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2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷参考答案与评分细则


2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上. ) 1.已知点 P(4,1)在函数 f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则 ab 的最大值是 . (a+b)2 解:由题意知,loga(4-b)=1,即 a+b=4,且 a>0,a≠1,b>0,从而 ab≤ =4

, 4 当 a=b=2 时,ab 的最大值是 4. π 43π 2.函数 f(x)= 3sin(2x- )在 x= 处的值是 4 24 . π 43π π 40π 10π 4π 43π 4π 3 解:2x- = - = = =2π+ ,所以 f( )= 3sin =- . 4 12 4 12 3 3 24 3 2 3.若不等式|ax+1|≤3 的解集为{x |-2≤x≤1},则实数 a 的值是 解:设函数 f(x)=|ax+1|,则 f(-2)= f(1)=3,故 a=2. 4.第一只口袋里有 3 个白球、7 个红球、15 个黄球,第二只口袋里有 10 个白球、6 个红球、9 个黑 球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 . . 3×10 30 7× 6 42 解:有两类情况:同为白球的概率是 = ,同为红球的概率是 = ,所求的概率是 625 625 25×25 25×25 72 . 625 x2 y2 x2 y2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,设焦距为 2c 的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与椭圆 2+ 2=1 有相同的离心 a b b c 率 e,则 e 的值是 . 2 2 2 2 -1+ 5 c2 c -b c2 b -c 解:若 c>b,则 2= 2 ,得 a=b,矛盾,因此 c<b,且有 2= 2 ,解得 e= . a c a b 2 6.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E-ABCD 的体积为 V1, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2, 值是 . A1 E D A (第 6 题图) ·1 · B C D1 C1 B1 则 V1 的 V2 解:记四棱锥 B1-ABCD 的体积为 V. 2 如图,DE= DB1, 3 2 1 V1 2 从而 V1= V.又 V= V2,所以 = . 3 3 V2 9 A A1 D1 O B1 E D B (第 6 题图) C1 C 7.若实数集合 A={31x,65y}与 B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合 A∪B 中所有元素之积的 值是 . 解:因为 31x×65y=5xy×403=2015xy.若 xy≠0,则集合 A 和集合 B 中有一组相等,则另一组也必 然相等,这不合题意.所以 xy=0,从而 A∪B 中所有元素之积的值为 0. 8.设向量 a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量 x1,x2,…,x7 中有 3 个为 a,其余为 b;向量 y1,y2,…,y7 中有 2 个为 a,其余为 b.则 ? xiyi 的可能取值中最小的为 i=1 7 . 解:因为 a·a=b·b=1,a·b=0,所以 ? xiyi 的最小值为 2. i=1 7 9.在 3×3 的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中 的数分别为 1,2,2015,则幻方中其余 6 个数之和为 解:如图,设幻方正中间的数为 x,则由题意知 a

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