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高考中函数选择题的技巧性解法


高考函数选择题的技巧性解法
华南师范大学附属中学南海实验高级中学 蓝美健

摘要:本文通过举例说明其在高中立几题目中的应用。 关键词:平面方程,二面角,点到平面的距离

高考数学若想取得高分, 就一定要重视选择题的解法, 函数是高 考的重头戏。函数的知识点很多,但解法也比较常见。只有掌握了其 中的技巧性解法,才能在最短的时间内更准

确、快速地求解。下面例 说高考函数选择题的技巧性解法。 一、数形结合:据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借 助几何图形的直观性作出正确的判断.有的选择题可通过命题条件的 函数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图 形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论。历年高 考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占 50%左右. 例 1.(09 湖南文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的
? f ( x), f ( x) ? K , 1 f K ( x) ? ? ?x ? K , f ( x) ? K . 取函数 f ( x) ? 2 。当 K = 2 时, 正数 K,定义函数

函数 f K ( x) 的单调递增区间为( ) A . (??, 0) 解:
2

B. (0, ??)

C . (??, ?1)

D . (1, ??)

1 f ( x ) ? 2??x? ? ( )?x? 2 ,题目的函数定义可知,

f 1 ( x ) ? 2 ??x? ( f ( x ) ? 1 ? 2??x? ? 1 ? x ? (??, ?1] ? [1, ?? ))
2 2

f 1 ( x) ?
2

1 2

( f ( x) ?

1 1 ? 2??x? ? ? x ? ( ?1,1)) 2 2 图像如下:

故选 C. 例 2.方程 x ? 1 ? sin x 的解共有( A. 1 个
2 2

) D. 4 个

B. 2 个

C . 3个

2 解:方程 x ? 1 ? sin x 的解可以看作函数 f ( x ) ? x ? 1 与函数 g( x ) ? sin x

的图象交点的横坐标,方程解的个数就是函数图象交点的个数。图象 如下:

故选 B. 点评: 对于此类用代数方法难以直接解答或者解答过程比较繁琐的函 数选择题来说,数型结合不仅快速而且准确地为我们选择正确的答 案。 二、归纳猜想法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可 以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量,当然自 然加强了思维的层次.

例 3.设

f1 ( x ) ?

f (0 ) 1 ? 2 an ? n f n (0 ) ? 2 ,则 a =( 1 ? x , fn?1 ( x) ? f1[ fn ( x)] ,且 2007
1 1 ( ) 2006 ( ? ) 2007 B. 2 C. 2 1 ( ) 2008 D. 2



1 ( ? ) 2005 A. 2

解:
f1 (0) ? 2, f 2 ( f1 (0)) ? f 2 (2) ? 2 2 6 6 10 , f 3 ( f 2 (0)) ? f 3 ( ) ? , f 4 ( f 3 (0)) ? f 4 ( ) ? ...... 3 3 5 5 11

a1 ?

f (0) ? 1 f1 (0) ? 1 f (0) ? 1 1 1 1 1 ? (? )2 , a2 ? 2 ? (? )3 , a3 ? 3 ? (? )4 .......an ? (? )n?1 f1 (0) ? 2 2 f 2 (0) ? 2 2 f 3 (0) ? 2 2 2

1 1 a2007 ? ( ? )2008 ? ( )2008 2 2 故 ,选 D.

例 4.已知数列 {an } 满足 A.0 B. ? 3 解
a4 ?

a1 ? 0, a n?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * )

,则 a 20 =(



3 C. 3 D. 2
a2 ? a1 ? 3 3a1 ? 1 ?? 3 a3 ? a2 ? 3 3a 2 ? 1 ? 3


a3 ? 3

a1 ? 0
? 0...


an ? 3 ? an





3a 3 ? 1

所以 a20 ? a2?3?6 ? a2 ? ? 3 ,故选 B. 点评:此类数列求项的问题,由于项数比较大,一般不可能要我们 根据递推公式一个个求下去,肯定有规律可循, “周期性”问题就是 一大考点。 三、特殊值法 特殊值法.若问题的选择对象是针对一般情况给出的,则可选择 合适的特殊数、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验,对 于有情况讨论的题目,可以代入相应的特殊值.从而做出正确判断.

2 例 5.(09 安徽理)设 a <b,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是学科



解 : 由 选 项 图 象 可 知 , 不 妨 设

a=1,b=10. 则

f (?1) ? (?1 ? 1)2 (?1 ? 10) ? ?44 , 排除 A,B. f (2) ? (2 ? 1)(2 ? 10) ? ?8 ,排除 D.

故选 C. 例 6. (09 福建理) .函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线
2

x??

b 2a

对称。据此可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x
m f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的方程 ? 的解集都不可能是
2

A. ?1, 2?

B ?1, 4?

C ?1,2,3,4?

D ?1, 4,16,64?

2 解:对方程 m[ f ( x)] ? nf ( x)? P ? 0中 m, n, p 分别赋值,m=p=1, n=2 ,得

[ f ( x )]2 ? 2 f ( x ) ? 1 ? 0 求 出 f ( x )? 0或 者 f ( x )? ? 2。 当 f ( x )? 0时 ,
ax? bx ?
2

c ? 0 ,由根与系数的关系得

x1 ? x2 ? ?

b a ;当 f ( x ) ? ? 2时, b a 。检验即得 D。

ax ? bx ? c ? 2 ? 0 ,由根与系数的关系得
2

x 3 ? x4 ? ?

2 例 7.化简 (tan x+cot x)cos x= ( )

A. tan x 解:取特殊值
?? ?

B. sin x
3 ,则

C. cos x
?

D. cot x
? ? 3 ? cot )cos 2 ? 3 3 3 3 .

(tan x +cot x )cos 2 x=(tan



tan

?

3 3 = 3 ,故选 A.

点评:几乎每年的高考题,特殊值法都能派上用场。因为选择题的答 案是唯一的,对于此类有参数或者变量问题的选择题,一般我们可以 选取特殊值法,快而准。 四、选项排除法 通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中, 进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段,以判 断选择支正误的方法。 例 8. (09 山东理)函数
y? e x ? e? x e x ? e? x 的图像大致为(
y 1 O1 x O1 x O D C

).
y 1 1 x

y 1 O 1 x 1

y

A

B

x ?x 解:函数有意义,需使 e ? e ? 0 ,其定义域为 ?x | x ? 0?,排除 C,D,又因



y?

e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x x ?x e ?e e ?1 e ? 1 ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A.

例 9. (07 安徽)若对任意 x∈R,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的 取值范围是 A. a <-1 B.| a |≤1 C.| a |<1 D. a ≥1

解:当 a ? 0 时, | x |? ax 化为 | x |? 0 ,显然恒成立,由此排除答案 A、 D.当 a ? 1 | x |? ax 化为 | x |? x ,也显然恒成立, 故排除 C,所以选 B; 例 10. 已 知 A1 , A2 ,..., An 为 凸 多 边 形 的 内 角 , 且

lgsin A1 ? lgsin A2 ?... ? lgsin An
? 0 ,则这个多边形是(

) C.矩形 D. 含锐角菱

A.正多边形 形

B.梯形

0 解 : 若 是 A, 例 如 正 六 边 形 , 则 内 角 A1 ? A2 ? ... ? A6 ? 120 , 得

n2 lg siA n1 ? l g s i A
?... ? lg sin An ? lg( 3 6 ) ?0 0 2 , 排除 A.若是 B 和 D,例如底角是 60 的等腰

梯形和
0 0 0 含锐角 60 的菱形,则 A1 ? A2 ? 60 , A3 ? A4 ? 120 ,得 lgsin A1 ? lgsin A2 ?

lgsin A3

? lg sin A4 ? lg(

3 4 ) ?0 2 排除 B 和 D.故答案选 C.

点评:选择题有异于大题的一个重要方面就是有时候我们看到一道 选择题,很难得出完整的解题过程,但我们可以从四个选项出发,用 “反证法”的思想,推出三个选项与题干矛盾,从而得出答案。 五、极限法: 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解 决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题 过程. 例 11:对于任意的锐角 ? , ? ,下列不等关系式中正确的是( A. sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? C. cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 解: 当
?? ?
2,



B. sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? D. cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ?

??

?

2 时 sin ? ? sin ? ? 2, 排除 A, C ; 当 ? ? 0 ,? ? 0

时 cos? ? cos ? ? 2, 排除 B

选 D.

点评:对于这种不等式的函数题,比较大小通常有作差、作商等传 统方法,极限法却能帮我们方便判断符号。 六、估值法 数学的选择题是单项选择,解答无需过程.因此可以猜测、合情 推理、估算而获得.往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层 次.
' 例 12. ( 09 天津文)设函数 f(x) 在 R 上的导函数为 f ( x) , 且

2 f ( x) ? f '( x) ? x 2 ,下面的不等式在 R 内恒成立的是(



A . f ( x) ? 0

B . f ( x) ? 0

C . f ( x) ? x

D. f ( x) ? x

解:不妨令 x ? 0 ,排除 B,D.然后结合已知条件排除 C,得到 A.
x 例 13.(09 辽宁理)若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5,

x1 + x2 =(
5 A. 2

) B.3
7 C. 2

D.4

x 解: x1 可以看作是函数 f ( x ) ? 2 与函数 g( x ) ? 5 ? 2 x

的 图 像 交 点 的 横 坐 标 , 同 理 , x2 是 函 数
q( x) ? 2log2 ( x ? 1) 与函数 g( x ) ? 5 ? 2 x 的图像交点的横
1 ? x1 ? 3 5 2 ? x2 ? 2 ; 2 ( 由

坐 标 。 由 图 知

3 3 3 5 f (1) ? g(1) ? 0; f ( ) ? g( ) ? 0 1 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 2 2 ;同理 2 )。 则 验证

3 ? x1 ? x2 ? 4 ,故选 C。

点评:对于这种在一个式子中含有两个基本函数求解的选择题,有

时候我们不一定要得出精确答案,把答案的范围缩小从而得出选项, 确实是个不错的方法。 七、割补法 “能割善补”是解决几何问题常用的方法,在函数方面也同样适 用。巧妙地利用割补法,可以使问题得到简化,从而缩短解题长度.
2 2 例 14. 已 知 t a n? ? 2, 求函数 f (? ) ? sin ? ? 3cos ? ? sin? cos ? ? 1 的 值

(

)
14 B. 5

9 A. 5

C. 10

D.16

2 2 解:把函数 f (? ) ? sin ? ? 3cos ? ? sin? cos ? ? 1 割成两部分,

sin2 ? ? 3cos2 ? ? sin ? cos ?

和 1 ,那么

sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? sin ? cos ? sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? sin ? cos ? = 1 sin 2 ? ? cos 2 ?

14 tan 2 ? ? 3 ? tan ? 9 f (? ) ? sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? sin ? cos ? ? 1 ? ? ? 2 5 , tan ? ? 1 5即 故选 B.

点评:高考中,有些题目在考察知识点的同时,也在考察我们的观 察能力。把题目分割成几部分,有时候会使得题目的解法豁然开朗。


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