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惠州市2015届高三第一次调研考试(理科试题)


惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以 上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.复数 z ?

A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. ? i 2


2.已知集合 A ? { y y ? x ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B ? B D. A ? B ? B 900、 1200 人,现用分层抽样的方法从该 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、
校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. ? 3 ? A

B. 3 ? B

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 侧视图 3 俯视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? (

B. 36 C. 54 D. 72 1 5 2 4 5.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) x A. 10 B. ? 10 C. ? 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

7.已知 x, y 都是区间 [ 0,

A.

4 ?2

? ] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是( 2 2 1 2 B. C. D. ? 2 ?2
第 1 页共 1 页

C. 24

D. 4



8.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它的 长度 a ? b ? a b sin ? ,若 u ? (2,0) , u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? (

r

r r



A. 4 3

B.

3

C. 6

D. 2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 函数 y ? log 3 (3 x ? 2) 的定义域是 . .

10.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

?x ? 0 ? 12.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中, A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . O .

A B P 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin

2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值.

第 2 页共 2 页

17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 ? 50 为 优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,得到每 天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? ,

?15,25? , ? 25,35? , ?35,45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3, 数据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

, n? ,则样本

? xn pn .)

(3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数据中随 机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O 18.(本小题满分 14 分)

5 15 25 35 45 空气质量指数

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 6
A1 B1 C1

A
第 3 页共 3 页

C B

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都 ? an an?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)

1 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 a b
(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. y l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

F2

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc , 其导函数为 f ?( x ) . 记函数 g ( x) ? f ?( x) 在 3

区间 ? ?11 , ? 上的最大值为 M . (1) 如果函数 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b ? 1,证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.
第 4 页共 4 页

惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D

1. 【解析】化简得 z ?

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

2. 【解析】已知集合 A ? (?3,??), B ? [2,??), ? A ? B ? B ,故选 C 3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为 50 ?

4 ? 20 人,故选 B 3?3? 4 8(a4 ? a5 ) ? 72 ,故 2

4. 【解析】由题意 a4 ? a5 ? 18 ,等差数列中 a4 ? a5 ? a1 ? a8 ,所以 S8 ? 选D

r 5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为 C5 (?1)r x10 ?3r ,则 10 ? 3r ? 4 得 r ? 2 ,所以含

x4 项
2 的系数为 C5 (?1)2 ? 10 ,故选 A

3 3 4 第 6 题图

6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的, 2 如图 V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 ,故选 C 2 3 2

7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y ? sin x 的图像在 [0, 形的面积,即 S ?

?
2

] 内与 x 轴围成的图

?

?

2 0

sin xdx ? 1 ,则事件 A 的概率为 P ?

s 1 4 ? ? 2 ,故选 A s? ? ? ? ? 2 2
, cos ? u, u ? v ?? 3)

8. 【 解 析 】 由 题 意 v ? u ? (u ? v) ? (1, 3) , 则 u ? v ? ( 3,

3 ,得 2

1 1 s i n? u ,u ? v ? ? ,由定义知 u ? (u ? v) ? u u ? v sin ? u , u ? v ?? 2 ? 2 3 ? ? 2 3 , 2 2
第 5 页共 5 页

故选 D 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ( ,?? )

2 3

10. x ?
2

y2 ?1 3

11.12

12. 3

13. (?1, ??)

14. 2 2 ?1

15. 5 9. 【解析】由 3 x ? 2 ? 0 得 x ?

2 2 ,则定义域为: ( ,?? ) 3 3 c ? 2 ,得 c ? 2 ,又 c 2 ? a 2 ? b2 得 a

10. 【解析】抛物线焦点 (1, 0) ,则双曲线中: a ? 1 ,且 e ?

b3 ? 3 ,
则双曲线的标准方程为: x ?
2

y2 ?1 3

y

11. 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4, 当末位是 2 时,前三位将 1 , 3 , 4 三个数字任意排列,则
3 3 有 A3 ? 6 种排法,末位为 4 时一样有 A3 ? 6 种,两类共有: 3 2 A3 ? 12 种,故共有没有重复数字的偶数 12 个。

C 1 O 1 -1 A

B

x y=-x

12. 【解析】由约束条件画出可行域如图所示, 则目标函数 z ? x ? y 在点 B(2,1) 取得最大值, 代入得 x ? y ? 3 ,故 x ? y 的最大值为 3 。 13. 【解析】设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 ,则 g ?(x) ? f ?(x) ?2 ?0 ,得函数 g ( x) 在 R 上为增函 数, 且 g (?1) ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 4 ? 0 ,所以当 f ( x) ? 2 x ? 4 时,有 g ( x) ? 0 ,得 x ? ?1 , 故不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) 14. 【解析】由题意,直线 l : x ? y ? 5 ? 0 ,圆的标准方程 x ? ( y ?1) ? 1 ,则圆心 (0,1) 到直线
2 2

l 的距离为 2 2 ,且圆半径 r ? 1 ,故 AB min ? d ? r ? 2 2 ? 1

r ,设 PO 与圆 O 15. 【解析】以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆,则圆 O 经过点 B ,即 OA ?OB ? 交于
点 C 且延长 PO 交圆 O 与点 D ,由切割线定理知 PA PB ? PD PC ,即 (3 ? r )(3 ? r ) ? 4 ,
第 6 页共 6 页

得 r ? 5 ,所以 OA ? r ? 5 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ sin

D

O C A B P

x x x ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 2 2 2 x ∴ tan ? 2 2 x 2 tan 2 ∴ tan x ? 2 x 1 ? tan 2 2? 2 4 ? ?? 2 1? 2 3

-------------------------1 分 ---------------------------2 分

----------------------------4 分

----------------------------5 分 ---------------------------7 分

(2) 原式 ?

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x ? sin x ? sin x 2 ? 2 ?

?
?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x)sin x

----------------------------9 分

cos x ? sin x sin x 1 ? tan x ? tan x 1 ? 4
17. (本小题满分 12 分)

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

?????1 分 ?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级” ,

第 7 页共 7 页

且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?

?????5 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? 125 ?5? ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

?????6 分

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125
∴? 的分布列为:

2

3

?

0

1

2
12 125

3

P

64 125

48 125

1 125

?????11 分 ∴E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 (或者 E? ? 3 ? ? ) 5 5

?????12 分

18. (本小题满分 14 分)

AD , 解: (1)证明:如右图,取 A 1B 的中点 D ,连接
因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B 由平面 A 1 BC 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且平面 A 分

?????1 分 ?????2 分 侧面 A 1 B ,????3 1 ABB 1 ? A A1 C1 E B1

BC ? 平面 A1BC , 得 AD ? 平面A 1BC ,又
所以 AD ? BC . ???????4 分 D 因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA 1 ? 底面ABC , A
第 8 页共 8 页

C B

所以 AA1 ? BC . 又 AA 1

AD=A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,
??????7 分

AB ? BC . 又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,故

CD 是 AC 在 平面A1BC 内的射影 (2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A 1BC ,则
∴ ?ACD 即为直线 AC 与 平面A1BC 所成的角,则 ?ACD = 分 在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1B 中点 1 ? AB ? 2 ,且点 D 是 A ∴ AD ?

?
6

????8

1 ? ? A1 B ? 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = 2 2 6
???????9

∴ AC ? 2 2 分

DE 过点 A 作 AE ? AC 1 于点 E ,连
由(1)知 AD ? 平面A 1BC ,则 AD ? AC 1 ,且 AE ∴ ? AED 即为二面角 A ? A 1C ? B 的一个平面角 10 分 且直角 ?A1 AC 中: AE ? 又 AD= 2 , ?ADE =

AD ? A
???????

A1 A AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? AC 3 2 3 1

?
2



sin ?AED=

AD 2 3 ,且二面角 A ? AC ? ? 1 ? B 为锐二面角 AE 2 6 2 3

∴ ?AED = 14 分

?
3

,即二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为

? 3

???????

第 9 页共 9 页

解法二(向量法) : 由 ( 1 ) 知 A B ? B C且 BB1 ? 底面ABC , 所 以 以 点 B 为 原 点 , 以

BC、BA、BB1 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图所示,且
设 BC ? a ,则

A(0, 2, 0) ,

B(0, 0, 0) ,

C (a,0,0) ,

A1 (0, 2, 2)

BC ? (a,0,0) ,
9分

BA1 ? ( 0 , 2 , , 2)

AC ? (a, ?2,0) ,

AA1 ? (0,0, 2) ??

设平面 A1 BC 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z) 由 BC ? n1 ,

BA1 ? n1 得:
????10

? xa ? 0 令 y ? 1 ,得 x ? 0, z ? ?1,则 n1 ? (0 ,1 , 1 ) ? ? ?2 y ? 2 z ? 0
分 设直线 AC 与 平面A1BC 所成的角为 ? ,则 ? ? 得 sin 分 又设平面 A 1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得, n2 ? (1,1,0) 设锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 ? ,则

?
6
???12

?
6

?

AC n1 AC n1

?

?2 4 ? a2

1 , 2 ? ,0 ) ? ,解得 a ? 2 ,即 AC ? (2 2 2

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

n1 n2 n1 n2

?

? ? 1 ,且 ? ? (0, ) ,得 ? ? 3 2 2
? 。 3
???????14

∴ 锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1) (解法一)∵ S n ? ∴S n ?1 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
第 10 页共 10 页

∴an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 ∴(n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两式相减得 (n ? 1)an?2 ? nan?1 ? (n ? 2)an?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an?2 ? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ∴ 数列 ?an ? 是等差数列 且 a1 ? 3,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二) ∵ Sn ?

???????3 分

??????5 分

???????7 分

???????8 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得

???????3 分

an?1 an 1 ? ? , n ? 1 n n(n ? 1)

???????5 分



an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
a2 a1 a1 ? ? 2 1 1

???????6 分

累加得

an an an ?1 an ?1 an ? 2 ? ? ? ? ? n n n ?1 n ?1 n ? 2

?

第 11 页共 11 页

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 1 ? ?2 n

?

1 ?1? 3 2

得 an ? 2n ? 1 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ∴

???????8 分

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

???????10 分

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? 2 3 5 5 7 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? 6

?

1 1 1 1 ? ? ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

???????12 分

则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn )max ? M ,所以只要 M ? ∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,且 M 的最小值为 14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题: e ?

1 6

1 ???? 6

c 1 ? ① a 2
(2 + c) 2 + 1 2 = 10 ② ???????2

左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:d = 分

由① ② 可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. ∴ 所求椭圆 C 的方程为 x2 y2 + =1 . 4 3 ??????4 分

??????3 分 y l A

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴ x1 + x2 = - 2 ,x1x2 = , 4k + 3 4k 2 + 3 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵ AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0.
第 12 页共 12 页

F1 ??????6 分 B

O

F2

A2

??????7 分

所以 (x1-2,y1)· (x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 4m 2-12 8km = (k 2 + 1)· 2 -(km-2)· 2 + m2 + 4 = 0 . 4k + 3 4k + 3 2 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0. 7 ??????10 分 ??????12 分

若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去;???13 分 2 2 2 2 若 m = - k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7 7 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ f ?( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ? ?????14

4 ,可得 3
??????? 2

? f ?(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ?b ? 1 ?b ? ?1 ? 或? 1 4 ,解得, ? ? f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ?c ? ?1 ?c ? 3 ? 3 3 ?


c ? ?1 , 若 b ? 1, 则 f ?( x) ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 , 此时函数 f ( x) 没有极值; ?
3分 若 b ? ?1 , c ? 3 ,则 f ?(x) ??x 2 ? 2x ? 3 ?? ( x? 1 )( x?1 ) ,此时当 x 变化时, f ( x) ,

f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?3)

?3 0
极小值 ?12

(?3,1)

1

(1, ??)

?


?


0
极大值 ?

?
4 3


??????

∴ 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? 4分

4 ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3

2 2 2 (2)证法一: g ( x) ? f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ? ?( x ? b) ? b ? c

第 13 页共 13 页

当 b ? 1时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外 ∴ 的一个 ∴

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得, 故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大

2M

?

g(1) ? g(?1) ? ?1? 2b ? c ? ?1? 2b ? c ? 4b ? 4





M ?2

????8 分

证法二(反证法) :因为 b ? 1,所以函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外, ∴ 一个, 假设 M ? 2 ,则 ? 分

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得, 故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的

? ) ? ?1? 2 b ? c? 2 ? g (?1 ,将上述两式相加得: 1 ) ?? 1 ?2 b? c ? 2 ? ?g(

??????6

4 ? ?1? 2b ? c ? ?1? 2b ? c ? 4b ? 4 ,得 4 ? 4 ,产生矛盾,


M ?2
2 2 (3) g ( x ) ? f ?( x ) ? ?( x ? b) ? b ? c

??????????8 分

(i)当 b ? 1时,由(2)可知 M ? 2 ; 9分 (ii)当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之内, 此 时

??????

M ?m

?a

? g x
(

( g ? 1
1 )

, )g , 由 b

) f b1 有 ) , ( f ?( 1 ?1 )?? , ? ( ( )

4

2 f ?( ? b) ? ? f ?( ? 1 ? )b

0

① 若 ?1 ? b ? 0 ,则 f ? ?1? ? f ?(?1) ? f ?(b) ,则 g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max

? f ?(1) ,

f ?(b) ? ?

1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) 2 2
??????????

?
11 分

1 1 (b ? 1) 2 ? 2 2

② 若 0 ? b ? 1 ,则 f ? ? ?1? ? f ?(1) ? f ?(b) ,则 g (1) ? max ?g (?1), g (b)?
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M ? max ? f ?(?1) , f ?(b) ? ?
13 分

1 1 1 1 ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2
??????????

综上可知,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0 ,c ? 意 的

1 2

1 1 1 时, g ( x) ? ? x 2 ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? ,故 M ? k 对任 2 2 2

b



c









k











1 。 2

??????????14 分

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