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组合杂题1da


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≤ a + b ≤ 2c ? 60, ? c ≥ 80. ? ? c × 10 ? ? ? 5 ? ? ?· ?? 100, ? ?? 80 + 5 × 100 = 580. ? 580 ? ? ?? 1 ?
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3.
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1

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2 12 +22 +···+1002 2 2 n+1 4 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 1 2 n+1 4 n+1 k 4 k ?1 k k+1 n 1 k k+1 n 2 n+1 4 1 1 2 k ?1 n+1 4

2 2 2 2 2 a2 1 + a2 + · · · + a50 + b1 + b2 + · · · + b50 2 (a1 ? b1 )2 + (a2 ? b2 )2 + · · · + (a50 ? b50 )2 ? . 2

ak ≥

2

k

k

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4k

,

bk + bk+1 + · · · + bn ≤ (n + 1 ? k )bk = (n + 1 ? k )(1 ? ak ) n+1 < (n + 1 ? k ) 1 ? 4k (n + 1)2 + (2k )2 5 = (n + 1) ? 4 4k 5 2(n + 1)(2k ) ≤ (n + 1) ? 4 4k n+1 = . 4

2

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6. 2012 × 2012

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2

3

? 870 ? ? ?? ? ? ? 45 = 1 + 2 + 3 + · · · + 9, 1 ? ? 2 ? ? · · · , 9 ? ?? ?? ? 45 ? k ? ? ?? ? ? k ? · ? ??? ?? ? ? ? ? k ? ?? ? ? ? 45 ? k ?? ? A ,A ,···,A ?×? A + A + · · · + A ? ? ×
0 1 44 0 1

45 ? ? ? 9 ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? = 870.

45 · 44 ? 2

2·1 3·2 9·8 + + ···+ 2 2 2

? ? ? k, 0 ≤ k ≤ 44. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? k ? ? ? k ? ?? ? ?? ?? ?? ?
Ak ≤ 45 ? k .

44

= 45.

0, 1, · · · , 44

? S:

S=

1 (0 · A0 + 1 · A1 + · · · + 44 · A44 ) 2 1 = (A44 + (A44 + A43 ) + · · · 2 +(A44 + A43 + · · · + A36 ) + · · ·

+(A44 + A43 + · · · + A0 )) 1 ≤ (1 + (1 + 2) + · · · + (1 + 2 + · · · + 9) 2 +45 + 45 + · · · + 45) 1 = 45 · 44 ? ((9 + 8 + · · · + 2) 2

? ? ? ? ¨ ? n × n ? ? ¨? n ? ? ?· ??? ¨? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (? ) ? ? ? ? · ? ?? ??? ? ? ?? · ?? ? ° ?? n × n ?? ? ? × ? ? ? “? § ” “× § ”. ? ? ¨ ??? ? ? ? ? ¨? ? k · “? § ” l · “× § ” ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? n × n ? ? ? [ ] ? ?? ? · · “? § ” ? ? 1 ? ?? · · “× § ” ? ? 2 ? ??
11.
2 n2 3 n2 2

+(9 + 8 + · · · + 3) + · · · + 9) = 870.

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n2 4

k + 2l ≥

n2 . 2

(1)

(1)(2)

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2k + l ≥

2 n2 . 4

(2)

k+l ≥

n2 n2 ≥ , 3 3 4

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2 2

2k + l ≥ 2m2 + 2m,

(3)

(1)

(3),

?

n2 ≡ 0(mod 3),

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3(k + l) ≥ 4m2 + 4m = n2 ? 1. n2 n2 = ; 3 3

3(k + l) ≥ n2 ,

k+l ≥

???

n2 ≡ 1(mod 3),

?? 12. ? 10 × 10 ?? ?? ? S ?  ? (? ? 106. ? ? ??
S = 106 46 60 36 70 26 80 16 90 6 100 55 41 65 31 75 21 85 11 95 1

k+l ≥

n2 n2 ? 1 = . 3 3

1, 2, 3, · · · , 100,

? · ?? ? ?? ? ? ? )

S.

??
47 59 37 69 27 79 17 89 7 99 54 42 64 32 74 22 84 12 94 2 48 58 38 68 28 78 18 88 8 98 53 43 63 33 73 23 83 13 93 3 49 57 39 67 29 77 19 87 9 97 52 44 62 34 72 24 82 14 92 4 50 56 40 66 30 76 20 86 10 96 51 45 61 35 71 25 81 15 91 5

? ? ? ? ? ? ? S ≥ 106. ?? ? ? ?? ? 2 × 10 ?? ? n≤9? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? n. ? ?? 2 × 10 ? ? 1 × 2 ??? ? 10 ??? ? · ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ??? × ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? n ? ??? ? n ≤ 9, (? n > 1 ?) ? ??? 1 × 2 ? ? ???? ?? 1 × 2 ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? n.
5

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? S ≤ 105. ?? ?? ? 100 ?? ? ? · ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? 5 ? ? 10 × 2 ? ? ? 5 ? ? 2 × 10 ? ? n , ? ?? ? ?? ?· ? ?? ? ?? ?· ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? . ? ? ¨ ? 100 68 33 ? ???? ?? § ?? ? § ? ? ??? ?? ? 64 ??? ? ? 32 ? 1 × 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 68 + 69 > 105. ? n ≥ 68, ? ? ¨ ? ? ? ? ?? ??? ?? ?· ?? ? ? ? ? ? ? 10 ? (? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 10 ? ???? ? n ?? ? ¨ ? ? 9 ? ?? ? ?? · ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?? ? n ? ? ). ? ? ? ?? ?? ? · ?? ? ? ? ? ? ? ? ? § ? ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ?? 101 ? n ? ? ????? ? ??? ? ?? (101 ? n )+5 = 106 ? n ? ? ??? ??? ? ?? ? ?? 106 ? n ? ? ? ?? n ? ? ? ? ?? (106 ? n ) + n = 106, ? ? ?? ? ? ? S ≤ 105 ? ? ?
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6


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