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数学理试题


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福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第九次质量检查数学(理)试题
考试时间:120 分钟 2015.5.4 参考公式: 样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差

s= 试卷满分:150 分

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n
1 Sh 3

其中为样本平均数

锥体体积公式 V=

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 S 为底面面积,h 为高

柱体体积公式 V=Sh 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其 中 R 为球的半径 共 50 分)

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.设全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7?,M ? ?2, 3, 4, 6?,N = ?1 , 4, 5?,则?1,5? 等于 A. M ? N B. M ? N C.

?C

U

M ?? N

D. M ? CU N

2.设是虚数单位,复数 Z ? 1 ? A. 1 ? i B. 1 ? i

1? i 为 1? i
C. ?1 ? i D. ?1 ? i

3.下列四个结论: ①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0 ,则 x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0 ,则 x ? sin x ? 0 ”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R? , x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R? , x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若a2 ? ?11, a5 ? a9 ? ?2 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.9
2

B.8

C.7

D.6

5.已知抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为 a2
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A.

2 5 5

B.

4 15 15

C.

2 3 3

D. 3

6.已知函数 f ? x ? ?

1 ,则y ? f ? x ? 的图象大致为 x ? ln x ? 1

7. 三棱锥 S ? ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则棱 SB 的长为 A. 2 11 B. 4 2 C.

38

D. 16 3 8. 在区间 [0, ? ] 上随机取 “ sin x ? cos x ? A. 一 个数 ,则事 件

6 ”发生的概率为 2
B.

2 3

1 4

C.

1 3

D.

1 2

? 3x ? y ? 0 ? 9. 已知点 A(3, 3) ,O 为坐标原点, 点 P( x, y) 的坐标, 满足 ? 则向量 OA 在向量 OP ?x ? 3y ? 2 ? 0 , ?y ? 0 ? ?
方向上的投影的取值范围是 A. [? 3, 3] B.

[?3, 3]

C. [? 3,3]

D. [?3,3]

10.己知定义在上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x) ,满足 f ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ? 2) 为偶函数,

f (4) ? 1,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为
A. ( ?2, ??) B. (0, ??) C. (1, ??) D. (4, ??)

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第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 答案填在答题卡相应位置. 11. (2 x ?

共 100 分) 20 分. 把

3

1 8 ) 展开式中的常数项为 x



12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 __________________. 13.有 4 本不同的书,其中语文书 1 本,数学书 理书 1 本,若将其随机地并排摆成一排,则同一科目 邻的摆法有_______种.(用数字作答) 14.在 Rt ?ABC 中, ?C ? 2 本,物 的书不相

?
2

, ?B ?

?
6

, CA ? 1,



2 AC ? AB ? _________.
15. 已 知 有 限 集 A ? ? a ? ? ?n ,?? a 1, a 2, a 3, 如 果 A 中 元 素 ai (i ? 1, 2, 3, ?, n) 满 足 n? 2 , n ? ? .N

,给出下列结论: a1a 2??? an ? a ? ? an ,就称 A 为“复活集” 1 a ???? 2 ①集合 ?

? ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? , ; ? 是“复活集” 2 ? ? 2 ? ?

② 若a1 , a2 ? R, 且?a1, a2 ? 是“复活集” ,则 a1a2 ? 4 ; ③ 若a1, a2 ? N , 则?a1, a2 ? 不可能是“复活集” ;
*

④若 ai ? R* ,则“复活集”A 有且只有一个,且 n ? 3 . 其中正确的结论是___________.(填上你认为所有正确的结论序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? b sin x cos x 满足 f ( ) ? 2 .
2

?

6

(Ⅰ)求实数 b 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)记 g ( x) ? f ( x ? t ) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求实数的值.

17.(本小题满分 13 分) 在一次对某班 42 名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查
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中,经统计得到如下 2×2 列联表: (单位:人) 篮球 男同学 女同学 总计 16 8 24 排球 6 12 18 总计 22 20 42

(Ⅰ)据此判断是否有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关? (Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取 7 名同学 进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”. ①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率; ②设乙、丙两人中被抽中的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 下面临界值表供参考:

P( K 2≥k0 )
k0 参考公式: K 2 ?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

18.(本小题满分 13 分) 如图,将长为 4 ,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的四个侧面,记底面上一边

AB ? t (0 ? t ? 2) ,连接 A1B , AC 1 ,A 1D .
(Ⅰ) 当长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积最大时,求二面角 B ? AC 1 ? D 的值;

BPD ,若有,求出点的位置,没有请说明理由. (Ⅱ)线段 AC 1 上是否存在一点,使得 AC 1 平面
A1 B1
1

D1 C1

A

t

2?t

t

2?t

D C

B

19. (本小题满分 13 分)

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2 2 已知圆 E : x ? ( y ? ) ?

1 2

9 经过 4

y 左 右 焦 点 F1 , 且 F1 , ,三点共 F2 x

椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

A

F2 ,且与椭圆 C 在第一象限的交点为,
线,直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点,且 F1

.E
O

MN ? ?OA (? ? 0) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当三角形 AMN 的面积取到最 大值时, 求直线

l 的方程.
20.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln | x | ? x ? ax 。
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的导函数 f '( x) ; (Ⅱ)若 x1 , x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 x1 ? x2 ? ?

1 ,试求函数 f(x)的单调递增区间; 2

(Ⅲ)设函数 f(x)的点 C( x0 , f ( x0 ) ) ( x0 为非零常数)处的切线为 l ,若函数 f(x)图象上的点 都不在直线 l 的上方,求 x0 的取值范围。

21.本题有(1) 、 (2) 、 (2)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分,如果多 2 做,则按所做的前两题计分,作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题 号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 a, b ? R ,若矩阵 A ? ? (Ⅰ)求矩阵; (Ⅱ)求矩阵的逆矩阵.

? ?1 a ? ? 所对应的变换 TA 把直线 l : 2 x ? y ? 3 变换为它自身. ? b 3?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为
? 2 ,曲线 C 的参数方程为 ? x ? ?1 ? cos ? ? sin(? ? ) ? a 2 ,(? 为参数, 0 ?? ??) . ? 4 2 ? y ? ?1 ? sin ?

(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数的取值范围.
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(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 5 ? a) . (Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)当函数 f ( x ) 的定义域为时,求实数的取值范围.

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福州八中 2014—2015 学年高三毕业班第九次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 一、选择题 CABCC ABCDB 二、填空题 11.112 三、解答题 16.解: (Ⅰ)由 f ? 12.

5 11

13.12

14.2

15.①③④

1 1 3 ?? ? ? 2 ??2 分,解得 b ? 2 3 ?3 分 ? ? 2 ,得 2 ? ? b ? ? 4 2 2 ?6?

将 b ? 2 3 代入 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x 得 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x 所以 f ( x) ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ??4 分

? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ????5 分 2? ? ? ????6 分 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x ? t ) ? 2 sin[ 2( x ? t ) ? 所以 g ( x) ? 2 sin? 2 x ? 2t ?

?
6

] ? 1,

? ?

??

? ? 1 ??8 分 6?

函数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数,均有 g (? x) ? g ( x) 成立。 所以 sin ?? 2t ?

?? ??

??

? ?? ? ?? ? ? 2 x? ? sin ?? 2t ? ? ? 2 x? ????9 分 6? 6? ? ?? ?

整理得, cos? 2t ?

? ?

??

? sin x ? 0 ??(*)??????10 分 6?

(*)式对于任意的实数均成立,只有 cos? 2t ? 所以 t ?

? ?

??

? ? ? ? 0 ,解得 2t ? ? k? ? , 6 2 6?

k? ? ? , k ? Z ????13 分 2 3
2 2

17.解: (Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 k 42×(16×12-8×6) 252 ≈4.582>3.841. 24×18×20×22 55
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??2 分
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所以,据此统计有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.?4 分 (Ⅱ)①由题可知在“排球小组”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. 方法一:令事件 A 为“甲被抽到”;事件 B 为“乙丙被抽到”,则 P(A∩B)
2 C3 C17 3 , P(A) . 3 3 C18 C18

所以 P(B|A)

P(A∩B) C 3 2 1 3 . 2 17×16 136 P(A) C17

??7 分

方法二:令事件 C 为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”, 则 P(C) 2 1 C2 2 . 2 17×16136 C17

②由题知 X 的可能值为 0,1,2. 依题意 P(X0)
3 2 2 35 5 1 C16 C16 C1 C1 2 16 C2 ; P(X1) ; P(X2) . 3 51 3 3 17 51 C18 C18 C18

从而 X 的分布列为 X P 0 35 51 1 5 17 2 1 51 ??11 分 35 5 1 171 于是 E(X) 0× +1× +2× . 51 17 51513 ??13 分

18.解: 根据题意可知,AA1, AB,AD 两两垂直,以 AB 为轴,AD 为轴,AA1 为轴建立如图所示的空间直角坐 标系: (Ⅰ)长方体体积为 V ? t (2 ? t ) ?1 ? t (2 ? t ) ? ?

? t ? 2?t ? ? ? 1 ????????2 分 ? 2 ?
????????????3 分 ?4 分

2

当且仅当 t ? 2 ? t ,即 t ? 1 时体积 V 有最大值为 1

所以当长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积最大时,底面四边形 ABCD 为正方形 则

A1 ? 0,0,1? , B ?1,0,0 ? , C ?1,1,0 ? , A1B ? ?1,0, ?1? , BC ? ?0,1,0 ? z m ? ? x, y, z ?
,则 ?

设平面 A1BC 的法向量

?x ? z ? 0 ?y ? 0

, AD B 1C
1 11

取 x ? z ? 1 ,得: m ? (1,0,1)

??????6 分

同理可得平面 A1CD 的法向量 n ? (0,1,1) ??7 分 所以, cos ? m, n ??

mn 1 ? m n 2

OD y ( B C Ax )

??????8 分

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120? .????9 分 又二面角 B ? AC 1 ? D 为钝角,故值是
(也可以通过证明 B1A 平面 A1BC 写出平面 A1BC 的法向量) ( Ⅱ) 根据题意 有

B ?t,0,0? , C ?t,2 ? t,0? , D ? 0,2 ? t,0?

,若线 段 AC 上存在 一点满足 要求 ,不妨 1

P ? ?t, ? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? A1P ? ? AC 1 ,可得
BP ? ? ?t ? t , ? ? 2 ? t ? ,1 ? ? ? , BD ? ? ?t , 2 ? t ,0 ?
? ? ?t ? ?t ? t ? ? ? ? 2 ? t ? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? BP ? A1C ? 0 ? 2 ? 2 ?t ? ? 2 ? t ? ? 0 BD ? A C ? 0 ? ? ? 1 ? 即: ??????????11 分
2

解得: t ? 1, ? ?

2 3

??????????????????????12 分

即 只 有 当 底 面 四 边 形 是 正 方 形 时 才 有 符 合 要 求 的 点 , 位 置 是 线 段 AC 上 A 1 1P : PC ? 2 :1 处. ??????????????13 分

19. (Ⅰ)解:如图圆经过椭圆 C 的左右焦点 F1 , F2 ,

F1 , E, A 三 点 共 线 ,

F1 A 为 圆 的 直 径 ,
???2 分

? AF2 ? F1F2

1 9 x 2 ? (0 ? ) 2 ? 2 4

,

? x ? ? 2 ,? c ? 2
| AF2 |2 ?| AF1 |2 ? | F1 F2 |2 ? 9 ? 8 ? 1 ,

2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4
a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 2 ,
椭圆 C 的方程 ???4 分

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

???5 分

(Ⅱ)点的坐标 ( 2,1) MN ? ?OA(? ? 0) , 所以直线 为

l 的斜率

2 , ???6 分 2
故设直线 l 的方程为 y ?

2 x?m 2

? 2 y? x?m ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2

? x2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ? 2m, x1x2 ? m2 ? 2,
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? ? 2m2 ? 4m2 ? 8 ? 0 ,??2 ? m ? 2
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???8 分

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| MN |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 1 ?
点到直线 l 的距离 d ?

1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 12 ? 3m2 2
???10 分

???9 分

6 |m| 3

S?AMN ?

1 1 6 2 2 4 ? m2 ? m2 | MN | ?d ? 12 ? 3m2 ? | m |? (4 ? m2 )m2 ? ? ? 2 12 分 2 2 3 2 2 2

当且仅当 4 ? m2 ? m2 ,即 m ? ? 2 ,直线 l 的方程为 y ? 20 .

2 x ? 2 ???13 分 2

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21. (1)本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想. 解: (Ⅰ) 法一:设 P ( x, y ) 为直线 2 x ? y ? 3 上任意一点其在的作用下变为 ( x ?, y ?) 则?

? ?1 a ? ? x ? ? ? x ? ay ? ? x? ? ? x? ? ? x ? ay ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? bx ? 3 y ? ? y ? ? y ? bx ? 3 y

-----------3 分

代入 2 x? ? y? ? 3 得:

?? b ? 2 ? 2 ?b ? ?4 ?? ? (b ? 2) x ? (2a ? 3) y ? 3 其与 2 x ? y ? 3 完全一样得 ? ?2a ? 3 ? ?1 ?a ? 1
则矩阵 A ? ?

? ?1 1 ? ? ? ?4 3 ?

-------------5 分 -------1 分

法二:在直线 2 x ? y ? 3 上任取两点(2、1)和(3、3) , 则?

? ?1 a ? ? 2 ? ? ?2 ? a ? ?? ? ? ? ? ,即得点 (a ? 2,2b ? 3) , ? b 3 ? ?1 ? ? 2b ? 3 ?
----------------3 分

? ?1 a ? ? 3 ? ? ?3 ? 3a ? ? ?? ? ? ? ? ,即得点 (3a ? 3, 3b ? 9) , ? b 3 ? ? 3 ? ? 3b ? 9 ?

将 (a ? 2,2b ? 3) 和 (3a ? 3, 3b ? 9) 分别代入 2 x ? y ? 3 得
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?2(?2 ? a) ? (2b ? 3) ? 3 ?a ? 1 ?? ? ?2(?3 ? 3a) ? (3b ? 9) ? 3 ?b ? ?4
(Ⅱ)因为

则矩阵 A ? ?

? ?1 1 ? ? . ---5 分 ? ?4 3 ?

?1 1

? 3 ?1? ? 1 ,所以矩阵 M 的逆矩阵为 A?1 ? ? ? . -------7 分 ?4 3 ? 4 ?1?

(2)本题考查直线与圆的极坐标与参数方程,极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化等基础知识, 考查运算求解能力,化归与转化思想及数形结合思想. 解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? (

2 2 2 sin ? ? cos ? ) ? a, 2 2 2

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? a ? 0 . ------------------------3 分 (Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1( ?1 ? y ? 0) ,为半圆弧,
2 2

如下图所示,曲线 C1 为一族平行于直线 x ? y ? 0 的直 ------------4 分 当直线 C1 过点时, 利用

线



?1 ? 1 ? a 2

? 1 得 a ? ?2 ? 2 ,

舍去 a ? ?2 ? 2 ,则 a ? ?2 ? 2 , 当直线 C1 过点、两点时,a ? ?1 , ∴由图可知,当 ?1 ? a ? ?2 ? 2 时, 曲线 C1 与曲线 C2 有两个公共点. -----------------------7 分 ------------6 分

(3)本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识,考查推理论证能力及运算求解能力. 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,要使函数 f ( x) 有意义, 有不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? 5 ? 0 成立,------------------① 当 x ? 1 时,不等式①等价于 ?2 x ? 1 ? 0 ,即 x ? --------1 分

1 1 ,∴ x ? ;-------2 分 2 2 11 11 ,∴ x ? ; ------4 分 2 2
-------------5 分

当 1 ? x ? 5 时,不等式①等价于 ?1 ? 0 ,即 x ?? ,∴ x ?? ; ------3 分 当 x ? 5 时,不等式①等价于 2 x ? 11 ? 0 ,即 x ? 综上函数 f ( x) 的定义域为 (??, ) ? (

1 2

11 , ??) . 2

(Ⅱ)∵函数 f ( x) 的定义域为, ∴不等式 x ? 1 ? x ? 5 ? a ? 0 恒成立, ∴只要 a ? x ? 1 ? x ? 5

?

?

min

即可,又∵ | x ? 1| ? | x ? 5 |? 4 ( x ? 1 或 x ? 5 时取等号) ,

即 a ? (| x ? 1| ? | x ? 5 |) min ? 4 ,∴ a ? 4 . ∴的取值范围是 (??, 4) .---7 分
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