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2.3.3直线与平面垂直的性质教学设计


2.3.3 直线与平面垂直的性质
教学目的: 1 对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解,并应用此判定 定理去处理有关垂直的问题; 2 掌握直线与平面垂直的性质定理,并会应用直线与平面垂直的 性质定理解决相关问题;能解决“当 a∥α 时,直线 a 与平面α 的距 离问题” ; 教学重点:直线与平面垂直的性质定理 教学难点:判定定理和性质定理的运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 直线和平面的位置关系 观察空间直线和平面可知它们的位置关系有: (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类
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它们的图形分别可表示为如下, 符号分别可表示为 a ? ? ,a ? ? ? A ,
a // ?
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a
a

a
?

?

A
?

2 线面平行的判定 定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行
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推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ?
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?
l m

3 线面平行的性质 定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平 行
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?

推理模式: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m

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4 线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内 的任意一条直线都垂直, 我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中 直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 5 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相 交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 讲解新课: 1.直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平 行
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已知:如图, a ? ? , b ? ?

求证: a // b

证明: (反证法)假定 b 不平行于 a ,则 b 与 a 相交或 异面; (1)若 a 与 b 相交,设 a ? b ? A , ∵ a ? ?,b ? ? ∴过点 A 有两条直线与平面 ? 垂直, 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾, ∴ a 与 b 不相交; (2)若 a 与 b 异面,设 b ? ? ? O ,过 O 作 b? // a , ∵a ?? ∴ b? ? ? 又∵ b ? ? 且 b ? b? ? O ,

∴过点 O 有直线 b ? 和 b 垂直于 ? 与过一点有且只有一条直线一已知平 面垂直矛盾, ∴ b 与 a 不异面,综上假设不成立, ∴ a // b . 2.点到平面的距离的定义:从平面外一点引一个平面的垂线,这个 点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线和平面的距离的定义:一条直线和一个平面平行,这条直线 上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离. 二、讲解范例: 例 1 已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A ,直线 AP ? l ,求证: AP 在平 面? 内
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证明:设 AP 与 l 确定的平面为 ? ,
?
l A P M

?

如果 AP 不在 ? 内,则可设 ? ? ? ? AM , ∵ l ? ? ,∴ l ? AM ,又∵ AP ? l , 于是在平面 ? 内过点 A 有两条直线垂直于 l , 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, 所以 AP 一定在平面 ? 内 例 2 已知一条直线 l 和一个平面 ? 平行,求证直线 l 上各点到平面 ? 的距离相等 证明: 过直线 l 上任意两点 A、 B 分别引平面 ? 的
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垂线 AA?, BB ? ,垂足分别为 A?, B? ∵ AA? ? ? , BB? ? ?

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∴ AA? // BB ?

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设经过直线 AA?, BB ? 的平面为 ? ,? ? ? ? A?B?

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∵ l // ? ∴ l // A?B ? ∴四边形 AA?B?B 为平行四边形 ∴ AA? ? BB ? 由 A、B 是直线 l 上任意的两点,可知直线 l 上各点到这个平面距离相 等 例 3.已知:a,b 是两条异面直线,a??,b??,?∩?= l ,AB 是 a,b 公垂线,交 a 于 A,交 b 于 B 求证:AB∥ l 证明方法一: (利用线面垂直的性质定理) 过 A 作 b? ∥b,则 a, b? 可确定一平面γ ∵AB 是异面垂线的公垂线, 即 AB?a,AB?b ∴AB? b? ∴AB?γ ∵a?α ,b?β ,?∩?= l ∴ l ?a, l ?b ∴ l ? b? ∴ l ?γ ∴AB∥ l 证明方法二: (利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行)
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∵AB 是异面直线 a,b 的公垂线,过 AB 与 a 作平面γ ,γ ∩?=m ∵a?? ∴a?m l 又 a?AB,AB?γ bg ∴m∥AB γ
B m a n

α

A

β

又过 AB 作平面 g,g∩β =n 同理:n∥AB ∴m∥n,于是有 m∥β 又?∩?= l ∴m∥ l ∴AB∥ l 三、课堂练习: 1.选择题 (1) 直线 l 与平面?内的两条直线都垂直, 则直线 l 与平面?的位置关 系是 (A)平行 (B)垂直 (C)在平面?内 (D)无法确定 (2)对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件: ①与 a 是异面直线;②与 a 所成的角为定值θ ;③与 a 距离为定 值d 那么这样的直线 b 有( ) (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条 答案: (1)D; (2)D 2.求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直 分析:用反证法,假设这两条异面直线同时和一个平面垂直,由直线 和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行,此与条件矛盾 因此两 条异面直线不能同时和一个平面垂直 3.地面上有两根相距 c 米的直立旗杆,它们的长分别是 a 米,b 米 (b>a) ,求它们上端间的距离 分析:如图所示,ABC 为直角三角形
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| AB |? (b ? a ) 2 ? c 2

4.平行四边形 ABCD 所在平面?外有一点 P,且 PA=PB=PC=PD,求 P 证:点 P 与平行四边形对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD 分析: 由条件知, PO 分别为等腰三角形 PAC、 PBD D 底边上的高,所以 PO 与 AC、BD 都垂直,从而 O PO 与平面 ? 垂直 由于 AB、 AD 都在 ? 内, 所以 PO ? A 垂直于 AB、AD
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C B

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5.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC

于 M,GC 垂直于 ABCD 所在平面. (1)求证:EF⊥平面 GMC. (2)若 AB=4,GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析:第 1 小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理; 第 2 小题,如果用定义来求点到平面的距离,因为体现距离的垂线段 无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距离 问题. 解: (1)连结 BD 交 AC 于 O, G ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.
D E M A ∵AC∩GC=C, F ∴EF⊥平面 GMC. (2)可证 BD∥平面 EFG,由例题 2,正方形中心 O 到平面 EFG B C

6.求证:空间四边形的四个内角不可能全是直角 证明: (用反证法)假设空间四边形 ABCD 的四个内角都是直角
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A

D ?D EA ,D D ? CB C, D C? B C ,D E ? 过 D 作 DE // AB , 则A

设 DE,DC 确定的平面为 ? ,则 AD ? ? , BC ? ? ,

D

C

∴ AD // BC ,∴AD,BC 共面,此与 ABCD 是空间 B ? E 四边形 矛盾 ∴空间四边形的四个内角不可能全是直角 四、小结 :我们学习了直线和平面垂直的性质定理,以及两个距离 的定义.定理的证明用到反证法,证明几何问题常规的方法有两种: 直接证法和间接证法,直接证法常依据定义、定理、公理,并适当引 用平面几何的知识;用直接法证明比较困难时,我们可以考虑间接证 法,反证法就是一种间接证法.直线与平面垂直的性质定理,应用直 线与平面垂直的性质定理解决相关问题 五、课后作业: 1.已知矩形 ABCD 的边长 AB=6cm,BC=4cm,在 CD 上截取 CE=4cm, 以 BE 为棱将矩形折起, 使△BC′E 的高 C′F⊥平面 ABED, 求:
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C'

D E F A B

C

(1)点 C′到平面 ABED 的距离; (2)C′到边 AB 的距离; (3)C′到 AD 的距离. 参考答案: (1)作 FH⊥AB 于 H,作 FG⊥AD 于 G, 则 C′H⊥AB, C ?G ? AD ,可算得 BE=4 2 cm,HB=2cm, ∴ C ? 到平面 ABED 的距离为 C?F ? 2 2 cm ⑵ C ? 到平面 AB 的距离为 C?H ? 2 3 cm ⑶ C ? 到平面 AD 的距离为 C?G ? 2 6 cm 2.如图,已知 ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点. 求证:BE 不可能垂直于平面 SCD. 参考答案:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD,

∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
S

∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD
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E D C B

A


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