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必修五知识重点-解三角形-数列


必修五知识点梳理(一)

解三角形
在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边. (1)因为三角形内角和:A+B+C=π,则 sin( A ? B) ? sin C ; cos(A ? B) ? ? cosC ;

t a nA ( ? B) ? ? t a n C ; sin

/>A? B C A? B C ? cos , cos ? sin . 2 2 2 2

(2)正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外 接圆的半径, 则有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

应用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: ①已知两角和任一边,求其他两边和一角 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角

(3)正弦定理的推论: ① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② sin ? ?

a b c , sin ? ? , sin C ? 2R 2R 2R

③ a : b : c ? sin A : sin B : sin C ④

a?b?c a b c . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

(4)余弦定理:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc o s? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac o s? , c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ac bo s 。 C

余 弦 定 理 的 推 论 : cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 , 2bc

c o ?? s

2 a 2 ? c? 2ac

b2



cos C?

a 2 ? b2 ? c2 . 2ab

应用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: 1.知三边,求各角 2. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

(5)三角形面积公式: ① S???C ? ② S ?ABC ?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? ; 2 2 2
p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ? pr ,其中 p ?

a?b?c , r 为内切圆半径(内 2

心,角平分线的交点) ; ③ S ?ABC ?

abc , R 为外接圆半径(外心,垂直平分线交点) . 4R

(6)解△ ABC 中,注意解可能有多种情况 已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,这时三角形的情况比较复杂, 可能无解,可能一解或两解。例如:已知 a,b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况。

A 为锐角

a ? b sin A
无解

a ? b sin A
一解(直角)

b sin A ? a ? b

a?b

两解(一锐角,一钝角) 一解(锐角)

A 为直角或钝角

a?b
无解

a?b
一解(锐角)

等差数列
考点一:等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 an ? an ?1 ? d (n ? 2) 或
an?1 ? an ? d (n ? 1) 。

例:等差数列 a n ? 2n ? 1 , a n ? a n ?1 ? 考点二:等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ; 说明: 等差数列 (通常可称为 A P 数列) 的单调性: d ? 0 为递增数列, d ?0 为常数列, d ? 0 为递减数列。

考点三:等差中项的概念: 定义:如果 a , A ,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A ?
a?b 2

a , A ,b 成等差数列 ? A ?
下标和相等)

a?b 2

即:2an ?1 ? an ? an ? 2 ( 2a n ? a n ?m ? a n ? m ;

例: 1. 06 全国 I) 设 ? an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a11 ? a12 ? a13 ? A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

考点四:等差数列的性质: (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻两项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; ( 3 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 对 任 意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d ,
d? an ? am ( m ? n) ; n?m

(4)在等差数列 ? an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;

考点五:等差数列的前 n 和的求和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) 1 d n(n ? 1) (a1 ? )n 。 ? na1 ? d ? n2 ? 2 2 2 2
2

( S n ? An ? Bn 递推公式: S n ?

( A, B为常数) ? ?a n ? 是等差数列 )

(a1 ? a n )n (a m ? a n ?( m?1) )n ? 2 2
) (D)35 )

例:1.如果等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? ( (A)14 (B)21 (C)28

2.已知 ?a n ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于(

A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

3.已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21,则a 2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 考点六:对于一个等差数列: (1)若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 偶 ? S 奇 ? nd ; ②

S奇 a ? n ; S偶 an ?1 S奇 n ? 。 S偶 n ? 1

(2)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S 奇 ? S 偶 ? an ? a中 ;②

考点七:对与一个等差数列, S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n 仍成等差数列(部分和数列) 。 例:1.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260 )

2.一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3 n 项的和为 考点八:判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

a n?1 ? a n ? d (常数)(n ? N ?) ? ?a n ? 是等差数列
②中项法:

2a n ?1 ? a n ? a n ? 2

(n ? N ? ) ? ?a n ? 是等差数列

③通项公式法:

an ? kn ? b

(k , b为常数) ? ?a n ? 是等差数列

④前 n 项和公式法:

S n ? An 2 ? Bn

( A, B为常数) ? ?a n ? 是等差数列
) D.无法判断

例:1.已知数列 {a n } 满足 a n ? a n ?1 ? 2 ,则数列 {a n } 为 ( A.等差数列 B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列 )

2.已知数列 {a n } 的通项为 a n ? 2n ? 5 ,则数列 {a n } 为 ( A.等差数列 B.等比数列

C.既不是等差数列也不是等比数列
2

D.无法判断 ) D.无法判断

3.已知一个数列 {a n } 的前 n 项和 s n ? 2n ? 4 ,则数列 {a n } 为( A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列

考点九:数列最值 (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, S n 有最小值;
(2) S n 最值的求法:①若已知 S n , S n 的最值可求二次函数 S n ? an ? bn 的最值;
2

可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;②或者求出 ? an ? 中的正、负分界项,即:

? an ? 0 ? an ? 0 若已知 an ,则 S n 最值时 n 的值( n ? N ? )可如下确定 ? 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

例:1.等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 0,S 9 ? S12 ,则前 大。

项的和最

考点十:利用 an ? ?

( n ? 1) ? S1 求通项. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)
2

1.数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数列 {an } 是等差数列 吗?(3)你能写出数列 {an } 的通项公式吗?

3.(2005 湖北卷)设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 {a n } 的通项公式;

2

等比数列
等比数列定义: 一般地, 如果一个数列从第二项 起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 , ... . .. 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常 用字母 q 表示 (q ? 0) ,即: a n ?1 : an ? q(q ? 0) 。
考点一:递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? a n q 通项公式:a n ? a1 ? q n ?1 推广:a n ? a m ? q n ? m
1、在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 4, q ? 2 ,则 a n ? 2、在等比数列 ? an ? 中, a7 ? 12, q ?
3

2 ,则 a19 ? _____ .

考 点二:等 比中项: 若三 个数 a, b, c 成等 比数列, 则称 b 为 a与c 的等比 中项,且为

b ? ? ac,注:b 2 ? ac 是成等比数列的必要而不充分条件.
例:1. 2 ? 3 和 2 ? 3 的等比中项为( 考点三:等比数列的基本性质, 1、通项公式: (1) 若m ? n ? p ? q,则a m ? a n ? a p ? a q (其中m, n, p, q ? N ) (2) q
n?m
?

)

?

an 2 ,a n ? a n ? m ? a n ? m (n ? N ? ) am

(3) ?a n ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列. (4) ?a n ? 既是等差数列又是等比数列 ? ?a n ? 是各项不为零的常数列.
2 例:1.在等比数列 ? an ? 中, a1 和 a10 是方程 2 x ? 5x ? 1 ? 0 的两个根,则 a4 ? a7 ? (

)

( A) ?

5 2

( B)

2 2

(C ) ?

1 2

( D)

1 2

2. 在等比数列 ?a n ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100 ,则 a18 =

2、前 n 项和公式

(q ? 1) ? na1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

(q ? 1)

例:1.已知等比数列 {a n } 的首相 a1 ? 5 ,公比 q ? 2 ,则其前 n 项和 S n ? 2.已知等比数列 {a n } 的首相 a1 ? 5 ,公比 q ? 项和 S n ? 3.设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已 a 2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30 ,求 a n 和 S n

1 ,当项数 n 趋近与无穷大时,其前 n 2

.若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等 比数列.

如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2 k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

例:1.(2009 辽宁卷理)设等比数列 ?An ? 的前 n 项和为 S n ,若

S6 S ? 3 ,则 9 ? ( S3 S6



A. 2

B.

7 3

C.

8 3

D.3

4.等比数列的判定法 (1)定义法:

a n ?1 ? q(常数) ? ?a n ? 为等比数列; an
2

(2)中项法: a n ?1 ? a n ? a n ? 2 (3)通项公式法: a n ? k ? q
n

(a n ? 0) ? ?a n ? 为等比数列;
(k , q为常数) ? ?a n ? 为等比数列;
n

? ?a n ? 为等比数列。 (4)前 n 项和法: S n ? k (1 ? q ) (k , q为常数) S n ? k ? kqn (k , q为常数) ? ?a n ? 为等比数列。
例:1.已知数列 {a n } 的通项为 a n ? 2 ,则数列 {a n } 为 (
n

) D.无法判断 ) D.无法判断

A.等差数列

B.等比数列
2

C.既不是等差数列也不是等比数列

2.已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 A.等差数列 B.等比数列

(a n ? 0) ,则数列 {a n } 为 (

C.既不是等差数列也不是等比数列

5.利用 an ? ?

( n ? 1) ? S1 求通项. ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

例:1.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 求 a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式.

1 S n ,n=1,2,3,……, 3

2. ( 2005 山 东 卷 ) 已 知 数 列 ? an ? 的 首 项 a1 ? 5, 前 n 项 和 为 S n , 且

Sn?1 ? Sn ? n ? 5 ( n ? N * ,证明数列 ) ?an ? 1? 是等比数列.

求数列通项公式方法
考点一:公式法(定义法)
根据等差数列、等比数列的定义求通项 例:1 已知等差数列 {a n } 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , 求 a n ;

2. 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2, a n ? an ?1 ? 1(n ? 1) ,求数列 {a n } 的通项公式;

3.数列 ?a n ? 满足 a1 =8,a4 ? 2,且an? 2 ? 2an?1 ? an ? 0 ( n ? N ? ) , 求数列 ?a n ? 的 通项公式;

考点二:累加法
适用于: an ?1 ? an ? f (n)

a2 ? a1 ? f (1)
若 an ?1 ? an ? f (n) ( n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 an ?1 ? a1 ?

? f ( n)
k ?1

n

例:1.已知数列 {an } 满足 a1 ?

1 , 2

a n?1 ? a n ?

1 4n ? 1
2

,求数列 {an } 的通项公式。

,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 2.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1


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