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抚州一中 09屇数学第二轮复习 专题五·解析几何


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09 屇数学第二轮复习

专题五·解析几何

专题五
课时 1 轨迹问题

解析几何

【知道高考要求】
求动点的轨迹方程是解析几何考查的基本内容,必须正确理解各种方法在什么情况下使用.在曲线类 型已经确定的问题中,经常使用待定系数法(满足已知条件的

动点恰适合某种已知曲线定义,因而可用待 定系数法求方程) ;在曲线类型不确定的时,经常使用直译法、动点转移法和参数法. 在求动点轨迹方程的过程中, 一定要全面理解题意, 弄清题目中的已知和未知, 发现两者之间的关系, 进行知识的重新组合.画出示意图,把不宜直接计算的关系化为可以进行数学处理的关系式.另外,求出 方程后,还要仔细检查有无多余的点,如有还需将其剔除.

【重温典型问题】 题1 如图, ?ABC 为直角三角形, ?C ? 90? ,若 1 OA ? (0, ?4) , M 在 y 轴上,且 AM ? ( AB ? AC ) ,点 C 2 在 x 轴上移动,求点 B 的轨迹方程. 答案: x2 ? 2 y ( x ? 0) .

B

y M

O
A

C

x

题2 如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M , l1 ? l2 ,点 N ? l1 ,以 A, B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等,
若 ?AMN 为锐角三角形, AM ? 17 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立 适当的坐标系,求曲线 C 的方程. 简析 以 l1 为 x 轴, MN 的中垂线为 y 轴建立坐标系,如右图 所示,设曲线 C : y ? 2 px ( xA ? x ? xB ) .
2

l2
A

B

l1
M

N
y

关键在于求出 p ? MN 的值. M ( ? 由 AM ? 17 , AN ? 3 ,得

p p , 0) , N ( , 0) ,则 2 2

l2
A

B

p 2 ? AM ? ( x A ? ) 2 ? 2 px A ? 17 ? ?p ? 4 ?p ? 2 ? 2 ?? 或? (舍去) ? x ? 1 x ? 2 p 2 2 ? A ? A ? AN ? ( x ? ) ? 2 px ? 9 A A ? ? 2 2 于是得曲线 C : y ? 8x (1 ? x ? 4, y ? 0)

l1
M

O N

x

题3 设点 A 和 B 为抛物线 y ? 4 px
2

( p ? 0) 上除

y

A

原点外的两个动点,已知 OA ? OB ? 0 . (1)如果 OM ? AB 于 M ,求点 M 的轨迹; (2)求线段 AB 的中点轨迹方程.

O
B
1

x
M

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专题五·解析几何

2 ? y ?y 4p ? y1 ? 4 px1 简析 (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 , ? k AB ? 1 2 ? x ? x y ? y y ? 4 px ? 1 2 1 2 ? 2 2 4p ① ( x ? x1 ) ? ( y1 ? y2 ) y ? 4 px ? y1 y2 l AB : y ? y1 ? y1 ? y2

又 OA ? OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 p2

? l AB : ( y1 ? y2 ) y ? 4 px ?16 p2 y ? y2 又 lOM : y ? ? 1 ② x 4p 由①②消去 y1 ? y2 得 x2 ? y 2 ? 4 px ? 0 ( x ? 0) , 故点 M 的轨迹是以 (2 p, 0) 为圆心, 2 p 为半径的圆,去掉点 (0, 0) . (2) y 2 ? 2 p( x ? 4 p) .
题4 设 A(1, 0) 和 l : x ? ?1 , B 是直线 l 上的动点, ?BOA 的角平分线交 AB 于 C ,求点 C 的轨迹
方程.

简析 设 B(?1, b) ,则 OA : y ? 0 , OB : y ? ?bx , y ? bx 再设 C ( x, y) ,则 0 ? x ? 1 ,由角平分线性质 y ? , 1 ? b2 2y 又 k AC ? k AB ? b ? ,代人上式得 y 2 ? x (0 ? x ? 1) . 1? x
此类问题也可用向量求解: 设 ?COA ? ?COB ? ? ,则 OA ? (1,0) , OB ? (?1, b) ,

y

l

B

C O
A

x

OC ? ( x, y) , OA ? OC ? x ? 0 ? y ? x 2 ? y 2 cos ?
OB ? OC ? ? x ? b ? y ? x 2 ? y 2 ? 1 ? b 2 cos ?

x 1 , ? ? x ? by 1 ? b2 当 cos ? ? 0 ,即 ? ? 90? , b ? 0 时, C (0, 0) 也符合上式, 2y 再由 k AC ? k AB 得 b ? (下略) 1? x
相除,当 cos ? ? 0 时有

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专题五·解析几何

【提升能力水平】 1.如图, ?ABC 的两个顶点 A , B 分别是椭圆 x2 ? 5 y 2 ? 5 的 A? B 1 C ? cos ,试写出顶点 C 的轨迹方程. 焦点,且 sin 2 2 2 2 y 2 ? 1 ( x ? 0) . 答案: x ? 3

y

C

A

O

B

x

2. 已知 P(4, 0) 是圆 x2 ? y 2 ? 36 内的一点, A ,B 是圆上两动点, 且 ?APB ? 90? , 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 答案: x2 ? y 2 ? 56 .

3.设抛物线 C : y ? x2 的焦点为 F ,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过点 P 作抛物线 C 的两 条切线 PA , PB ,切点分别为 A , B ,求 ?APB 的重心 G 的轨迹方程. 答案: y ?

1 (4 x 2 ? x ? 2) . 3

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , A 是椭圆上一点, AF2 ? F1F2 , a 2 b2 1 原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3 (1)证明: a ? 2b ; (2)设 P , Q 为椭圆上两个动点, OP ? OQ ,过原点 O 作直线 PQ 的垂线 OH ,求点 H 的轨迹
4.设椭圆 方程. 答案: (1)略; (2)设 H ( x0 , y0 ) ,当 y0 ? 0 时,由 OH ? PQ 知直线 PQ 的斜率为 ?
2 x0 x0 x0 故 PQ : y ? ? ( x ? x0 ) ? y0 或 y ? kx ? m ,其中 k ? ? , m ? y0 ? . y0 y0 y0

x0 , y0

? y ? kx ? m ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2b2 , ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b
由 OP ? OQ ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 当 y0 ? 0 时,点的坐标仍满足上式,

2 2 2 ? 3m 2 ? 2b 2 (1 ? k 2 ) ? x0 ? y0 ? b2 . 3

2 ? H 点的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? b 2 . 3

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专题五·解析几何

5 . 设 等 腰 ?OAB 的 顶 角 ?AOB ? 2? , 底 边 上 的 高 为 h , 在 ?O A B 内 有 一 动 点 P , 到 三 边

OA, OB, AB 的距离分别为 PD , PF , PE ,且满足 PD ? PF ? PE ,求点 P 的轨迹.
答案:以底边上的高 OH 为 x 轴, O 为原点建立直角坐标系,设 P( x, y) ,则 OA : y ? x tan? ,

OB : y ? ? x tan ? , AB : x ? h , P 在 ?AOB 内 部 ? P 在 直 线 OA 的 下 方 ? x tan ? ? y ? 0 , x tan ? ? y ? PD ? ? x sin ? ? y cos ? ,同理 PF ? x sin? ? y cos? , PE ? h ? x ,直接代人条件中 1 ? tan 2 ? h 2 h sin ? 2 ) ? y2 ? ( ) (下略) 得 (x ? cos ? cos 2 ?

x2 ? y 2 ? 1,过点 P(2, ?2) 作直线 l 交椭圆于 M , N 两点,点 Q 在直线 l 上,且满足 6.已知椭圆 4 2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? PQ PM PN
答案: 首先动点 Q( x, y) 满足 y ? 2 ? k ( x ? 2) , 再从条件 条件. PQ ? 1 ?

2 1 1 中改造得第二个 “可用” ? ? PQ PM PN

注 意 椭 圆 上 点 的 纵 坐 标 ?? ?1,1? , ? yM ? 2 ? 0 , yN ? 0 , 上 式 可 写 成

1 1 y ? 2 , PM ? 1 ? 2 yM ? 2 , 2 k k 2 1 1 1 ? ? PN ? 1 ? 2 yN ? 2 ? y?2 yM ? 2 y N ? 2 k

( yM ? y N ) ? 4 8k 2 ,于是想到将 l 的方程与椭圆联立,运用韦达定理得 y ? 2 ? (其 ? 4k ? 1 y ? 2 yM yN ? 2( yM ? yN ) ? 4 3 中令 ? ? 0 ,得 k ? ? ) . 8 ? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? ? 或? 8k 8k ? x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 4 y ? 18 ? 0 , ? y?2? y?2?? ? ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ? 3 y?2 4 16 由于 k ? ? , k ? ,而当 x ? 4 y ? 2 时 ? ? ? y ? 0 ,而当 x ? 4 y ? 18 时,可得 ?4 ? y ? ? . 8 x?2 5 5

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专题五·解析几何

课时 2

直线与圆锥曲线的位置关系

【知道高考要求】
直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考常考的内容. 1.直线与圆锥曲线位置关系的判定,可以转化为二元二次方程组解的讨论.但当直线与曲线只有一 个交点(即 ? ? 0 )中必须除去两种情况:一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线 平行. 2.直线与圆锥曲线有两个不同的交点时,直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦,若弦经过 焦点,则称焦点弦,若焦点弦垂直于焦点所在的对称轴,此时焦点弦也称通径. 当直线与圆锥曲线相交时,有弦长问题、面积问题、中点弦问题和对称问题四个典型问题. ①弦长 l ? 1 ? k
2

x1 ? x2 或 l ? 1 ?

1 y1 ? y2 ,弦长的计算,经常是用设而不求的技巧,借助韦 k2

达定理整体代入的,对于焦点弦长的计算可用公式,但有时用第二定义更方便. ②面积的计算也尽量使用韦达定理. ③中点弦问题一般用点差法,双曲线的中点弦用此法一定要检验. ④对称问题,点差法和韦达定理均可. 3.二次曲线的切线问题 设有一条二次曲线 C , ①若点 P( x0 , y0 ) 在 C 上, 则过 P 点的切线方程可用替换方法得到: 将 x2 , y 2 分

x0 ? x y0 ? y , 替换.②若点 P( x0 , y0 ) 不在 C 上,且过 P 点可向二次曲 2 2 线作两条切线,设切点分别为 A, B ,则切点弦 AB 的方程与①中所得方程相同. 【重温典型问题】
别用 x0 x, y0 y 替换;将 x, y 分别用

20 x2 y 2 2 和椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其离心率为 ,若 3 a b 2 C1 与 C2 相交于 A , B ,线段 AB 恰为⊙ C1 的直径,求椭圆及直线 AB 的方程.

题1 已知⊙ C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

简析:仔细分析后发现可将问题转化为:
已知椭圆 C2 的离心率,弦 AB 的中点为 (2,1) , AB ? 2 圆的方程在提供了圆心、直径之后就可以隐退.

20 ,求 C2 及直线 AB 的方程. 3

x2 y 2 ? ?1. 答案: AB : x ? y ? 3 ? 0 ,椭圆 C2 : 16 8

21 ,点 P(6, 6) 在双曲线 3 G 且与双曲线交于 M 、 N ,若线段 MN 的中点为 Q ,且 A2Q ? A2 P ,求 上,直线 l 经过 ?A 1A 2 P 的重心 直线 l 的方程. x2 y 2 ? 1 ,进而得 G (2, 2) . 简析 易求得双曲线方程: ? 9 12 设 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) , ? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? 2 ? (4 ? 3k 2 ) x2 ? 12k (k ?1) x ?12(k ?1)2 ? 36 ? 0 . ?x y2 ?1 ? ? ? 9 12 ?4 ? 4 6 ?4 ? 4 6 2 令 ? ? 0 ,得 5k ? 8k ? 16 ? 0 ? . ?k? 5 5 6k (k ? 1) 8(k ? 1) 8(k ? 1) Q( 2 , 2 ) ,从而 k A2Q ? , 3k ? 4 3k ? 4 12 ? 6k ? 3k 2
题2 已知双曲线的中心为原点,左右顶点 A1 、 A2 在 x 轴上,离心率为
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专题五·解析几何

1 5 ? 13 得k ? (只有一个符合 ? ? 0 ) 2 3 5 ? 13 4 ? 2 13 . x? ?l: y ? 3 3 题3 A , B 在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上,且 AB 不平行 y 轴, F 为焦点, AF ? BF ? 8 , AB 的中垂线过点 Q (6, 0) .
再由 k A2Q ? ? (1)求抛物线方程; (2)求 ?ABQ 面积的最大值.

简析: (1)由焦半径公式得 xA ? xB ? 8 ? p .
另一方面将 AB 的方程 y ? kx ? m (k ? 0) 与 y 2 ? 2 px 联立得 k 2 x2 ? (2km ? 2 p) x ? m2 ? 0 , 之中也有 xA ? xB ,从而 8 ? p ? 线段 AB 的中点为 (

p ? km p p 1 p ? km , ) ,中垂线为 y ? ? ? ( x ? ), 2 k k k k k2 p ? km 将 Q 点坐标代入得 6 ? p ? ,从而 2(6 ? p) ? 8 ? p ? p ? 4 ,抛物线方程为 y 2 ? 8x . 2 k (2)设直线与 x 轴交于 M ,则 1 1 1 2 1 64 6 MQ y A ? yB ? ? 16 (1 ? 2 )(1 ? 2 )(2 ? 2 ) ? ? ( k ? ? 3 时取等号) 2 k k k 2 9 【提升能力水平】 x2 y 2 1. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 A , B 两点, M 为 AB 的中点,若 a b 2 ,求椭圆方程. AB ? 2 2 ,直线 OM 的斜率为 2 x2 y2 答案: ? ?1 3 3 2 2 S?

2( p ? km) , k2

x2 4 ? y 2 ? 1的右焦点的直线 l 与椭圆交于 M , N ,若 M , N 到直线 x ? 的距离之 4 13 和为 3 ,求直线 l 的方程.
2.过椭圆 答案: y ? ?

5 ( x ? 3) 2

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专题五·解析几何

3.已知抛物线方程 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,点 M (a,0) , N (?a, 0) (a ? 0) , AB 是抛物线中过 M 点的 弦,求证: ?ANM ? ?BNM . 提示:当 AB ? x 轴时,结论显然成立.当 AB 方程为 y ? k ( x ? a) 时,只要证明 k AN ? ?kBN 即可.

?

y1 y ?? 2 ? x1 ? a x2 ? a

? ( y1 ? y2 )( y1 y2 ? 2 pa) ? 0 ,下略.

4.已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,直线 l 过点 R(0, ?2) 交 C 于 P , Q ,设平行四边形 OPMQ 的顶点轨迹 为曲线 K . (1)求曲线 K 的方程; (2)若直线 y ? ?2 x ? b 与曲线 K 有两个不同的交点,求 b 的取值范围. 答案: (1)动点 M ( x, y ) , OM 的中点 N ( , ) , N 又是 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 的中点,

x y 2 2

? x ? x1 ? x2 ?? (?) ? y ? y1 ? y2 y 设 l : y ? kx ? 2(k ? 0) , ? y ? kx ? 2 1 ? ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ,令 ? ? 0 ? k ? ? (k ? 0) , ? 2 2 ? y ? 4x 4 1 1 x y1 ? y2 ? ,由此 x1 ? x2 ? 4( 2 ? ) ,代入 (?) 消去 k 得 O O k k k A(8, ?8) ( y ? 2)2 ? 4( x ? 1) ?x ? 8 ?x ? 0 1 再由 k ? ? ( k ? 0) 可得 x, y 的范围. ? 或? . 2 y ? ? 8 y ? 0 ? ? (2) b ? 8 5.已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点为 F1 (?3,0) ,一条渐近线为 5x ? 2 y ? 0 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k (k ? 0) 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M , N ,且线段 MN 的垂直平分 81 线与两坐标轴围成的三角形面积为 ,求 k 的取值范围. 2 x2 y 2 ? ?1 答案: (1) 4 5 (2)设 l : y ? kx ? m ,与双曲线联立得 (5 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 20 ? 0 .
令?

?5 ? 4k 2 ? 0 ?? ? 0

? m 2 ? 5 ? 4k 2

(?)

4km 5m 9km 9m , ) , MN 的中垂线与坐标轴的交点为 ( , 0) 和 (0, ) 2 2 2 5 ? 4k 5 ? 4k 5 ? 4k 5 ? 4k 2 1 9km 9m 81 (5 ? 4k 2 )2 2 依条件 代入 (?) 解得 ? ? ? m ? 2 5 ? 4k 2 5 ? 4 k 2 2 k
MN 的中点为 (

0? k ?

5 5 或k ? . ) 4 2
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专题五·解析几何

课时 3

定点、定值与范围问题

【知道高考要求】
定点、定值问题是解析几何解答题考查的重点之一,此类问题变中有定,并且常与轨迹问题、曲线 系问题等相结合,深入考查直线、圆锥曲线、直线和圆锥曲线位置关系等知识. 范围问题则是近几年高考的热点,由于综合性强,对推理、计算要求较高,因而有一定的难度.

【重温典型问题】 题1 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是顶点) ,且以 AB 为直径的圆经过椭圆 的右顶点,求证直线 l 过定点,并求出定点的坐标. x2 y 2 ? ? 1. 简析: (1) 4 3 ? y ? kx ? m ? (2) ? x 2 y 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 . ? ? 1 ? ?4 3 2 2 令 ? ? 0 ? 3 ? 4k ? m ? 0 ,右顶点 (2, 0) , 2k 2 2 由 ( x1 ? 2) y1 ? ( x2 ? 2) y2 ? 0 ? 7m ? 16mk ? 4k ? 0 ? m1 ? ?2k , m2 ? ? ,且满足 ? ? 0 . 7 当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) 恒过 (2, 0) ,矛盾; 2k 2 2 当m ? ? 时, l : y ? k ( x ? ) 恒过定点 ( , 0) . 7 7 7

题2.已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的动直线与双曲线交于 A, B 两点.
O 为原点) (1)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (
(2)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ?CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理 由.

? x1 ? x2 ? x ? 4 x?4 y , ), 简析: (1)首先利用条件(向量式)有 ? , AB 的中点为 ( 2 2 ? y1 ? y2 ? y y y y ? y2 y 2 ( x1 ? x 2) ,再用点差法即可得 当 AB 不与 x 轴垂直时, 1 ,即 y1 ? y 2 ? ? ? x ? 4 x ?8 x1 ? x2 ? 2 x ?8 2 2 2 ( x ? 6) ? y ? 4 . (2)假设存在 C (m,0) ,设 AB : y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) ,与双曲线联立得

(1 ? k 2 ) x ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0
由此 CA ? CB ?

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2 ?

? 2(1 ? 2m) ?

4 ? 4m ? m2 . k 2 ?1

由于 CA ? CB 是与 k 无关的常数,故 4 ? 4m ? 0 ? m ? 1.此时 CA ? CB ? ?1. 当 k AB 不存在时, CA ? CB ? ?1.存在 C (1, 0) .

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题3 设椭圆的中心在原点,A(2, 0), B(0,1) 是它的两个顶点, 直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 交于 D 点, 与椭圆交于 E , F 两点. y (1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. B 2 3 x2 F ? y 2 ? 1, k ? 或 k ? 简析: (1)椭圆方程为 3 8 4 D x A O 2 x1 ? 2kx1 ? 2 2(1 ? 2k ? 1 ? 4k ) (2) E 到 AB 的距离 h1 ? ? E 5 5 x ? 2kx2 ? 2 2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) F 到 AB 的距离 h2 ? 2 ? 5 5(1 ? 4 K 2 )

AB ? 5 .
1 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2 ? 4k ? S ? AB (h1 ? h2 ) ? ? ? ?2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 (当 k ? 时取等号) 2 另外: BO ? 1, AO ? 2 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 , x2 ? 0, y2 ? y1 ? 0 ,
2 2 S ? S?BEF ? S?AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 )2 ? 2( x2 ? 4 y2 ) ?2 2 .

当 x2 ? 2 y2 时取等号.

归纳:解析几何中求最值或求范围问题,一般有两种解法:一是建立变量间的函数关系,利用函数的
方法求解;二是建立变量间的不等式关系,利用不等式的方法求解.

【提升能力水平】
1.已知抛物线 S 的顶点在原点,焦点在 x 轴上, ?ABC 的三个顶点都在抛物线上,且 ?ABC 的重 心为抛物线的焦点,若 BC 所在直线 l 的方程为 4 x ? y ? 20 ? 0 . (1)求抛物线 S 的方程; (2)若 O 为坐标原点, P, Q 是抛物线 S 上的两个动点,且 PO ? OQ ,试问:动直线 PQ 是否过一 个定点? 答案: (1) y 2 ? 16 x , (2)过定点 (16, 0) .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,过点 M ( 2,1) ,且左焦点为 F 1 (? 2,0) . a 2 b2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q ,满足
2.设椭圆 C :

AP ? QB ? AQ ? PB ,证明点 Q 总在某定直线上.
答案: (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2) 2 x ? y ? 2 ? 0 . 4 2

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3.如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 a 2 b2

F (1, 0) ,且过点 (2, 0) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 AB 为垂直于 x 轴的动弦,直线 l : x ? 4 与 x 轴交 于 N ,直线 AF 与 BN 交于 M . ①求证:点 M 恒在椭圆 C 上; ②求 ?AMN 面积的最大值. 9 x2 y 2 ? ? 1; 答案: (1) (2)①略;② . 2 4 3

y A

l
N

O
B

F M

x

4.如图,已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为动点,过 P 作 直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M , 已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值. 答案: (1) y 2 ? 4 x ; (2) ?1 ? ?2 ? 0 .

y

x ? ?1
F

O

x

x2 ? y 2 ? 1的左右焦点. 5.设 F1 , F2 分别是椭圆 4 (1)若 P 是椭圆上一个动点,求 PF 1 ? PF2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角( O 为原点) ,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围. 3 3 ) ( , 2) . 答案: (1) 1 和 ?2 ; (2) k ? (?2, ? 2 2

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高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题

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