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高三数学第一轮复习:等差数列(修改2)


高 三 数 学 第 一 轮 复 习

2012-10-29

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1

学习目标
1、理解等差数列的概念、通项公式、等 差中项公式,会用公式解决问题 2、掌握等差数列的前n项和公式,体会 等差数列的通项及等差数列的前n项和 可分别表示为一次函数和二次函数 3、探索并总结等差数列

的性质,会运用 性质解决有关问题
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学习活动1:梳理基础知识
1.等差数列的定义: 若数列从第二项起,每一项与它的前一 项的差是同一个常数,则数列是等差数 列。其中常数是公差 2.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 通项公式推广:an ? ak ? (n ? k )d

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学习活动1:梳理基础知识
3.等差中项: 若a,b,c成等差数列,则b称a与c的
a+c

等差中项.b =

2 a,b,c成等差数列 ? 2b ? a ? c

4.等差数列前n项和公式:
Sn ? na1 ?
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n( n ? 1) 2

d

Sn ?

n(a1 ? an ) 2
4

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学习活动1:梳理基础知识
5.等差数列的判定方法: ?定义法:
an?1 ? an ? d (常数)(n ∈ N ) ? {an }等差数列
?

?中项公式法:
2an?1 ? an ? a n? 2 ? n ? Ν ? ? {an }等差数列
?

?通项公式法:
an ? kn ? b(k , b常数)(n ? N ) ? {an }等差数列
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?

性质 性质1

等差数列{an}常用的性质
p ? q ? m ? n ? a p ? aq ? am ? an 2m ? p ? q ? 2am ? a p ? aq

性质2

{a n}为 等 差 数 列, 公 差 为 d ? a n, a n + m, a n + 2 m, 是 等 差 数 列, ? 公 差 为 md

性质3

{a n}等 差 数 列, 公 差 d , 前 n 项 和 S n ? S n, S 2 n - S n, S 3 n - S 2 n, 是 等 差 ? 数 列, 公 差 为 n 2 d
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题型一

等差数列的基本运算

在等差数列{an}中, (1)已知a15=33,a45=153,求a61;

(2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(3)已知前3项和为12,前3项积为48,且d>0,求a1. 【思维启迪】 在等差数列中,五个重要的量,只要已知 三个量,就可求出其他两个量,其中a1和d是两个最基本 量,利用通项公式与前n项和公式,先求出a1和d. 解 (1)方法一 设首项为a1,公差为d依条件得

? a 1 ? ? 23 , ? 33 ? a1 ? 14 d , 解方程组得 ? ? d ? 4. ?153 ? a1 ? 44 d 2012-10-29 学军课件模板 ?

7

∴a61=-23+(61-1)×4=217.
方法二 由d
? an ? am n?m ,

得d

?

a 45 ? a15 54 ? 15

?

153 ? 33 30

? 4,

由an=am+(n-m)d,
得a61=a45+16d=153+16×4=217.
? a 1 ? 5 d ? 10 (2)∵a6=10,S5=5, ? ? . ? 5 a 1 ? 10 d ? 5

解方程组得a1=-5,d=3, ∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S8 ? 8 ? ( a1 ? a 8 ) 2 ? 44 .

(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依据意有:
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? ( a ? b ) ? a ? ( a ? d ) ? 12 , ? ? ( a ? d ) ? a ? ( a ? d ) ? 48
?a ? 4 ?a ? 4 . ?? , ?? 2 2 ?d ? ?2 a ( a ? d ) ? 48 ?

∵d>0,∴d=2,a-d=2. ∴首项为2.∴a1=2. 探究拓展 方程思想是解决数列问题的基本思想,通过公差

列方程(组)求解是数列中最基本的方法,同时在解题中也 要注意数列性质的应用.
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说明: 对于等差数列的连续项, 我们通常设连续三项为 a-d,a,a+d 连续四项为 a-3d,a-d,a+d,a+3d
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题型2:等差数列的证明
3 1 例 2 已知数列 {an}中,a1 = ,an =2- (n≥2, 5 a n -1 1 * n∈N ),数列 {bn}满足 bn= (n∈N*). an-1 (1) 求证:数列 {bn}是等差数列; (2) 求数列 {an}中的最大项和最小项,并说明理由.

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1 [解] (1)∵an=2- (n≥2,n∈N ),bn= .∴当 an-1 an-1 1 1 1 1 n≥2 时, n-bn-1= b - =? - 1 ? an-1 an-1-1 ? an-1-1 ? 2- -1 ? an-1? ? ? an-1 1 1 5 = - =1.又 b1= =- . 2 an-1-1 an-1-1 a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2
*

1

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7 1 2 (2)由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ =1+ .由 2 bn 2n-7 ? 7? 2 ? 函 数 f(x) = 1 + , 易 知 f(x) 在 区 间 ?-∞,2? 和 ? 2x-7 ? ? ?7 ? ? ,+∞?内为减函数. ?2 ? ? ? ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3.

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例3.已知数列 ?a n ?的首项 a 1 ? 3,通项 a n 与前n项 和 S n 之间满足 2 a n ? S n S n ?1 ( n ? 2 )
? 1 ? (1)求证: ? S ? 是等差数列,并求公差; ? n?

(2)求数列 ?a n ? 的通项公式; (3)数列 ?a n ? 中是否存在正整数k,使得不等式 a k ? a k ? 1 对任意不小于k的正整数都成立?若存 在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.

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?[拓展提升] 判断一个数列不是等差数列 时,只需举出特殊的连续三项不成等差数 列就可以了.

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?(1)等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+ a7=450,a2+a8= ( ) ?A.45 B.75 ?C.180 D.300

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?(2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24, a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等 于 ( ) ?A.160 B.180 ?C.200 D.220

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(2)本题考查等差数列的性质, 由已知可得(a1+a2+a3) +(a18+a19+a20)=-24+78?(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+ a1+a20 18 a18)?a1+a20=18?S20= ×20= ×20=180,∴选 2 2 B.

答案:(1)C (2)B

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S3 1 S6 (3)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 S6 3 S12 等于 ( ) 3 1 A. B. 10 3 1 1 C. D. 8 9

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?(4)若数列{an}是等差数列,首项a1>0, a2005+a2006>0,a2005a2006<0,求使前n项 和Sn>0的最大自然数n. ?(5)若等差数列{an}中,Sn是前n项的和, 且S3=9,S9=3,求S12.

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(4)∵a1>0,a2005+a2006>0,a2005a2006<0,∴a2005>0, 4010(a1+a4010) 4010(a2005+a2006) a2006<0.S4010= = >0. 2 2 S4011=4011a2006<0, ∴使前 n 项和 Sn>0 的最大自然数 n 为 4010. S9 S3 S12 S3 - - 9 3 12 3 (5) = ,∴S12=-12. 9-3 12-3

[拓展提升] 等差数列均匀截断,等差数列每段之 和仍为等差数列.

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练习巩固 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=( ) A.15 B.30 C.31 D.64 2.首项为-24的等差数列,从第10项起为正, 则公差d的取值范围是( ) A.
d ? 8 3

B. d

? 3

C.

8 3

? d ? 3

D.

8 3

? d ? 3

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练习巩固 3.等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,Sn是{an}的 前n项和,则( ) A. S 4
? S5

B. S 4

? S5
1

C.

S6 ? S5

D. S 6

? S5

4.等差数列{an}中,a1= 3 ,a2+a5=4,an=33,则 n=( ) A.48 B.49 C.50 D.51

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.在等差数列{an}中 (5) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20 (6)已知 a3+a11=10,求 a6 +a7 +a8
已知 a4+a5+a6+a7=56, a4a7=187,求a14及公差d. (7)
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?[例4] 在等差数列{an}中,已知a1=20, 前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值 时,Sn有最大值,并求出它的最大值. ?[分析] 此题可有多种解法,一般可先求 出通项公式,利用不等式组确定正负转折 项,或者利用性质确定正负转折项,然后 求其和的最值.
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[解] 解法 1:设公差为 d,∵S10=S15, 10×9 15×14 5 ∴10×20+ d=15×20+ d,得 d=- . 2 2 3 5 又 a1=20,∴an=20- (n-1), 3 ∴{an}为递减数列. 5 ? ?20+(n-1)(-3)≥0 ?an≥0 ? 由? ,即? . ?an+1≤0 5 ? ?20+n(- )≤0 3 ? ∴12≤n≤13,n∈N*, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,S12=S13=130.
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5 解法 2:由 a1=20,S10=S15,解得公差 d=- , 3 ∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0, ∵a11+a15=a12+a14=2a13,∴a13=0. ∵d<0,a1>0,∴a1,a1,…,a11,a12 均为正数,而 a14 及以后的各项均为负数. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值,S12=S13=130.

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?[拓展提升] 求等差数列前n项和的最值, 常用的方法:①利用等差数列的单调性, 求出其正负转折项,或者利用性质求其正 负转折项,便可求得和的最值;②利用等 差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常 数)为二次函数,利用二次函数的性质求最 值.

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?等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列 前多少项的和最小?

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?an=a1+(n-1)d≤0, ? 解法 2:由? ?an+1=a1+nd≥0. ? 1 ? ?1-10(n-1)≥0, 即? ?1- 1 n≤0. 10 ? 得 10≤n≤11,∴n 取 10 或 11 时,Sn 有最小值.

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解法3:∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0, ∴3a11=0. ∴a11=0,∵a1<0,∴前10项或前11项和最 小.

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例题讲解 题型5:等差数列前n项和的应用 例5:数列{an}中,Sn=100n-n2(n?N+) (1){an}是什么数列? (2)若bn=|an|,求{bn}的前n项和

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练习.已知数列 ?a n ? 的前n项和 S n 求数列{|an|}的前n项和Tn.

? 12 n ? n ( n ? N , )
2

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课外作业 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a10=30, a20=50. (1)求通项{an}; (2)若Sn=242,求n. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=12, S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一个最大, 并说明理由.

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课外作业 3.已知{an}为等差数列,前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10,求前110项的和S110

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?1.等差数列是常用的基本数列之一,对 其通项公式、前n项和公式及其性质必须 熟练掌握. ?等差数列中含有五个量:a1,d,an,n, Sn,通项公式和前n项和公式是联结这五 个量的关系式,通过这两个公式,知道其 中任意三个可以求出另外两个.但在计算 时,要注意设数技巧,注意等差数列性质 的运用.
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?2.等差数列的证明一般采用定义,即证 明an+1-an=d.若要判定一个数列是等差 数列还可采用如下结论: ?(1)用中项公式判定:2an+1=an+an+ 2?{an}是等差数列; ?(2)用通项公式判定:an=kn+b?{an}是 等差数列; ?(3)用求和公式判定:Sn=an2+bn?{an} 是等差数列. ?3.等差数列的前n项和公式是特殊的二次 函数关系式,对前n项和的最大值或最小
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(1)如果 d>0,则 Sn 有最小值.当 a1>0 时,Sn 的最 小 值 就 是 S1 = a1 ; 当 a1<0 时 , 通 过 解 不 等 式 组 ?a ≤0, ? m ? 得到正整数 m,Sn 的最小值就是 Sm; ?am+1≥0 ? (2)如果 d<0,则 Sn 有最大值.当 a1<0 时,Sn 的最 ?am≥0 ? 大值就是 S1=a1; a1>0 时, 当 通过解不等式组? ?am+1≤0 ? 得正整数 m,Sn 的最大值就是 Sm.

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再见!

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