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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)3 导数1 文


各地解析分类汇编:导数(1)
1 【山东省师大附中 2013 届高三上学期期中考试数学文】方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根
3 2

个数是 A.3 B.2 【答案】C

C.1

D.0

【解析】设 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ?10 , f '( x) ? 3x2 ?12 x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3) ,由此可知函 数的极大值为 f (1) ? ?6 ? 0 ,极小值为 f (3) ? ?10 ? 0 ,所以方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的
3 2

实根个数为 1 个.选 C. 2 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】曲线 y ? 的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A.

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处 3 ? 3?

2 9

B.

1 9

C.

1 3

D.

2 3

【答案】B
2 【解析 】 y ' ? f '( x) ? x +1 ,在点 ?1, ? 的切线斜率为 k ? f '(1)? 2。 所以切线方程为

? 4? ? 3?

y?


4 2 2 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? ,与坐标轴的交点坐标为 (0, ? ), ( , 0) ,所以三角形的面积 3 3 3 3

1 1 2 1 ? ? ? ? ,选 B. 2 3 3 9
1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 2

3 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】若 f ( x) ? ?

( ?1, ?) ? 上是减函数,则 b 的取值范围是
A. ?? 1 ? ?? , 【答案】C 【 解 析 】 函 数 的 导 数 f '( x) ? ? x ?

( ? B. ?1, ?)

( ? C. ? ?, 1]

( ?) D. ? ?, 1

b ( ? , 要 是 函 数 在 ?1, ?)上 是 减 函 数 , 则 x?2 b b ? f '( x) ? ? x ? ? 0 , ( ?1, ?) ? x, 在 恒成立, 即 因为 x ? ?1 , 所以 x ? 2 ? 1 ? 0 , x?2 x?2

即 b ? x( x ? 2) 成 立 。 设 y ? x( x? 2) , 则 y ? x2 ? 2 x ? ( x ? 1)2 ?1 , 因 为 x ? ?1 , 所 以

y ? ?1 ,所以要使 b ? x( x ? 2) 成立,则有 b ? ?1 ,选 C.
4 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】若函数 y ? e
( a ?1) x

? 4x ( x ? R )

有大于零的极值点,则实数 a 范围是 A. a ? ?3 【答案】B 【解析】解:因为函数 y=e x0=
(a-1)x



) D. a ? ?

B. a ? ?3

C. a ? ?

1 3

1 3

+4x,所以 y′=(a-1)e

(a-1)x

+4(a<1) ,所以函数的零点为

1 4 1 4 (a-1)x ln ln ,因为函数 y=e +4x(x∈R)有大于零的极值点,故 =0, a ? 1 ?a ? 1 a ? 1 ?a ? 1

得到 a<-3,选 B 5 【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试 数学文】 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c, 其导函数

f ?( x) 的图象如右图,则函数 f ( x) 的极小值是
A. a ? b ? c B. 8a ? 4b ? c C. 3a ? 2b D.c

【答案】D 【解析】由导函数 f ?( x) 的图象知当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,所以 函数 f ( x ) 的极小值为 f (0) ? c ,选 D. 6 【 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 文 ) 已 知 f ( x) ? 】

f (? ) ? f ?( ) ? 2 2 A. ?

?

1 c o sx , 则 x

?

B.

3

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

【答案】D 【解析】因为 f ( x) ?

1 1 1 1 cos x, 所以 f '( x) ? ? 2 cos x ? sin x ,所以 f (? ) ? ? , x x x ?

? 2 ? 3 f '( ) ? ? ,所以 f (? ) ? f ?( ) ? ? ,选 D. 2 ? 2 ?
7 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 若 a>0,b>0,且函数

f ( x) ? 4x 3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值()

A.2 【答案】D

B.3

C.6

D.9

【 解 析 】 函 数 的 导 数 为 f '( x) ? 12x2 ? 2ax ? 2b , 函 数 在 x ? 1 处 有 极 值 , 则 有 即 所以 即 当且仅当 a ? b ? 3 f '(1) ? 12 ? 2a ? 2b ? 0 , a ? b ? 6 , 6 ? a ? b ? 2 ab , ab ? 9 , 时取等号,选 D. 8 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=2,对任意 x ? R , f / ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A.(-1,1) 【答案】B 【解析】设 F ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 4) , 则 F (?1) ? f (?1) ? (?2 ? 4) ? 2 ? 2 ? 0 , B.(-1,+∞) C.(-∞,-l) ) D.(-∞,+∞)

F '( x) ? f '( x) ? 2 ,对任意 x ? R ,有 F '( x) ? f '( x ? ? ,即函数 F ( x) 在 R 上单调递增, ) 2 0
则 F ( x) ? 0 的解集为 (?1, ??) ,即 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) ,选 B. 9 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) ,则

f ' (0) ?
【答案】-4

.

【解析】函数的导数为 f '( x) ? 2 x ? 2 f '(1) ,所以 f '(1) ? 2 ? 2 f '(1) ,解得 f '(1) ? ?2 ,所 以 f ( x) ? x2 ? 4x ,所以 f '( x) ? 2 x ? 4 ,所以 f '(0) ? ?4 。 10 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(文) 】已知函数 f (x) 的定义域[-1,5] , 部分对应值如表, f (x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f (x) 的命题; ①函数 f (x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数 ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;

④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】①②④ 【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,函数单调递增,当 .

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值

f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,当 x ? 2 时,函数取得极小值 f (2) ,,又 f (?1) ? f (5) ? 1,所以函
数的最大值为 2,最小值为 1,值域为 [1, 2] ,①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 ,函 数取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 , 要使当 x ? [?1, t ] 函数 f (x) 的最大值是 4, 2 ? t ? 5 , 当 所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x) ? a 知,因为极小值 f (2) ? 1.5 ,极大值为

f (0) ? f (4) ? 2,所以当 1 ? a ? 2 时, y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点,所以④正确,所以真
命题的序号为①②④. 11 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (?2, 2) 【解析】由 f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ,得 f '( x) ?3 x 2 ?3 ,当 f '( x) ?3 x ?3 ? 0 ,得 x ? ?1 ,
3 2

.

由图象可知 f极大值 (?1)=2 ? a,f极小值 (1)=a ? 2 , 要使函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零 点,则有 f极大值 (?1)=2 ? a ? 0, f极小值 (1)=a ? 2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围 是 (?2, 2) 。 12 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文) 】已知函数 f (x) 的定义域为 A , 若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f (x) 的保值区间.若 f ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是

[e, ??) ,则 m 的值为
【答案】1

.

【解析】因为函数 f ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间为 [e, ??) ,则 f ( x) ? x ? m ? ln x 的值域

也是 [e, ?? ) ,因为因为函数的定义域为 (0, ??) ,所以由 f '( x) ? 1 ? x ? 0 ,得 x ? 1 ,即函 数 f ( x) ? x ? m ? ln x 的递增区间为 (1, ??) , 因为 f ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [e, ??) , 所以函数在 [e, ??) 上是单调递增,所以函数 f ( x) ? x ? m ? ln x 的值域也是 [e, ??) ,所以

1

f (e) ? e ,即 f (e) ? e ? m ? ln e ? e ,即 m ? ln e ? 1 。
13 【北京市东城区普通校 2013 届高三 11 月联考数学(文)(本小题满分 14 分) 】 已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ?

f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
…………

【答案】解: (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 1分 ∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3)

∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a)
2 2

…………4 分

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

a 3

…………5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ? a ? x ? 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ?

a . 3

a 3 a 3

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . …………7 分 (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a 3

a ? x ? ?a . 3

a 或 x ? ?a 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a ) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3
综上:

a 3 a 单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) 3 a 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ?a ) 3 a 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3
当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) , …………9 分 (Ⅲ)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a2 ? 1 恒成立, 等价于

2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立
3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立 ………………11 分 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 3x 1 1 3 1 ' ? ?? 设 h? x ? ? ln x ? , 则 h ?x ? ? ? ? 2 2 2x x 2 2x 2x 2
可得 a ? ln x ? ………………12 分 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? -

1 (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3

当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?(x)

(0,1)
+ 单调递增

1

(1,??)
单调递减

0
-2

h(x)

∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2 ∴

? a ? ?2
………14 分

a 的取值范围是 ?? 2,??? .

14 【北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(文) 】本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若当 恒成立,求 的取值范围; 处取得极值.

(Ⅲ)对任意的 如果不成立,请说明理由.

是否恒成立?如果成立,给出证明,

【答案】 (Ⅰ)∵f(x)=x3-
2

x2+bx+c,

∴f′(x)=3x -x+b. ……2 分 ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=0. ∴b=-2. ……3 分 经检验,符合题意. ……4 分 (Ⅱ)f(x)=x3-

x2-2x+c.
…5 分 1 + 0 - 0 (1,2) + 2

∵f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),

x f′(x) f(x)
……7 分

∴当 x=-

时,f(x)有极大值

+c.

又 ∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为 f(2)=2+c. ∴c >2+c.
2

……8 分

∴c<-1 或 c>2.

…………10 分

(Ⅲ)对任意的

恒成立.

由(Ⅱ)可知,当 x=1 时,f(x)有极小值

.



…12 分

∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为

.

,故结论成立. ……14 分

15 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 12 分)
x 已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? ax ? 2? e 的一个极值点. ( a ? R )

(1)求 a 的值; (2)任意 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e 【答案】 (1)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)e x , 由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 . 当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e x ,在 x ? 1 处取得极小值.所以 a ? 1 . (2)证明:由(1)知, f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? ( x ? 1)e x . 当 x ? ?0,1? 时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e x ? 0 , f (x) 在区间 ?0,1? 单调递减; 当 x ? ?1, 2? 时, f '( x) ? ( x ?1)e x ? 0 , f (x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x) 的最小值为 f (1) ? ?e .------ 8 分 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2? 上, f ( x) 的最大值为 f (2) ? 0 . ----------10 分 ---4 分 --------------2 分

对于 x1 , x2 ??0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . -------------------12 分

16 【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测文】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? a ln x, a ? R . x

(1)若函数 f (x) 在 [1,??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2 (2)记函数 g ( x) ? x [ f ?( x) ? 2x ? 2] ,若 g (x) 的最小值是 ? 6 ,求函数 f (x) 的解析式.

【答案】 f ' ( x) ? 2 ? ⑴ 分 令 h( x ) ?

2 a ? ?0 x2 x

∴a ?

2 ? 2 x 在 [1,??) 上恒成立…………2 x

2 ? 2 x, x ? [1,?? ) x

' ∵ h ( x) ? ?

2 ? 2 ? 0 恒成立 x2

∴ h( x)在[1,??)单调递减…………4 分 … ………6 分 … ………7 分

h( x) max ? h(1) ? 0
∴a ? 0 (2) g ( x) ? 2 x 3 ? ax ? 2, x ? 0 ∵ g ' ( x) ? 6 x 2 ? a 易知 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立

…………9 分

, ∴ g ( x)在(0,??)单调递增 无最小值,不合题意
令 g ( x) ? 0 ,则 x ?
'

∴ a ? 0 …………11 分

?a (舍负) 6

列表如下,(略)可得,

g ?x ? 在 ( (0,
点。

?a ?a ?a ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增,则 x ? 是函数的极小值 6 6 6

g ( x) min ? g ( x) 极小 ? g (
解得 a ? ?6

?a ) ? ?6 6
2 ? 6 ln x x

…………13 分

f ( x) ? 2 x ?

…………14 分

17 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】 (本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1]上的最大值。 【答案】解: (Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[x ? (a ? 1)] ………………2 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(? ?,a)
+ Z

a
0 极大值

(a, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1,??)
+ Z

f (x)

……………………4 分 所以 a ? 1 …………………………5 分 (由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

……………………6 分

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线, 所以 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 ……………………7 分 2 4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k

1 ……………………8 分 4 (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,
所以 k ? ? 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立
2 所以当 x ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ?

1 6

……………………9 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ?

1 3 1 2 a ? a ………………10 分 3 2

当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所以当 x ? 0 , f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 ……………………11 分

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增
2 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?

1 , 6

当 ?1 ? a ?

1 6 2 时, f (x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6
6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.…………14 分 6

当a ? ?

综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?

1 6 2 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6 1 3 1 2 a ? a 3 2

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ? 当a ? ?

6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

18 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 (本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x2 ? ax ?1nx, a ? R 。 (1)若 a=0 时,求函数 y ? f ( x) 在点(1, f ( x ) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3) g ( ) ? ( ) x ? 令 x fx ,
2

0( 是否存在实数 a, x ? (, ]e e 是自然对数的底) 函数 g ( x) 当 时,

的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。 【答案】

19 【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学(文) 】本小题满分 12 分)已知函数 错误!未找到引用源。 (1)若错误!未找到引用源。在区间[1,+错误!未找到引用源。 )上是增函数,求实数错误! 未找到引用源。的取值范围 (2)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的极值点,求错误!未找到引用源。 在[1,错误!未找到引用源。 ]上的最大值 【答案】

20 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 (本小题满分 14 分)已知函 数

f ? x ? ? ? x ? k ? ex f ? x?



(I)求

的单调区间; 在区间
/

(II)求

f ? x?

?0,1? 上的最小值。
x

【答案】解: (I) f ( x) ? ( x ? k ? 1)e ,……………………………………………………..3 分 令 f ( x) ? 0 ? x ? k ?1 ; 所 以
/

f ? x? f ? x?

? ) 在 (??, k ? 1) 上 递 减 , 在 (k ? 1 , ? 上 递

增;…………………………………………………………………………………………6 分 (II)当 k ? 1 ? 0, 即k ? 1 时,函数 在区间

?0,1? 上递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? ?k ;
f ? x?
在区间

当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时,由(I)知,函数 增,所以

?0, k ?1? 上递减, (k ?1,1] 上递

f ( x)min ? f (k ?1) ? ?ek ?1;

当 k ? 1 ? 1,即k ? 2 时,函数

f ? x?

在区间

?0,1? 上递减,所以 f ( x)min ? f (1) ? (1 ? k )e 。

……………………………………………………………………………………………….14 分 21 【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】 (本题满分 13 分)

函数 f ( x) ?

1 1 1 ? 2? 3; x x x

(1)求 y ? f (x) 在 ?? 4, ? 上的最值; ? 2

? ?

1? ?

(2)若 a ? 0 ,求 g ( x) ?

1 2 a ? 2 ? 3 的极值点 x x x

【答案】

22【山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试数学文】 (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若 a ? 1, b ? 0 ,函数 g ( x ) ?

1 3 bx ? bx ,若对任意的 x1 ? (1,2) ,总存在 x2 ? (1,2) ,使 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。
【答案】

23 【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(文)(本小题满分 12 分) 】 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x.

( (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值 范围.
2 【答案】解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 .………………2 分 x

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2. …………………………4 分

( ? (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) ………………5 分 .
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? ? ? 0, x x
所以 x ? 当0 ?

1 1 或x? . 2 a

……………………7 分

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ,

( ? 只要 g (x) 在 0, ?) 上单调递增即可.…………………………10 分
而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? 当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x
1 ( ? ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) 上单调递增;……………………11 分 x

2 ( ? 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ? 即0 ? a ? 8. 综上 0 ? a ? 8 . ………………………………………………14 分

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

24 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)已知

f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x2 ? mx ? 3 .

(1)求 f ( x ) 在 ?t , t ? 2? (t ? 0) 上的最小值; (2)若对一切 x? ? 0, ??? , 2 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 m 的取值范围.
1 【答案】解:(Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得x ? . e ? 1? 当 x ? ? 0, ? , f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; ? e? ?1 ? 当 x ? ? , ? ? ? , f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. ?e ? 因为t ? 0, t ? 2 ? 2 ? 1 , e

1 1 ?1? (1)当 0 ? t ? 时,f ( x) min ? f ? ? ? ? ; e e ?e?

1 (2)当 t ≥ 时,f (x)min ? f (t ) ? t ln t. e
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e , ? ?? ? t ln t , t ≥ 1 . ? e ?

所以 f ( x)min

…………………………………………………(6 分)

(Ⅱ)由 2 x ln x ≥ ? x 2 ? mx ? 3 得 m ≤ 2 ln x ? x ? 设 h( x) ? 2 ln x ? x ?
( x ?) 1 ? ( )x 3 3 则 ( x ? 0) , h?( x) ? x x2

3 . x

. 令 h ?( x) ? 0 , x ? 1 或 x ? ?3 得 (舍) ,

当 x ? (0, 1) 时, h ?( x) ? 0 ,h(x)单调递减;当 x ? (1, ? ?) 时, h ?( x) ? 0 ,h(x)单调递增, 所以 h( x)min ? h(1) ? 4. 所以 m ≤ h( x)min ? 4. …………………………………(12 分)


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