导函数在[﹣6, 6]的范围, 就是切线的斜率的范围, 通过切线的倾斜角为 α, α∈[ ]求出斜率的范围,利用几何概型求出概率. 【解答】解:由题意可知 x2=4y 的导数为:y′= x,在区间 x∈[﹣6,6],切线的斜率为:[﹣3, 3]. 倾斜角为 α,α∈[ , ],斜率范围是[1,+∞)∪(﹣∞,﹣1], ,

α 的斜率在[﹣3,3]内的部分是[﹣3,﹣1]∪[1,3]. 所以满足题意的概率为: 故答案为: . 【点评】本题考查几何概型的应用,正确理解题意是解题的关键. = .

13. (2015?张家港市校级模拟)设定义域为 R 的函数 f(x) 的方程 2f2(x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不同的实数根,则 b 的取值范围是 【考点】根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题.

,若关于 x ﹣1.5<b<﹣ .

【分析】题中原方程 2f2(x)+2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 f(x)=某个常 数 K,有 2 个不同的 K,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就出现了 8 个不同实数解 故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有满足条件的 K 在开区间(0,1)时符合题意.再根据一元二次方程根的分布理 论可以得出答案. 【解答】解:根据题意作出 f(x)的简图: 由图象可得当 f(x)∈(0,1)时,有四个不同的 x 与 f(x)对应.再结合题中“方程 2f2(x) +2bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解“,可以分解为形如关于 K 的方程 2k2+2bK+1=0 有两个不同的 实数根 K1、K2,且 K1 和 K2 均为大于 0 且小于 1 的实数.

列式如下:

,即

,可得﹣1.5<b<﹣

故答案为:﹣1.5<b<﹣

【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,属于难题,采用数形结合的方 法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象 思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 14. (2014?吴中区校级模拟)已知实数 a,b 分别满足 a3﹣3a2+5a=1,b3﹣3b2+5b=5,则 a+b 的值 为 2 . 【考点】函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;转化思想. 【分析】由于已知的两个等式结构相似,因此可考虑构造函数.将已知等式变形为(a﹣1)3+2 (a﹣1)=﹣2, (b﹣1)3+2(b﹣1)=2,构造函数 f(x)=x3+2x,f(x)是一个单调递增的奇函 数,从而可求 a+b 的值

【解答】解:由于已知的两个等式结构相似,因此可考虑构造函数. 将已知等式变形为(a﹣1)3+2(a﹣1)=﹣2, (b﹣1)3+2(b﹣1)=2, 构造函数 f(x)=x3+2x, ∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)是奇函数 ∵f′(x)=3x2+2>0 ∴f(x)单调递增 ∴f(x)是一个单调递增的奇函数, 因为 f(a﹣1)=﹣2,f(b﹣1)=2 所以 f(a﹣1)=﹣f(b﹣1)=f(1﹣b) , 从而有 a﹣1=1﹣b,a+b=2 故答案为 2 【点评】本题以等式为载体,考查构造法的运用,考查函数的性质,解题的关键是根据已知的两 个等式结构相似,构造函数 15. (2014?奎文区校级模拟)在实数集 R 中定义一种运算“△ ”,且对任意 a,b∈R,具有性质: ①a△ b=b△ a;②a△ 0=a;③(a△ b)△ c=c△ (a?b)+(a△ c)+(b△ c)+c,则函数 的最小值为 3 .

【考点】函数最值的应用.菁优网版权所有 【专题】压轴题;新定义. 【分析】准确理解运算“△ ”的性质:①满足交换律,②a△ 0=a;③, (a△ b)△ c=c△ (ab)+ (a△ c)+(b△ c)+c,故有:a△ b=(a△ b)△ 0=0△ (ab)+(a△ 0)+(b△ 0)+1×0;代入可 得答案. 【解答】解:由性质知:a△ b=(a△ b)△ 0=0△ (ab)+(a△ 0)+(b△ 0)+c×0=ab+a+b 依照上面的计算求得 f(x)=(|x|△ +1×0=1+|x|+ 故答案为:3. 【点评】由 3 个条件可得:a△ b=(a△ b)△ 0=0△ (ab)+(a△ 0)+(b△ 0)+c×0=ab+a+b 是解 题的关键,是解题的突破口,同时考查了运算能力. 16. (2013?广西一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于任意 x∈R,都有 f(x+6)=f(x) +f(3)成立,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 ①f(3)=0; ②直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为 【专题】综合题;压轴题. ①②④ (把所有正确命题的序号都填上) 【考点】函数的零点;函数单调性的判断与证明;函数的周期性;对称图形.菁优网版权所有 .给出下列命题: ≥3, )△ 0=0△ (|x|? )+(|x|△ 0)+( △0 )

【分析】 (1) 、赋值 x=﹣3,又因为 f(x)是 R 上的偶函数,f(3)=0. (2) 、f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x+6)=f(﹣x) ,又因为 f (x+6)=f (x) ,得周期为 6, 从而 f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x) ,所以直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴 (3) 、有单调性定义知函数 y=f(x)在[0,3]上为增函数,f(x)的周期为 6,所以函数 y=f(x) 在[﹣9,﹣6]上为减函数. (4) 、f(3)=0,f(x)的周期为 6,所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0. 【解答】解:①:对于任意 x∈R,都有 f (x+6)=f (x)+f (3)成立,令 x=﹣3,则 f(﹣3+6) =f(﹣3)+f (3) ,又因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(3)=0. ②:由(1)知 f (x+6)=f (x) ,所以 f(x)的周期为 6, 又因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x+6)=f(﹣x) , 而 f(x)的周期为 6,所以 f(x+6)=f(﹣6+x) ,f(﹣x)=f(﹣x﹣6) , 所以:f(﹣6﹣x)=f(﹣6+x) ,所以直线 x=﹣6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴. ③:当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 所以函数 y=f(x)在[0,3]上为增函数, 因为 f(x)是 R 上的偶函数,所以函数 y=f(x)在[﹣3,0]上为减函数 而 f(x)的周期为 6,所以函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为减函数. ④:f(3)=0,f(x)的周期为 6, 所以:f(﹣9)=f(﹣3)=f(3)=f(9)=0 函数 y=f(x)在[﹣9,9]上有四个零点. 故答案为:①②④. 【点评】本题重点考查函数性质的应用,用到了单调性,周期性,奇偶性,对称轴还有赋值法求 函数值.

17. (2012?福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*

(x﹣1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 .

【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的解析式求法及其图象的作法.菁优网版权所有 【专题】压轴题;新定义. 【分析】根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以看 出当直线与函数的图象有三个不同的交点时 m 的取值,根据一元二次方程的根与系数之间的关 系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函数的单调性,求出关于 m 的函数的值域,得到结果. 【解答】解:∵2x﹣1≤x﹣1 时,有 x≤0, ∴根据题意得 f(x)=

即 f(x)=

画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 时,m 的取值范围是(0, ) , 当﹣x2+x=m 时,有 x1x2=m, 当 2x2﹣x=m 时,由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边,得到 ∴x1x2x3=m( 令 y= 则 数,故有 h(m)>h(0)=1 ∴ ∴函数 y= <0 在 m∈(0, )上成立, 在这个区间(0, )上是一个减函数, , ,又 在 m∈(0, )上是增函 )= ,m∈(0, ) ,

∴函数的值域是(f( ) ,f(0) ) ,即 故答案为:

【点评】本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写出符 合条件的解析式,本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一个中档题目. 18. (2012?山西模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,且 x∈[0,1]时,f(x) =4x,x∈(1,2)时, ,则函数 f(x)的零点个数为 5 .

【考点】函数的零点;抽象函数及其应用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;数形结合.

【分析】由 x∈[0,1]时,f(x)=4x,可得 f(1)=4,x∈(1,2)时,

= ,而

由函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,即自变量 x 每增加 2 个单位,函数图象向上平移 1 个单 位,自变量每减少 2 个单位,函数图象向下平移 2 个单位,画出函数 y=f(x) ,结合函数的图象 可求 【解答】解:∵x∈[0,1]时,f(x)=4x, ∴f(1)=4 ∴x∈(1,2)时, =

∵函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)+1,即自变量 x 每增加 2 个单位,函数图象向上平移 1 个单 位,自变量每减少 2 个单位,函数图象向下平移 2 个单位 画出函数 y=f(x)可知,x>0 时,f(x)没有零点,而当 x<0 时,函数 y=f(x)=0 的 x 有 5 个

故答案为:5 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,利用转化思想,将函数的零点个数问题, 转化为函数图象交点个数问题,是解答本题的关键.

19. (2014?南京模拟)函数 f(x)满足 =1,则 f(x1x2)的最小值为 .

,且 x1,x2 均大于 e,f(x1)+f(x2)

【考点】对数函数图象与性质的综合应用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先通过解方程得函数 f(x)的解析式,由 f(x1)+f(x2)=1,代入解析式并化简后得 lnx1lnx2=ln(x1?x2)+3,利用均值定理即可求得 ln(x1?x2)的取值范围,最后将 x1?x2 代入解析 式得 f(x1x2) ,利用函数单调性即可得其范围 【解答】解:∵ ∵f(x1)+f(x2)=1, ,∴lnx﹣lnx?f(x)﹣1﹣f(x)=0∴f(x)=



+

=

=

=1 ∴lnx1lnx2=ln(x1?x2)+3 ∵x1,x2 均大于 e ∴lnx1,lnx2 均大于 1 ∴lnx1lnx2=ln(x1?x2)+3≤ ∴ln2(x1?x2)﹣4ln(x1?x2)﹣12≥0 ∴ln(x1?x2)≤﹣2(舍去)或 ln(x1?x2)≥6 ∴ln(x1?x2)≥6 ∵f(x1x2)= =1﹣ ≥1﹣ = =

(当且仅当

即 x1=x2=e3 时取等号)

故答案为 【点评】本题考查了求函数解析式的方法,对数运算及对数变换技巧,利用均值定理及函数性质 求最值的方法 20. (2013?淇县校级一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 ,则 f(2009)的值为 【考点】对数的运算性质.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先把 x=2009,代入函数推到出当 x>3 时,是周期为 6 的周期函数,然后可知 f(2009) =f(﹣1) ,再把 x=﹣1 代入 f(x)=log2(1﹣x) ,即可求出结果. 【解答】解:∵f(2009)=f(2008)﹣f(2007)=[f(2007)﹣f(2006)]﹣f(2007)=﹣f(2006) 即当 x>3 时满足 f(x)=﹣f(x﹣3)=f(x﹣6) ,周期为 6 ∴f(2009)=f(334×6+5)=f(5)=f(﹣1) 当 x≤0 时 f(x)=log2(1﹣x) ∴f(﹣1)=1 ∴f(2009)=f(﹣1)=1 故答案为 1. 【点评】 本题主要考查了函数的周期性以及对数函数运算性质, 此题的关键是判断函数是周期性. 1 .

21. (2012?青浦区一模)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x) 的图象恰好通过 k(k∈N*)个格点,则称函数 f(x)为 k 阶格点函数.下列函数: ①f(x)=sinx; ②f(x)=π(x﹣1)2+3; ③ 中是一阶格点函数的有 ①②④ . ; ④f(x)=log0.6x.其

【考点】对数函数的图像与性质;正弦函数的图象.菁优网版权所有 【专题】压轴题;新定义. 【分析】①利用正弦函数的周期性可知 f(x)=sinx 在[0,2π]上有(0,0)1 个格点,其他周期 没有格点,只有 1 个格点②f(x)=π(x﹣1)2+3 有(1,3) ,当 x≠1 时,x=k,y=π(k﹣1)2+3?Z, ③ 可判断 【解答】解:①f(x)=sinx 在[0,2π]上有(0,0)1 个格点,又因为函数的周期为 2π,所以其 他周期没有格点,只有 1 个格点②f(x)=π(x﹣1)2+3 有(1,3) ,当 x≠1 时,x=k,y=π(k ﹣1)2+3?Z,只有一个格点 ③ (x)=log0.6x.有(1,0)一个 故答案为:①②④ 【点评】本题以新定义为载体,考查了正弦函数、二次函数、对数函数与指数函数的图象与性质 的运用,属于基础试题. 的格点有(0,1) , (﹣1,3)…不只一个 ④f 的格点有(0,1) , (﹣1,3)等④f(x)=log0.6x 有(1,0)一个,从而

22. (2012?桃城区校级模拟)设 f 1(x)是函数
﹣ ﹣1

的反函数,则使 f .

(x)>1 成立的 x 的取值范围为 【考点】反函数.菁优网版权所有 【专题】压轴题;函数的性质及应用. 【分析】根据函数
﹣ ﹣

在 R 上是增函数,从而得出 f 1(x)也是在 R
﹣ ﹣ ﹣

上是增函数,设 f 1(a)=1,将不等式 f 1(x)>1,转化成 f 1(x)>f 1( 函数的单调求解即得. 【解答】解:∵函数 ∴f 1(x)也是在 R 上是增函数,


+1) ,再利用反

在 R 上是增函数,

设 f 1(a)=1,则 f(1)=a,∴a=ln(


+1) , +1) ,

则 f (x)>1,即 f (x)>f ( ∴x>ln(
﹣1

﹣1

﹣1

﹣1

+1.

则使 f (x)>1 成立的 x 的取值范围为 故答案为: . 【点评】 本题主要考查反函数的知识点, 求反函数的方法是: 根据原函数的解析式利用 y 表示 x, 即孤立出 x,再以 x 代替 y,以 y 代替 x 的位置,即可得到原函数的反函数,原函数的定义域即 为反函数的值域,原函数的值域即为反函数的定义域.但本题没有去求反函数,而是利用了反函 数的单调性,显得简洁.

23. (2012?博山区校级三模)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x3,则函数 g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数是 权所有 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】根据题意,由函数零点的判断方法,函数 g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数,即函数 y=f(x)与 y=log5|x|的交点的个数,由函数图象的变换,分别做出 y=f(x)与 y=log5|x|的图象, 分析其交点个数,即可得答案. 【解答】解:根据题意,函数 g(x)=f(x)﹣log5|x|的零点个数,即函数 y=f(x)与 y=log5|x| 的交点的个数; f(x+2)=f(x) ,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数, 又由当﹣1<x≤1 时,f(x)=x3,据此可以做出 f(x)的图象, y=log5|x|是偶函数,当 x>0 时,y=log5x,则当 x<0 时,y=log5(﹣x) ,做出 y=log5|x|的图象, 结合图象分析可得:函数 y=f(x)与 y=log5|x|有 6 个交点, 则 g(x)=f(x)﹣log5|x|有 6 个零点, 故答案为 6. 6 . 【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数的图象;函数的周期性;函数的零点.菁优网版

【点评】本题考查函数图象的变化与运用,涉及函数的周期性,对数函数的图象等知识点,关键 是作出函数的图象,由此分析两个函数图象交点的个数. 24. (2011?北塘区校级模拟)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2) ,有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2) ;②f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ; ③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0;④ 当 f(x)=2 x 时,上述结论中正确结论的序号是


. ①③④ 写出全部正确结论的序号)

【考点】有理数指数幂的运算性质;指数函数的单调性与特殊点.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】利用幂的运算法则判断出①对;通过举反例判断出②错;通过函数单调性的定义判断 出③对;通过基本不等式判断出④对. 【解答】解:例如 f(x)=2 ∴对于①,f(x1+x2)= 故①对
﹣x

,f(x1)f(x2)=



对于②,f(x1?x2)= 故②错 对于③,∵ ﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 对. 对于④,



=f(x1)+f(x2) ;

为减函数,所以当 x1>x2 时,有 f(x1)<f(x2) ,有(x1



,由基本

不等式,所以 故答案为①③④

故④对

【点评】判断多个命题的正误时,需要对各个命题依次判断.利用基本不等式求最值时,需要注 意:一正、二定、三相等. 25. (2015?黄山二模)已知集合 A={a1,a2,…,an}中的元素都是正整数,且 al<a2<…<an,集 合 A 具有性质 P:对任意的 x,y∈A,且 x≠y,有|x﹣y|≥ ①集合{1,2,3,4}不具有性质 P; ② ; .给出下列命题:

③不等式 i(n﹣i)<25 对于 i=1,2,…,n﹣1 均成立; ④A 中最多可以有 10 个元素. 其中正确命题的序号是 【专题】压轴题. 【分析】①利用性质对任意的 x,y∈A,且 x≠y,有|x﹣y|≥ ②依题意有|ai﹣ai+1|≥ ,代入即可判断; (i=1, ②③ (将所有正确命题的序号都填上) 【考点】命题的真假判断与应用;元素与集合关系的判断.菁优网版权所有

(i=1,2,n﹣1) ,又 a1<a2<…<an,因此 ai+1﹣ai≥

2,n﹣1) .由此能够证明



③由



, a≥1 可得 1>

, 因此 n<26. 同理

, 由 ai≥i 即可得判断;

④由③,结合不等式可推导出 n≤9. 【解答】解:①由于|1﹣2| |2﹣3| ,|2﹣4| ,|1﹣3| ,|3﹣4| , ,|1﹣4| ,

∴集合{1,2,3,4}具有性质 P,故不正确; ②依题意有|ai﹣ai+1|≥ (i=1,2,n﹣1) , (i=1,2,n﹣1) .

又 a1<a2<…<an,因此 ai+1﹣ai≥ 所以

(i=1,2,n﹣1) ;

所以

+

+…+





,故正确;

③由



,a≥1 可得 1>

,因此 n<26.

同理

,可知



又 ai≥i,可得



所以不等式 i(n﹣i)<25 对于 i=1,2,…,n﹣1 均成立,故正确; ④由③,当 n≥10 时,取 i=5,则 i(n﹣i)=5(n﹣5)≥25,从而 n<10, 而又当 n≤9 时,i(n﹣i)≤ 故答案为:②③. 【点评】本题考查数列的性质的综合运用,解题时要认真审题,注意公式的合理运用,合理地进 行等价转化. 26. (2014?南充一模)下列说法: ①“?x∈R,使 2x>3”的否定是“?x∈R,使 2x≤3”; ②函数 y=sin(2x+ )sin( ﹣2x)的最小正周期是 π, = <25,所以 n≤9,故不正确;

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题是真命题; ④f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)=2x,则 x<0 时的 解析式为 f(x)=﹣2 其中正确的说法是
﹣x

①④



【考点】命题的否定;函数奇偶性的性质.菁优网版权所有 【专题】压轴题;规律型. 【分析】根据含量词的命题的否定形式判断出①对,根据二倍角正弦公式先化简函数,再利用 三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错;写出否命题,利用特例即可判断③错;根据 函数的奇偶性求出 f(x)在 x<0 时的解析式,判断出④对. 【解答】解:对于①,根据含量词的命题的否定是量词互换,结论否定,故①对

对于②, 故②错

,所以周期 T=



对于③,“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x0)=0”的否命题为“函数 f(x)在 x=x0 处没有极 值,则 f′(x0)≠0”,例如 y=x3,x=0 时,不是极值点,但是 f′(0)=0,所以③错 对于④,设 x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=2 x,∵f(x)为奇函数,∴f(x)=﹣2 x,故④对
﹣ ﹣

故答案为①④ 【点评】求含量词的命题的否定,应该将量词”任意“与”存在“互换,同时结论否定;函数的极值 点要满足导数为 0 且左右两边的导数符号相反. 27. (2014?金凤区校级一模)给出下列命题: ①已知 a,b,m 都是正数,且 ,则 a<b;

②已知 f′(x)是 f(x)的导函数,若?x∈R,f′(x)≥0,则 f(1)<f(2)一定成立; ③命题“?x∈R,使得 x2﹣2x+1<0”的否定是真命题; ④“x≤1,且 y≤1”是“x+y≤2”的充要条件. 其中正确命题的序号是 ①③ . (把你认为正确命题的序号都填上) 【考点】命题的否定;不等关系与不等式.菁优网版权所有 【专题】压轴题;阅读型. 【分析】对于:①②③④中的②④可通过举反例进行否定:对于②若 f(x)是常数函数, 则 f(1)<f(2)不成立;故错; 对于④若“x=1.8,且 y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1,且 y≤1”故④错;对于①③可根据不等式 的性质进行证明其正确性. 【解答】解:对于: ①已知 a,b,m 都是正数,且 ?ab+b>ab+a?a<b;正确;

②若 f(x)是常数函数,则 f(1)<f(2)不成立;故错; ③命题“?x∈R,使得 x2﹣2x+1<0”的否定是“?x∈R,使得 x2﹣2x+1≥0”真命题;正确; ④若“x=1.8,且 y=0.1”则“x+y≤2”不能推得“x≤1,且 y≤1”故④错; 正确命题的序号是①③. 故答案为:①③. 【点评】本小题主要考查命题的否定、不等关系与不等式等基础知识,通过举反例可证明一个命 题为假.属于基础题. 28. (2013?北京模拟)下列命题: (1)若函数 为奇函数,则 a=1;

(2)函数 f(x)=|1+sinx+cosx|的周期 T=2π; (3)方程 lgx=sinx 有且只有三个实数根; (4)对于函数 以上命题为真命题的是 ,若 0<x1<x2,则 ( 1) (2) (3 ) . (将所有真命题的序号填在题中的横线上) .

【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用.菁优网版权所有

【专题】压轴题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)已知函数奇偶性,求参数的值,常用特殊值验证,代入 x=0 或 1 即得; (2)先对函数化简整理得到 f(x)=|1+ 得到 f(x)的图象,即得 f(x)的周期; (3)在同一坐标系中,作出 y=lgx 与 y=sinx 的图象,看交点个数; (数形结合) (4) (数形结合)作出函数 【解答】解: (1)∵函数 ∴f(0)=0,即 f(0)= ∴ ,即 a=1; (2)∵f(x)=|1+sinx+cosx|=|1+ 又由 y= y= 的图象,即可判定两值的大小关系. 为奇函数, , |,再有函数图象的平移、对称变换

|,

的周期是 2π,将其函数图象上移一个单位后得到 +1 的图象, |的图象,

然后再将 X 轴下方的图象沿 X 轴旋转 180°,得到 f(x)=1+ ∴函数 f(x)=|1+sinx+cosx|的周期 T=2π;

(3)作出 y=lgx 与 y=sinx 的图象,由于 y=lgx 在(0,+∞)上为增函数且 l,g10=1,lg1=0, 故在区间(0,π)内 y=lgx 与 y=sinx 有一个交点,在(π,2π)内无交点,在(2π,3π)内有三 个交点, ∴方程 lgx=sinx 有且只有三个实数根;

(4)∵函数

是单调递增的凸函数,∴在 0<x1<x2,则 ,

∴若 0<x1<x2,则 故答案为(1) (2) (3) .

是错误的;

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判定,同时考查了函数的一些性质,注意数形结合的方 法. 29. (2013?曲阜市校级模拟)对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数 ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称 ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根 ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 ①②③ . 【考点】命题的真假判断与应用.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题;函数的性质及应用. 【分析】①若 f(x)为奇函数,则 f(0)=q=0,反之若 q=0,f(x)=x|x|+px 为奇函数; ②y=x|x|+px 为奇函数,图象关于(0,0)对称,再利用图象变换可得结论; ③当 p=0,q>0 时,x>0 时,方程 f(x)=0 的无解,x<0 时,f(x)=0 的解为 x= ; ④q=0,p=1 时,方程 f(x)=0 的解为 x=0 或 x=1 或 x=﹣1,即方程 f(x)=0 有 3 个实数根. 【解答】解:①若 f(x)为奇函数,则 f(0)=q=0,反之若 q=0,f(x)=x|x|+px 为奇函数,所 以①正确. ②y=x|x|+px 为奇函数,图象关于(0,0)对称,把 y=x|x|+px 图象上下平移可得 f(x)=x|x|+px+q 图象,即得 f(x)的图象关于点(0,q)对称,所以②正确. ③当 p=0,q>0 时,x>0 时,方程 f(x)=0 的无解,x<0 时,f(x)=0 的解为 x=﹣ 正根) ,故③正确. ④q=0,p=﹣1 时,方程 f(x)=0 的解为 x=0 或 x=1 或 x=﹣1,即方程 f(x)=0 有 3 个实数根, 故④不正确. 故答案为:①②③ 【点评】本题考查命题的真假判断和应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 30. (2012?历下区校级三模)下列命题中,正确的是 ①②③ |= ; )则 ; (舍去

①平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| ②已知 =(sinθ, ) , =(1,

)其中 θ∈(π, +λ( +

③O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: 直线 AP 一定通过△ ABC 的内心. 【考点】命题的真假判断与应用.菁优网版权所有 【专题】综合题;压轴题. 【分析】①由 弦定理求 ; ,求出 ,在三个向量

) ,λ∈(0,+∞) ,则

构成的三角形中,运用余

②写出两个向量的数量积,运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论; ③把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示,移向整理后得即 .

由此式可知直线 AP 一定通过△ ABC 的内心. 【解答】解:①如图,

因为 =(2,0) ,所以 对角线, 由余弦定理得:



对应的向量是以 和 为邻边的平行四边形的

= 所以①正确; ②由 =(sinθ, 则 = =sinθ+|sinθ|, 因为 θ∈(π, 所以 所以②正确; ③如图, ) ,所以 sinθ<0, ,所以 , ) , =(1, ) ,



在△ ABC 中,由 ,

(R 为三角形 ABC 外接圆半径) ,所以

所以

+λ(

+

)=

+

=







所以直线 AP 一定通过△ ABC 的内心. 所以③正确. 故答案为①②③ 【点评】本题考查了命题的真假的判断与运用,解答此题的关键是判断③,需要掌握的是

表示 方向上的单位向量,此题是中档题.


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