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高二理科数学期中模拟试题


高二理科数学上学期期中模拟试题 第Ⅰ卷
一、
选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 ( A.1 B.2 C .1 或 2 )

D.-1


2. 观察按下列顺序排列的等式: 9 ? 0 ? 1 ? 1 , 9 ?1 ? 2 ? 11 , 9 ? 2 ? 3 ? 21 ,
9 ? 3 ? 4 ? 31, …,猜想第 n(n ? N? ) 个等式应为

A. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 C.
9n ? (n ?1) ? 10n ? 1

B. 9(n ? 1) ? n ? 10n ? 9 D. 9(n ? 1) ? (n ? 1) ? 10n ? 10 )

1 1 1 3.设 a, b, c ? (??, 0), 则 a ? , b ? , c ? ( b c a

A.都不大于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2

B.都不小于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2 )

4. 设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q C. Q ? P ? R ( D. (2,??) )
D. 3

D. Q ? R ? P

5.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4)

)

6.函数 f ( x) ? e x ? x ?
A. 0 B. 1

1 的零点个数为( 2

C. 2

7. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函 数,则实数 k 的取值范围( )

1

? 3? A. ?1, ? ? 2?

1? ? B. ? ??, ? ? 2? ?

?3 ? C. ? , ?? ? ?2 ?

?1 3? D. ? , ? ?2 2?

8.函数 f (x)=4 cos x-ex2 的图像可能是

( )

1 1 1 13 ? ?L ? ? (n ? 2) 2n 24 9.用数学归纳法证明不等式 n ? 1 n ? 2 时的过程中,由
n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边





1 1 1 ? B.增加了两项 2k ? 1 2(k ? 1) 2(k ? 1) 1 1 1 ? C.增加了两项 ,又减少了一项 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1

A.增加了一项

D.增加了一项

1 1 ,又减少了一项 k ?1 2(k ? 1)

10.设函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取 值范围是 ( A. k ?
1 3

) B. 0 ? k ?
1 3

C. 0 ? k ?

1 3

D. k ?

1 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 75 分) 二、填空题(本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知复数 z ?
1

1 ? 2i , i 是虚数单位,则复数的虚部是 3?i

.

12.定积分 ? ( 1-(x-1)2 -x)dx 等于
0

. .
2

13.若曲线 y=x2+ax+b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x﹣y+1=0, 则 a-b=

14.在平面几何中,有射影定理:“在 ?ABC 中, AB ? AC ,点 A 在 BC 边上的 射影为 D ,有 AB 2 ? BD ? BC .”类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与 射影面积、底面面积的关系,可以得出的正确结论是:“在三棱锥 A ? BCD 中 , AD ? 平 面 ABC , 点 A 在 底 面 B C D 上 的 射 影 为 O , 则 有 .” A
A

B

D

C

B A C

D O

1 V x ?1 15.已知函数 f ( x) ? x ? , 曲线 y ? f ( x) 过点 P(2, f (2)) 处的切线与直线 x ?1 C

和直线 y ? x 所围三角形的面积为_________。 三.解答题:(本大题共 6 个小题.共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分) 设复数 z ?

?1 ? i ?2 ? 3?1 ? i ? ,若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a, b 的值。
2?i

17、 (本小题满分 12 分)设函数 f (x)=x3 -3ax2 +3bx 的图像与直线 12 x +y-1=0 相切与 点(1,-1) (1)求 a,b 的值;(2)讨论函数 f(x)的单调性,并求函数的极值.(3) 若函数在(m, m2 ? 2m )上为减函数,求 m 的取值范围.

3

19. (本小题满分 12 分)一 轮 船 行 驶 时 ,单 位 时 间 的 燃 料 费 u 与 其 速 度 v 的 立 方 成 正 比 , 若 轮 船 的 速 度 为 每 小 时 10km 时 , 燃 料 费 为 每 小 时 35 元 ,其 余 费 用 每 小 时 为 560 元 ,这 部 分 费 用 不 随 速 度 而 变 化 ,求 轮 船 速 度 为 多 少 时 , 轮 船 行 每 千 米 的 费 用 最 少 ( 轮 船 最 高 速 度 为 bkm/ 小 时 )? 20. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 是 否 存 在 常 数 a, b , 使 等 式

12 22 n2 an2 ? n ? ? ???? ? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) bn ? 2 对于一切 n ? N * 都成立?若不存在,说
明理由;若存在,请用数学归纳法证明?(提示:可先令 n=1,2 探求出 a,b 的值再 证明) 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? a ln(1 ? x) 2 在 (?2,?1) 上是增 函数,在 (??,?2) 上为减函数. (1)求 f ( x) 的表达式;
1 ? (2)若当 x ? ? ? ? 1, e? 1? 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的值; ?e ?

(3)是否存在实数 b 使得关于 x 的方程 f ( x) ? x 2 ? x ? b 在区间[0,2]上恰 好有两个相异的实根,若存在,求实数 b 的取值范围.

4

高二理科数学上学期期中模拟试题答案

5

(3) 由 m ? -1 ,m2 ? 2m ? 3, m2 ? 2m ? m m2 ? 2m ? 3, m2 ? 2m ? m , 解 得 0<m ? 1. 19.解 : 设 轮 船 的 燃 料 费 u 与 速 度 v 之 间 的 关 系 是 : u=kv 3 ( k ≠ 0 ) , 7 7 3 由 已 知 , 当 v=10 时 , u=35 , ∴ 35=k × 10 3 ? k = ,∴ u= v . 200 200 1 1 7 2 560 ∴ 轮 船 行 驶 1 千 米 的 费 用 y=u ? +560 ? = v + , v v 200 v 用 导 数 可 求 得 当 b ? 20 时 , 当 v=20 时 费 用 最 低 为 42 元 , 当 b<20 时 , 费用最低为 7 2 560 b ? 元; 200 b 答 : 当 b ? 20 时 , 当 轮 船 速 度 为 20km/h 时 , 轮 船 行 每 千 米 的 费 用 最 少 , 最 少 费 用 为 42 元 . 7 2 560 b ? 当 b<20 时 , 费 用 最 低 为 元. 200 b 20.. 解 : 若 存 在 常 数 a , b 使 等 式 成 立 , 则 将 n ? 1, n ? 2 代 入 上 式 , 有

6

?1 a ? 1 ? ? ?3 b ? 2 ? ? 1 ? 4 ? 4a ? 2 ? ? 3 15 2b ? 2

得 a ? 1, b ? 4 ,即有

12 22 n2 n2 ? n 对 于 一 切 n? N* 成 ? ?? ? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 4n ? 2
立………4 分 证明如下: (1)当 n ? 1 时,左边= 分 (2)假设 n ? k (k ? 1, 且k ? N * ) 时等式成立,即
1?1 1 12 1 ? ,所以等式成立 ? ,右边= 4 ?1 ? 2 3 1? 3 3

…………6

12 22 k2 k2 ? k ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) 4k ? 2
当 n ? k ? 1 时,
k2 ? k (k ? 1) 2 12 22 k2 (k ? 1) 2 = ? ? ?? ? ? 1? 3 3 ? 5 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 3) 4k ? 2 (2k ? 1)(2k ? 3)
? k ?1 k k ?1 k ? 1 2k 2 ? 5k ? 2 k ? 1 (2k ? 1)(k ? 2) ?( ? )= ? = ? 2k ? 1 2 2k ? 3 2k ? 1 2(2k ? 3) 2k ? 1 2(2k ? 3) (k ? 1)( k ? 2) (k ? 1) 2 ? (k ? 1) = 4k ? 6 4(k ? 1) ? 2

=

也就是说,当 n ? k ? 1 时,等式成立, 综上所述,可知等式对任何 n ? N * 都成立。 …………13 分

7

(3)若存在实数 b 使得条件成立, 方程 f(x)=x2+x+b 即为 x-b+1-ln(1+x)2=0, 令 g(x)=x-b+1-ln(1+x)2, 则 g′(x)=12 = x ?1 x ?1 x ?1

,

令 g′(x)>0,得 x<-1 或 x>1, 令 g′(x)<0,得-1<x<1, 故 g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,要使方程 f(x)=x2+x+b 在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,只需 g(x)=0 在区间[0,1]和[1,
? g (0) ? 0 2]上各有一个实根,于是有 ? ? g (1) ? 0 ? 2-2ln2<b≤3-2ln3, ? g (2) ? 0 ?

故存在这样的实数 b,当 2-2ln2<b≤3-2ln3 时满足条件.

8


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