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选择题解法 WPS文字 文档 (2)


高中数学总复习指导(2)
——选择题解法 选择题的特点是:构思巧妙,概念性强,灵活性大,知识覆盖面广,对学生的判断分 析能力、灵活掌握和运用知识的能力十分有效。在高中数学教学中要加强这方面的指导和 训练。 在高考数学试题中,选择题都是四选一的。选择题不计较解题过程,因而可“不择手 段” ,综合多种方法、简捷解题。做选择题切不可小题大做!注意用特殊值法否定干扰值筛 选出正

确支,提倡合情猜想,逐一严谨排除等方法。 做选择题要做到: “准” 、 “快” 、 “巧” 。 “准”——概念、性质要准确; “快”——内容熟悉、运算熟练; “巧”——合理跳步、巧妙转化。 选择题解法很多、很灵活,这里介绍一些常用、有效的方法:

一、直接法
通过推理或演算直接得出符合条件的结论。有直接求解和直接判别法。 例:1、如图①,E、F 是正四面体 S—ABC 的棱 SC、AB 的中点,则 EF 与 SA 所成角为( ) (A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

(图①) (图②) 2、有四个高度相同的不同容器,现向其内注水,若注水量 V 与水深 h 的图像关系如 下面的右图,则应是向( )个容器内注水。 V

h O (A) (B) (C) (D) 3、 (2015 一模奉贤 23).对于使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫 做 f ( x) 的上确界,若 a 、 b ? R 且 a ? b ? 1 ,则 ? A. ?
?

9 2

B.

9 2

1 2 ? 的上确界为 ( 2a b 1 C. D. ?4 4



1

解:1、如图②取 SB 的中点 G,连 EG、FG,则∠EFG 就是所求角,并连接 BE、AE,先 在△ABE 中求 EF,再通过△EFG 求∠EFG。其实若设 AB=1,则 EG=FG= 1 ,BE=

2
EF= 2 ,∴∠EFG=45°,选 C。

3, 2

2
2、可以直接由函数的增减性知:体积是先增加得快,后慢知,应选 A。 3、是耐克函数问题,直接由
1 2 ? 1 2? 5 b 2a 9 ? ?? ? ??a ? b ? ? ? ? ? ,∴选 A 2a b ? 2a b ? 2 2a b 2

二、特殊值法
说明:这里所说的特殊值法,也叫特例法。指的是不仅是用特殊值代,有时需要 用特殊函数、特殊图形等。 例:1、一长方体的共一顶点的三个面的面积分别是 对角线长( (A) 2 ) (B)

2、 3 、 6 ,则这个长方体的

3

3 2

(C)

6

(D)

6
cos A ? cos C 的值为( 1 ? cos A cos C
(D) )

2、已知△ABC 的三边 a、b、c 成等差数列,则

(A) 3

(B) 4

(C)

5

5

4 3 7

1 2

3、 ( 2014 二 模 17 ) 、设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足

AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AD ? AB ? 0 ,用 S1、S2、S3 分
别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积,则 S1 ? S2 ? S3 的 最大值是( ).
D C

1 A. 2
(建模)

B. 2

C. 4

D. 8
A

B

4、 (2015十三校) 实数x、 y 满足 A、4 B、2 2 C、2 D、 2

则x - y的最大值为__________. =1,

解法:1、由已知条件可设三边长为:1、

2、 3 ,因此可知选 D;

2、可设△ABC 的三边长为:a=b=c 或 a=3、b=4、c=5,可知选 B。 3、构造成长方体。 4、特殊值验证

2

三、排除法(筛选法)
根据高考数学选择题的特点:有且只有一个选项是正确的,结合已知条件进行排 除筛选得出正确答案。 例:1、函数 (A)y= (C)y= —

y ? x ? 1 ? 1(x<0)的反函数为(
2
2



x ? 2 x (x<0) x ? 2 x (x<0)
2

(B)y= (D)y= —

x ? 2 x (x>2)
2

x ? 2 x (x>2)
2

2、已知 sin2A= 2 , (0<A<π ) ,则 sinA+cosA=(



3
(A)

15 3

(B)—

15 3

(C)

5 3

(D)—

5 3

3. (2015 一模闸北、杨浦 12) .对于集合 A ,定义了一种运算“ ? ” ,使得集合 A 中 的元素间满足条件:如果存在元素 e ? A ,使得对任意 a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a , 则称元素 e 是集合 A 对运算“ ? ”的单位元素.例如: A ? R ,运算“ ? ”为普通乘 法;存在 1? R ,使得对任意 a ? R ,都有 1? a ? a ? 1 ? a ,所以元素1 是集合 R 对普 通乘法的单位元素. 下面给出三个集合及相应的运算“ ? ” : ① A ? R ,运算“ ? ”为普通减法; ② A ? { Am?n Am?n 表示 m ? n 阶矩阵, m ? N , n ? N },运算“ ? ”为矩阵加法; ③ A ? X X ? M (其中 M 是任意非空集合) ,运算“ ? ”为求两个集合的交集. 其中对运算“ ? ”有单位元素的集合序号为 A.① ② ; B.① ③ ; C.① ② ③ ; D.② ③ . 【 】
? ?

?

?

4(2015 一模长宁)下面有五个命题: (1)函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2? ;
4 4

(2)终边在 y 轴上的角的集合是 ??

? ?

??

k? ? , k ? z? ; 2 ?

(3)在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有一个公共点; (4)把函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)的图象向右平移

?
6

得到 y ? 3 sin 2 x的图象 ;

(5)在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形 ; 其中真命题的序号是 (1) (2) (3) A. (2) (3) (4 ) B.
3





C. (3) (4) (5)

(1) (4) (5) D.

解:1、注意到反函数中原函数与反函数的定义域和值域关系,原函数中 x<0,y>2,因 此可知应选 D; 2、由 sin2A=2sinAcosA= 2 ,所以 sinA、cosA 同号,排除 B、D,又由 sinA+cosA

3


2 ,排除 C,选 A。

3. 首先判断出①不正确,故选 D。 4、由于(1)不正确,再查(2) ,选 C

四、数形结合法
说明:数形结合法也叫图像法,这是数学解题中一种重要方法,特别是在选择、 填空题中。像函数、解析几何中尤其重要。 例: 1、 已知α 、 β、 γ 分别是方程

a ? log x 、a log x ? 1、a ? log x
x
x
x

a

a

1 a

(0<a<1)的根,则( ) (A)γ >α >β (B)γ >β >α 2、方程

lg ? x ? 4? ? 10

(C)β >γ >α )

(D)α >γ >β

x

的根的情况是(

(A)仅有一根 (B)有一正一负的根 3、下列不等式中: (A) log3 a ? log2 a ? log1 a
2

(C)有两负根

(D)无实根

(B) log2 a ? log3 a ? log1 a
2

(C) log1 a ? log2 a ? log3 a
2

(D) log1 a ? log3 a ? log2 a
2

当 a>1 时,正确的是( ) 当 0<a<1 时,正确的是( ) 4、 (2015 一模青浦 18) .设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N , 函数 g ( x) ? log 2 x ,
*

则方程 f ( x) ? g ( x) 实数根的个数是( (A) 1 个 (B) 2 个

). (C) 3 个 (D) 4 个

(2015 二模普陀 18) 5 方程 sin x ? x cos x ? 0 的正根从小到大地依次排列为 a1 , a2 , 则正确的结论为( (A) 0 ? an ?1 ? a n ? )

, an ,



?
2

(B) 2an?1 ? an?2 ? an?1 (D) 2an?1 ? an?2 ? an?1





(C) 2an?1 ? an?2 ? an?1



解:1、在同一坐标系中作出

①y ? a x、②y ?

1 、③y ? log a x、 ax



4

④y ? log x (0<a<1)的图像,从图像中可直接看出,应选 A
1 a

2、在同一坐标系中作出 y

? lg ? x ? 4? 、y ? 10

x

的图像,同时注意到 x= —2 时,有 lg 2 ? 因此应选 C。 3、如图,在同一坐标系下作出

1 , 100

1 lg4

y ? log x、、 ? log x、、 ? log x
3 2
1 2

—3

再分别画出直线 x=a,a>1 和 0<a<1 两种情况。 很容易得出答案: a>1 时,D 0<a<1 时,B 4、由图像法知,选 B 5、可将方程变为: tan x ? ?x ,再由图像法知选 B。

x=a(a>1)

y ? log x
2

y ? log x
3

五、估算验证法
根据题目条件,利用一些特殊数据进行估算,验证 得出正确选项。 例:1、满足

7 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 的 x 的值是(
(B)

) (D)x=1

(A)x=3 2、若 c>1, a (A)a>b

x?

3 7

(C)x=2

? c ? c ? 1 , b ? c ? 1 ? c ,则 a、b 的大小关系是(
(C)a<b (D)a≤b
x y



(B)a=b

3、 (2015 一模奉贤)定义两个实数间的一种新运算“ ? ”: x * y ? lg(10 ? 10 ) , x 、

y ? R 。 对 于 任 意 实 数 a 、 b 、 c , 给 出 如 下 结 论 : ① a ?b ? b ? a ; ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) . 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是
( ) A. 0 个 B. 1个 C. 2 个 D. 3 个

注:1、只要根据选项代入验证, (特别注意到先用特殊数代)可知选 D。 2、由 c>1,不妨取 c=2 代入验证,也可用 c→1 逼近,可知选 A。 3、D

六、逆向思维、逻辑分析法
根据题目条件所提供的信息,如数据特征、结构特征、位置特征等,进行快速推

5

理,迅速作出判断。 例:1、已知 sinθ = (A) m ? 3

9?m

m ? 3 ,cosθ = 4 ? 2m , (? ,则 tan ? =( ?? ?? ) m?5 m?5 2 2 (B) m ? 3 (C) 1 (D)5 3 9?m
a b c



2、△ABC 的三边 a、b、c 的倒数 1、1、1 成等差数列,则 b 所对应的角为( (A)锐角 (B)直角
2 2



(C)钝角

(D)前三个都有可能 m ,因此排除 A 、 B ,再想到

解: 1 、首先想到 sin

? ? cos ? ? 1,则应可求出
?

?
2

? ? ? ? ,则

?
4

?

?

? ,∴tan ? >1,故选 D。 2 2 2

2、由 1、1、1 成等差数列可知 b 边既不是最大边也不是最小边,故选 A。

a b c

七、极限法
例:1、正 n 棱锥的相邻两侧面所成角的范围是( A ? n ? 2 ?, ) D? n ? 2 )

? ? n

?? ?
?

B?

? ? ? , ?? ?3 ?

C? n ?1

?, ? ? ? ? ? n ?
3 ,+∞) 6

n ?1 ? ?, ?? ? n ? n ?
3 ,+∞) 3

2、正三棱锥的侧棱长和底面边长比值的取值范围是( A[

3 ,+∞) 6

B[

3 ,+∞) 3
2

C(

D(

3、集合 A={y|y=

1 t ? ? ? 2t
1 8

2

?

2

?

? ?
1 16 t

2

1 ?? ?
1 8

1 128 t 2

?

} ,则 A= (



2

A{1} B{2} C{4} D{8} 解:1、若将棱锥的高看作→∞,则棱锥→棱柱,则两侧面所成角→正 n 边形的一个内角, 故选 A; 2、若将棱锥的高→0,则棱锥的顶点→底面中心,所求比值→ 3 ,故选 D; 3 3、方法一:极限法,t→∞时,y→8,选 D 方法二:特殊值法,取

t?

1 4

,可知选 D

方 法 三 : 构 造 法 ,( 适 合 填 空 题 ) 根 据 几 何 意 义 , 取

1? A?t, 2t ? 、F ? ? 0, ?、B ? 8?
2

1 ? 1 , ?? t ? 16t 1 2 8

2

? ,则 A、B 在抛物线 y ? ?
6

? 2x

2

上,再利用抛物线的

焦半径公式可得出,选 D。

练习:
1、已知函数 y=g(x)的图像与 y=?(x)的图像关于直线 y=x 对称,又 y=h(x)与 y=g(x) 的图像关于原点对称,则 h(x)的表达式是( ) (A)y=? ?1 (x) (B)y=-? ?1 (x) (C)y=? ?1 (-x) (D)y=-? ?1 (-x) 2、下列结论: ⑴若?(x-1)=?(x+1)恒成立,则?(x)是周期函数; ⑵若?(x)为单调增函数,则?( a x )也是单调增函数; ⑶若?(a+x)=-?(a-x) , (x∈R)则?(x)的图像关于点(a,0)对称; ⑷要得到 y=?(2x-1)的图像,则只要将 y=?(2x)的图像右移 1 个单位即可。 其中正确的个数有( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

? 1 ?x ? , x ? 0 3、函数 f ( x)= ? 的零点个数为 x ? ??2 ? ln x, x >0 ( A) 0 ( B) 1
4、若 0<a<1,则下列不等式中正确的是( (A)log a 0.8 ? loga 0.7 , (C)0.8
lg a





(C ) 2

0. 8

(D) 3

(B) a

? a 0 .7 ,
a a

<0.7

lg a



(D)0.8 <0.7

(若改为 a>1,则 A、B、C、D 中哪些是正确的?)

?1? 5、已知函数?(x)= ? ? -log 2 x ,若 x 0 是?(x)的零点,且 0< x1 <x 0 ,则?(x 1 )的值 ?3?
( ) (A)恒为正数
2

x

(B)恒为负数

(C)等于零

(D)不能确定

6、函数 y= 1 ? x 的图像上存在不同的三点到点(2,0)的距离构成等比数列,则下面的 数中不可能成为公比的是( (A) ) (C)

3 2

(B)

1 2

3 3

(D) 3

?wx ? ? ?, ?w ? 0? , 若 两 个 不 等 的 实 数 7、 ( 2015 二 模 奉 贤 ) 已 知 f ?x? ? A s i n
? A? x1 , x2 ? ? x f ?x ? ? ? ,且 | x1 ? x2 |min ? ? ,则 f ?x ? 的最小正周期是( 2? ? ? A. 3? B. 2? C. ? D. 2


8、 (2015 二模奉贤)(理)已知圆心为 O,半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、B、C,其中

OA ? OB ? 0 , 存 在 实 数 ? , ? 满 足 OC ? ?OA ? uOB ? 0 , 则 实 数 ? , ? 的 关 系 为
( )

7

A. ? 2 ? ? 2 ? 1

B.

1

?

?

1

?

?1

C. ?? ? 1

D. ? ? ? ? 1

9、设 ABCD 为正四面体,E、F 分别为棱 AC、AD 的中点,△BEF 在平面 ACD 上的射影是下图中的(



(A) (B) 10、右图是一个正方体的侧面展开图, ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 异面; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM⊥BN。 以上命题中,正确命题的序号是( ) (B)①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④

(C)

(D)

11、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ? ,则

a 1 a2 a2 ? a3 a4 a4
( )

a3 a5

?

a3 a5

a4 ? a6

?

a2012 a2014

a2013 ? a2015

(C ) ?16112 ( D ) ?16120 f ( x) 12.如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ? 在区间 I 上是减函数,那么 x 称 函 数 y ? f ( x) 是 区 间 I 上 “ 缓 增 函 数 ” ,区间 I 叫做“缓增区间”. 若函数 1 3 f ( x) ? x 2 ? x ? 是 区 间 I 上 “ 缓 增 函 数 ”, 则 “ 缓 增 区 间 ” I 为 2 2
( )

( A) ?16096

( B ) ?16104

( A) [1, ? ?)

( B ) [ 0, 3 ]
2

(C ) [ 0,1]

( D ) [1, 3]

13、互不相等的三个正数 a、b、c 成等差数列,又 x 是 a、b 的等比中项,y 是 b、c 的等比 中项,那么 x 2 、 b 2 、 y 成( (A)等差非等比 (A)既是等差又是等比 14、直线 x ? 2 与双曲线 C : )数列。

(B)等比非等差 (D)既不是等差又不是等比

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 A, B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任 4 意一点,若 OP ? aOA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点 ) ,则下列不等式恒成立的是
( )
2 2

(A) a ? b ? 2

2 2 (B) a ? b ?

1 1 2 2 2 2 (C) a ? b ? 2 (D) a ? b ? 2 2

15、 (2015 二模闸北).已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? c ,若 f (0) ? 0, f ( p) ? 0 ,则必有 A、 f ( p ? 1) ? 0 B、 f ( p ? 1) ? 0 C、 f ( p ? 1) ? 0
8

D、 f ( p ? 1) 的符号不能确定

16、设 f ?n ? ?

1 1 1 ※ ? ?? ? (n∈N ) ,那么 f ?n ? 1? ? f ?n ? 等于( ) n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) ? ? 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2

17、 (2015 二模闸北)如图,下列四个几何题中,他们的三视图(主视图,俯视图,侧视图) 有且仅有两个相同,而另一个不同的两个几何体是 A、 (1) , (2) B、 (1) , (3) C、 (2) , (3) D、 (1) , (4)

?1? 棱长为2的正方体

? 2? 底面直径和高都为2的圆柱

?3? 底面直径和高均为2的圆锥

? 4? 底面边长为2高为2的直平行六面体

18. (2015 二模嘉定)在四棱锥 V ? ABCD 中, B1 , D1 分别为侧棱 VB , VD 的中点,则 四面体 AB 1CD 1 的体积与四棱锥 V ? ABCD 的体积之比为( A. 1 : 6 B. 1 : 5 C. 1 : 4 ) D. 1 : 3

19、若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ?
? 1 1? A. ?? ,0, ? ? 8 8? ? 1 1? B. ?? , ? ? 8 8?

1 1 ? x ? 有四个不同交点,则实数 k 的取值范围是 x x

? 1 1? C. ? ? , ? ? 8 8?

? 1 1? D. ? ? , ? ( ? 8 8?



20.已知直线 l 和平面 ? ,无论直线 l 与平面 ? 具有怎样的位置关系,在平面 ? 内总存在一 条直线与直线 l ( ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)异面 21.若函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图象如右图所示, (其中 a , b 为常数) 则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是(
x

y

1


?1 o

1 ?1

x

9

y

y

y

y

1 ?1 o 1 ?1
x
x

?1

1

o ?1

1

?1
x
1 4

1

o ?1
x

1

x

?1 ?1

o

1 1
x

1 ? 的零点为 x1 , ? 1 ? 的零点为 x 2 ,则( 22、已知 f ?x ? ? log x ? ? ) g ?x ? ? log x ? ? ( ? ? ? (A) 4 ( B ) (D) 4 ? 4 ? C) ? ?

A、 0 ? x1 x2 ? 1 C、

B、 D、

x1 x2 ? 1 x1 x2 ? 2
a b c ? m ? ? ? ? 0 ,则 af ? ? m ? 2 m ?1 m ? m ?1?
(C)非负数 (D)不能确定正负 )

1 ? x1 x2 ? 2
2

23、己知 f ?x ? ? ax ? bx ? c (a≠0) ,m>0,满足 的值 ( ) ( A)恒大于零
3

(B)恒小于零
3

?? ? 24、 已知 ? ? sin ? ? m ? 0 且 ? ? ? ? ? cos ? ? m ? 0 ,则 cos ?? ? ? ? 的值为 ( ?2 ?
A —1, B 0, C 1, D 不能确定
n? ? ?

i m 25、 已知各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若l
范围是 (A) 0 ? q ? 1 ( (B) 0 ? q ? 1 ) (C) q ? 1

Sn ?1 1 ? , 则公比 q 的取值 Sn
(D) q ? 1

10

题目已改 (练习答案) 1.D 2.B 3.A 4.C(a>1,A、B) 5.A 6.B 7.A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.C 13A 14.C 15.A 16.D 17.C 18.B 19. D 20.C 21、A 22、B 23、 B 24、 B 25、B

11


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