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导数的运算(二)


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知识

2.2 导数的运算(二) 10.26 五 20121 80803 10.26 五 20121 80801 10.29 一 20121 80802

第 7 讲

教研室 主任签 字

星期 班级 节次

教 学 目 标

目标

课堂类 新授 型 1、掌握运用复合函数的求导法则求隐函数的导数;2、掌握运用对数求导法 求隐函数的导数;3、掌握二、三阶导数、 n 阶导数的定义及表示法。 一、 二 三、 四 三、 四

技能 进一步提高导数的应用能力和解题能力。 目标 素质 通过本节的学习,让学生感受数学探究的乐趣,培养学生的动手能力,增加 目标 学习的主动性和积极性。 重点:1、求函数的二阶导数; 2、掌握运用复合函数的求导法则求隐函数的导数; 难点:掌握运用复合函数的求导法则求隐函数的导数。

重点 与 难点

主要 教学 方法

讲授法

教学 组织 设计

1、课前复习 2、新课讲解 3、课堂练习 4、课后小结,布置作业 作 业 布 置 P31:习题 2.2 4(2) (4)5

教 学 后 记

一、隐函数的导数 我们过去所遇到的函数中,自变量 x 和函数 y 之间的函数关系通常用
y ? f ( x) 这种明显的表达式给出。比如: y ? x 2 ? 5, y ? e x ? 2, y ? ln x ? 1 ? x 2 等。

这种形式的函数叫做显函数。 但在实际问题中,并非所有的函数都可以表示为显函数形式。例如,在方程
2 x ? y ? 1 ? 0 中,给 x 一个确定值,有唯一确定的 y 值与之对应。因此, y 是 x 的

函数。这种函数关系隐含在方程 2 x ? y ? 1 ? 0 中,通常称为隐函数。 一般地,我们把由方程 F ( x, y ) ? 0 所确定的函数 y ? f ( x) 叫做隐函数。 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化。我们可将 F ( x, y ) ? 0 化成
y ? f ( x) 的形式,再按前面介绍的方法求出它的导数。隐函数的显化有时是困难

的,甚至是不可能的。但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数。因此,我 们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函 数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 例 1、求由方程 x 2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 所确定的隐函数的导数 y ? 。 解:在方程 x 2 ? y 2 ? 1中,将 y 看做 x 的函数,则 y 2 是 x 的复合函数。因此,利 用复合函数的求导法则,方程两端同时对 x 求导,得

? x ?? ? ? y ?? ? ?1??
2 2

2x ? 2 y ? y? 0

x 从上式中解出 y? ? ? 。 y

注:习惯上,对隐函数求导,结果中允许用带有 y 的式子表示。 隐函数的求导法则:在方程 F ( x, y ) ? 0 中,将 y 看做 x 的函数,则含 y 的表 达式看做 x 的复合函数,利用复合函数的求导法则,方程两端同时对 x 求导,得
? 到一个关于 x, y, y? x 的方程,从中解出 y x ,即得所求隐函数的导数。

例 2、求由方程 x 2 ? xy ? y 2 ? 4 所确定的隐函数 y ? f ( x) 在点(2,-2)处的导数。
2

例 3、求椭圆

x2 y2 3 ? ? 1 在点 (2, 3) 处的切线方程。 16 9 2

二、对数求导法 有些函数直接求导很繁琐,但若先在等式两边同取对数,变成隐函数,在利 用隐函数求导法求导数, 则可使求导问题变得容易,这种求导方法叫做对数求导 法。这种方法适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函 数(包括幂指函数) ,对数求导法过程是先取对数,化乘、除、乘方、开方为乘积, 然后利用隐函数求导法求导. 例 4、求下列函数的导数: (1) y ? x x ; 例 5、求 y ? x
sin x

(2) y ? x? ( ? 为实数) ; (3) y ?

3

x(3 x ? 1) . (5 x ? 3)(2 ? x)

( x ? 0) 的导数. ( x ? 0) 两边取对数,得 ln y ? sin x ln x ,
1 sin x y? ? ? cos x ln x , y x

解 对于 y ? x

sin x

两边求导, 得 所以
y? ? y (

sin x sin x sin x ? cos x ln x) = x ( ? cos x ln x) . x x

三、由参数方程所确定的函数的导数
? x ? ? (t ) , 确定了 y 是 x 的函数,设 x ? ? (t ) , y ? ? (t ) 都是 t 的可 设参数方程 ? ? y ? ? (t )

导函数,如果 y ? ? (t ) 具有单调连续反函数,且 ? ?(t ) ? 0 ,那么
dy dy dt dy ? ? ? dx dt dx dt dx dy ? ?(t ) ? . dt ,即 dx ? ?(t )

? x ? arctan t 例 6、求由参数方程 ? 表示的函数 y ? y( x) 的导数。 2 ? y ? ln(1 ? t )

2t dy y?(t ) 1 ? t 2 解: ? ? ? 2t . 1 dx x?(t ) 1? t2
四、高阶导数

3

如果函数 y ? f ( x) 的导数 y? ? f ?( x) 仍是 x 的可导函数,就称 y? ? f ?( x) 的导数为函数 y ? f ( x) 的二阶导数,记作 y?? , f ?? 或
d2 y , dx 2



y?? ? ( y?)? ? f ??( x) 或

d 2 y d ? dy ? ? ? ? 类似地 ,二阶导数的导数叫做三阶导数 , dx 2 dx ? dx ?

三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地, 函数 f ( x) 的 n ? 1 阶导数的导数叫
( 4) ( n) ( 4) ( n) 做 n 阶导数。分别记作 y???, y ,..., y ; f ???( x),..., f ( x),..., f ( x) ,

或 或

d3 y d 4 y dn y (n) , ,..., ? [ y ( n?1) ]? , 3 4 n .且有 y dx dx dx
, d n y d ? d ( n?1) y ? ? ? ? dx n dx ? dx n?1 ?

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.虽然,求高阶导数并不需要更新的 方法,只要逐阶求导,直到所要求的阶数即可,所以仍可用前面学过的求导方法来 计算高阶导数. 例7 例8 例9 求函数 y ? e ? x cos x 的二阶及三阶导数. 求指数函数 y ? eax 与 y ? a x 的 n 阶导数. 求 y ? sin x 与 y ? cos x 的 n 阶导数.
π? ? (sin x) ( n ) ? sin? x ? n ? ? . 2? ? π? ? (cos x) ( n ) ? cos? x ? n ? ? . 2? ?

教学小结 加强隐函数求导及对数函数求导的练习

4


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