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2012河南专升本数学答案A定稿


2012 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学 试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 2 分,共 60 分) 题 号 答 案 题 号 答 案 题 号 答 案 1 C 11 D 21 B 2 B 12 A 22 C 3 D 13 C 23 B 4 D 14 B 24 A 5 C 15 B 25 C 6 A 16

C 26 B 7 B 17 D 27 A 8 B 18 A 28 C 9 D 19 B 29 C 10 B 20 D 30 A

二、填空题(每小题 2 分,共 20 分) 31. x+ x 32. 4 33. 0 34. ? 2, 35.

? ?

2? ? e2 ?

1 ln x 2 ? 1 ? ln x ? C 2
2

36. y ? xe? x 37. 1 38. ?1 39. 4π 40.发散

三、计算题(每小题 5 分,共 50 分)

? 1 sin ? x ? x ?cos 41.解 原式 ? l i m x ?0 x3
? lim
x ?0

? 1 ? ?

---------------3 分 ---------------4 分

sin x 1 ? cos x 1 ? ? x x2 cos x

高等数学 试题参考答案及评分标准 第 1 页 (共 6 页)

x2 1 sin x 1 = . ? lim ? lim 2 ? lim 2 x ?0 x ?0 x x?0 x cos x 2 dy dy dt a sin t 42. 解 因为 ? ? ? ? tan t dx dx ?a cos t dt
d ? dy ? d y dt ? dx ? ? sec2 t 1 3 ? ? ?? ? sec t . dx dx 2 ?a cos t a dt
2

----------------5 分

----------------2 分

所以

----------------5 分

43.解 令 于是

x+1 ? t ,则 x ? t 2 ? 1 ,且 dx ? 2t dt
t t 原式 ? 2 te dt ? 2 tde

----------------1 分 ----------------2 分 ----------------3 分 ----------------4 分

?

?

? 2(tet ? ? et dt )

? 2(t ?1)et ? C
回代

? 2( x ? 1 ? 1)e

x ?1

? C . ----------------5 分
----------------4 分 ----------------5 分

44.解

原式 ? lim
x ?0

x ? et dt
2

x

0

? x2

? ? ? lim
x ?0

x 0

e t dt x
2

2

? ? lim e x ? ?1 .
x?0

45.解

原方程的特征方程为

2r 2 ? 4r ? 3 ? 0
特征方程的根为

----------------2 分 ----------------3 分

r ? ?1 ?

2 i 2

所以原方程的通解为

? 2 2 ? y ? e ? x ? C1 cos x ? C2 sin x ? .----------------5 分 ? 2 2 ? ? ?
2) ----------------1 分

46.解 又

由?

? z x ? ?2 x ? 6? 0 ? ( 解得驻点 ( 3 , 2 ) , ?3 , 2 ? ?zy ? 3y ? 1 2 0 ?

zxx ? ?2, zxy ? 0, z yy ? 6 y
对于驻点 (3, 2) ,因为

A ? zxx (3, 2) ? ?2 ? 0, B ? zxy (3, 2) ? 0, C ? z yy (3, 2) ? 12
高等数学 试题参考答案及评分标准 第 2 页 (共 6 页)

所以 AC ? B ? ?24 ? 0 ,于是点 (3, 2) 不是函数的极值点. ----------------3 分
2

对于驻点 (3, ? 2) 有

A ? zxx (3, ? 2) ? ?2 ? 0, B ? zxy (3, ? 2) ? 0, C ? z yy (3, ? 2) ? ?12
于是

AC ? B 2 ? 24 ? 0
----------------5 分

所以函数在点 (3, ? 2) 处取极大值为 z (3, ? 2) ? 35 . 47.解 因为所求直线平行于直线 l : ?

?2 x ? 3 y? z? 5 ?x ? 2z ? 1

所以所求直线的方向向量为

? ? ? ? s ? 2 3 ?1 ? 6i ? 5 j ? 3k ? ?6, ? 5, ? 3? ----------------3 分 1 0 2
由直线的点向式方程可得,所求的直线方程为

? i

? j

? k

x ? 2 y ? 3 z ?1 ? ? . 6 ?5 ?3
48.解 由于

----------------5 分

?z y x x? y ? 2 ? 2 ? 2 2 2 ?x x ? y x ?y x ? y2 ?z x y y?x ?? 2 ? 2 ? 2 2 2 ?y x ?y x ?y x ? y2
所以

----------------1 分

----------------3 分

dz ?

?z ?z dx ? dy ?x ?y

----------------4 分

?
49.解

x? y y?x dx ? 2 dy . -------------------------5 分 2 2 x ?y x ? y2

在极坐标系下,区域 D (如第 49 题图所示)可以表示为

D ? {(r, ? ) 0 ? ? ? 2π, π ? r ? 2π} ----------------1 分
所以
2 2 ?? sin x ? y dxdy ? ? D 2π 0

d? ?
2π π

2π π

sin r ? rdr

----------------3 分
2π π

? ?2π ?

rdcosr ? ?2π ? r cos r ? ?

??

2π π

cos rdr ? ? ?

? ?6π 2 .

----------------5 分

高等数学 试题参考答案及评分标准 第 3 页 (共 6 页)

y

O

π

2π x

第 49 题图

50.解

因为 ? ? l i m
n? ?

an ?1 an

1 n ?1 ? l i mn ? 2 ? l i m n ? ? 1 n ? ? ?2 n n ?1

?

1

所以原级数的收敛半径为

R?

1

?

?1

----------------2分

也就是,当 ?1 ? x ? 2 ? 1 ,即 1 ? x ? 3 时,原级数收敛. 当 x ? 1 时,原级数为

?
n ?0

?

1 1 (?1)n 是交错级数且满足 un ? ? ? un?1 , n ?1 n?2 n ?1
----------------3分

lim un ? lim
n ?? n ??

1 ? 0 ,所以它是收敛的; n ?1

当 x ? 3 时,原级数为 散的;

?
n ?0

?

1 1 ,这是一个 p ? ? 1 的 p ? 级数,所以它是发 2 n ?1
----------------4分 ----------------5 分

所以,原级数的收敛域为 [1, 3) . 四、应用题(每小题 6 分,共 12 分) 51.解

) 因为 l n f (x ?

1 x

ln x ,

两边对 x 求导得 所以

f ?( x) 1 1 ? ? 2 ln x ? 2 f ( x) x x

----------------2分

f ?( x) ? x x ?
令 f ?( x) ? 0 ,解得唯一驻点 x ? e .

1

1 (1 ? ln x) x2
---------------3分

高等数学 试题参考答案及评分标准 第 4 页 (共 6 页)

又因为在区间 (0, e) 内 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 严格单调增加;在区间 (e, ? ?) 内 而 所以 f ( x ) 在 x ? e f ?( x) ? 0 , f ( x) 严格单调减少; f ( x) 又在区间 (0, ? ?) 连续,
1

处取最大值 e e .

--------------5 分

已知 2 ? 3 3 ,由上知 3 3 ? 4 4 ? ??? ? n n ? ??? 于是数列的第三项 3 3 是此数列 中最大的一项. 52.解 设切线与曲线相切于点 M0 ? x0, l n ( 0 x? --------------6 分 , 3) ? (如第 52 题图所示)

y

1
M (3, 0)

M0

O

4

3? e x

y ? ln( x ? 3)
第 52 题图

由于

y'

x ? x0

?

1 x0 ? 3

--------------1 分

则切线方程为

y ? ln( x0 ? 3) ?

1 ( x ? x0 ) x0 ? 3

因为切线经过点 M (3, 0) , 所以将 x ? 3, y ? 0 代入上式得切点坐标为 M0 ? e ? 3, 1? 从而切线方程为 --------------2 分

1 y ? ( x ? 3) e
因此,所求旋转体的体积为
3? e 1 2 V ? π ?12 ? e ? π ? ? ln( x ? 3) ? dx 4 3

--------------3 分

--------------4 分

高等数学 试题参考答案及评分标准 第 5 页 (共 6 页)

?

e ? ? πe 2 e ? π ? x ? ln x ? ? 2? ln xdx ? 1 1 3 ? ? e ? e ? πe ? e? ? πe ? 2π ? x ln x ? ? 1dx ? ? 2π ?1 ? ? . 1 1 3 ? 3? ? ?

?

--------------6 分

五、证明题(8 分) 53.证明 设 f ( x) ? ln x ,则 f ( x ) 在 ? n, m? 上连续,在 (n, m) 内可导,故 f ( x ) ----------------2 分

在区间 ?a, b? 上满足拉格朗日中值定理条件, 于是,至少存在一点 ? ? (n, m) ,使得

ln m ? ln n 1 ? m?n ?
又因为 0 ? n ? ? ? m ,故

----------------5 分

1 1 1 ? ? ,从而有 m ? n
1 ln m ? ln n 1 ? ? m m?n n
----------------6 分 ----------------8 分

所以

m?n m m?n ? ln ? . m n n

高等数学 试题参考答案及评分标准 第 6 页 (共 6 页)


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