当前位置:首页 >> 数学 >> 2014年高中数学难点:不等式证明的基本方法·例题 有答案

2014年高中数学难点:不等式证明的基本方法·例题 有答案


2014 年高中数学难点:不等式证明的基本方法·例题 例 5-2-7 已知 a,b,c∈R+,证明不等式: 当且仅当 a=b=c 时取等号。 解 用综合法。因 a>0,b>0,c>0,故有 三式分边相加,得 当且仅当 a=b=c 时取等号。 例 5-2-8 设 t>0。证明:对任意自然数 n,不等式 tn-nt+(n-1)≥0 都成立,并说明在什么条件下等号成立。 解

当 n=1 时,不等式显然成立,且取等号。 当 n≥2 时,由幂分拆不等式,可得以下 n-1 个不等式: t2+1≥t+t,t3+1≥t2+t,?, tn-1+1≥tn-2+t,tn+1≥tn-1+t 以上各式当且仅当 t=1 时取等号。把它们分边相加,得 故对任意 n∈N,不等式获证。等号成立的条件是 n=1,或 t=1。 -1- 注 ①在以上不等中令 t=1+x(x>-1), 即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx 例 5-2-9 设 a,b,c 都是正数,证明不等式 当且仅当 a=b=c 时取等号。 分析 本例有多种精彩证法。根据对称性,可从左边一项、两项入手,当然 也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。 解 [法一] 从一项入手,适当配凑后由平均值不等式知 三式分边相加,即得 时,上式取等号。 [法二] 从两入手,利用幂分拆不等式,有 -2- 同理有 三式分边相加,得 [法三] 从整理入手,原不等式等价于 进一步证明参考习题 5-2-7(1)解答。 [法四] 由平均值不等式 x2+(λ y)2≥2λ xy(x,y,∈R+)的变式 -3- 三式分边相加,得 所以 注 从证法 4 我们看到,利用平均值不等式 x2+(λ y)2≥2λ xy(x, 式不等式,思路自然,简捷明快,颇具特色。 例 5-2-10 已知关于 x 的实系数方程 x2+px+q=0 有两个实数根α ,β 。证明: 若|α |<2,|β |<2,则|q|<4,且 2|p|>4+q。 解 先证|q|<4,由韦达定理知 |q|=|α β |=|α |·|β |<2×2=4 再证 2|p|>4+q。 欲证不等式即 0≤2|α +β |<4+α β 。故只须证 4(α +β )2<(4+α β )2 即 4α +8α β +4β 2<16+8α β +α 2β 2 从而只须证 16-4α 2-4β 2+α 2β 2>0 -4- 即 (4-α 2)(4-β 2)>0 由|α |<2,|β |<2,知α 2<4,β 2<4,故最后不等式成立,从而原不等式 得证。 例 5-2-11 证明:若 a,b,c 是三角形的三边,则 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2<4(ab+bc+ca) 当且仅当三角形为正三角形时,左边取等号。 解 左边不等式等价于 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 欲证此不等式成立,只须证 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即证 2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0 左边配方即为 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0 此不等式显然成立,当且仅当 a=b=c,即三角形为正三角形时取等号。故左边 不等式获证。 欲证右边不等式,仿上只须证 a2+b2+c2<2(ab+bc+ca) 从而只须证 (ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)>0 即证 a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)>0 由于 a,b,c 是三角形的三边,此不等

更多相关文档:

2014年高中数学难点:不等式证明的基本方法·例题 有答案

2014 年高中数学难点:不等式证明的基本方法·例题 例 5-2-7 已知 a,b,c∈R+,证明不等式: 当且仅当 a=b=c 时取等号。 解 用综合法。因 a>0,b>0,...

2014年高中数学难点:不等式证明的常用技巧·例题 有解析

2014年高中数学难点:不等式证明的常用技巧·例题 有解析_数学_高中教育_教育专区。2014 年高中数学难点:不等式证明的常用技巧·例题 例 5-2-13 求证: (2)若 ...

2014年高中数学难点:不等式的证明·典型例题 有解析

2014 年高中数学难点:不等式的证明·典型例题 【例 1】 【分析】 已知 a,b,c∈R+,求证:a3+b3+c3≥3abc. 用求差比较法证明. 证明:a3+b3+c3-3abc=[(a...

2014 年总结高中数学难点:不等式的解法·典型例题 有解析

2014 年总结高中数学难点:不等式的解法·典型例题 有解析_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 2014 年总结高中数学难点:不等式的解法·典型例题 ...

2014年高中数学难点:代数不等式的解法·例题 有解析答案

2014年高中数学难点:代数不等式的解法·例题 有解析答案_数学_高中教育_教育专区。2014 年高中数学难点:代数不等式的解法·例题 例 5-3-1 解 解不等式 16x+x4...

2014年高中数学难点:不等式的应用·例题 有答案

2014 年高中数学难点:不等式的应用·例题 例 5-4-1 求下列函数的定义域: 解 (1)所求定义域是下列不等式组的解: (2)所求定义域确定于不等式组: 由上图...

高中数学不等式证明的常用方法经典例题

高中数学不等式证明的常用方法经典例题_数学_高中教育...关于不等式证明的常用方法难点归纳新疆源头学子 ...换元法主要 有三角代换,均值代换两种,在应用换元法...

2014年高中数学难点:含有绝对值的不等式·典型例题分析 有解析答案

2014年高中数学难点:含有绝对值的不等式·典型例题分析 有解析答案_数学_高中教育...·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域: 分析 解 利用绝对值的基本...

2014年高中数学难点:含绝对值的不等式的解法·例题 有解析答案

2014 年高中数学难点:含绝对值的不等式的解法·例题 例 5-3-13 解下列不等式: (1)|2-3x|-1<2 (2)|3x+5|+1>6 解 (1)原不等式同解于 (2)原不...
更多相关标签:
修改病句大全 有答案 | 所有阴影面积题有答案 | 有答案的看图写话 | 高智商图片 有答案的 | 有答案的软件 | 最难的数学题 有答案 | 猜迷 有答案 | lte题库 有答案 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com