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2012全国高中数学联赛甘肃预赛试卷


2012 全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
一、填空题(本题满分 56 分) 1.空间四点 A, B, C , D 两两距离均为 1,点 P 与点 Q 分别在线段 A B 和 C D 上运动,则 点 P 与点 Q 间的最小距离为___________________.
??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ?0 ? OP ? OA ? 1 ? 2.向量 O A = (1,0) , O B = (1 ,1 ) , O 为坐标原点,动点 P ( x , y ) 满足 ? ,则点 ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2 ?
Q ( x ? y , y ) 构成的图形的面积为___________________.

3.设有非空集合 A ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ? ,且当 a ? A 时,必有 8 ? a ? A ,这样的集合 A 的个 数是___________________. 4.设 f ( x ) ? ?
? x ? [ x ], x ? 0 ? f ( x ? 1), x ? 0

, 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, f ( x ) ? kx ? k ( k ? 0) 有 若

三个不同的实数根,则实数 k 的取值范围是___________________. 5.11 位数的手机号码,前七位数字式 1390931,若剩下的 4 个数字智能是 1,3,5 且都至少出 现 1 次,这样的手机号码的个数为__________________. 6. 若 tan x1 ? tan x 2 ? ? tan x 2 0 1 2 ? 1 , 则 s i x1n? _________________. 7. 设 函 数
f( x? y 1 ? ) f : f(
2

sx?? n i 2

x 2 s0 i1 最 大 值 是 的 n 2

R ? x ) ?f (
2 2

R , 满 足

f(

0? ) 且 1 对

任 意

x,

? y

R 都



y ) ?,则 ? ( x ) ? _________________. f ( f y) x 2

8.实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,则 xy ? yz 的最大值为_________________.

二、解答题(本题满分 64 分,第 9,10 题各 14 分,11,12 题各 18 分) 9.已知数列 ? a n ? 满足
a n ?1 ? a n ? 1 a n ?1 ? a n ? 1 ? n ( n ? N ) ,且 a 2 ? 6 .
*

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; ( 2 ) 设 bn ?
cn ? bn 2
n

an n?c

( n ? N ) , c 为 非 零 常 数 , 若 数 列 ? bn ? 是 等 差 数 列 , 记
*

, S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ,求 S n .

10. M 是抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的准线上任意点, M 点作抛物线的切线 l1 , l 2 , 过 切点分别
2

为 A , B ( A 在 x 轴上方) 。 (1)证明:直线 A B 过定点; (2)设 A B 的中点为 P ,求 M P 的最小值.

11.设 a , b , c 为正实数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:
a b c ? 1 2 2 2 ? (a ? b ? c ) ? ? ? ?? ?b?c a?c a?b? 2

12.某校数学兴趣小组由 m 位同学组成,学校专门安排 n 位老师作为指导教师。在该小组的 一次活动中, 每两位同学之间互相为对方提出一个问题, 每位同学又向每位指导教师各提出 一个问题,并且每位指导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出 51 个问题,求 m , n 的值。


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