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【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题7 统计与统计案例、概率和统计(第3讲)课时作业 新人教A版


【走向高考】2015 届高中数学二轮复习 专题 7 统计与统计案例、概 率和统计(第 3 讲)课时作业 新人教 A 版

一、选择题 1.(2014· 唐山市二模)将 6 名男生,4 名女生分成两组,每组 5 人,参加两项不同的活动,每 组 3 名男生和 2 名女生,则不同的分配方法有( ) A.240 种 B.120 种 C.60 种 D. 180 种 [答

案] B [解析] 不同的分配方法有 C3 6C2 4=120. a 1 2.(2014· 湖北理,2)若二项式(2x+x)7 的展开式中x3的系数是 84,则实数 a=( A.2 C.1 [答案] C a a [解析] 二项式(2x+x)7 的通项公式为 Tr+1=Cr 7(2x)7-r(x)r=Cr 727-rarx7-2r,令 7-2r=- 1 3,得 r=5.故展开式中x3的系数是 C5 722a5=84,解得 a=1. 3.12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排, 其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A.C2 8A2 3 B.C2 8A6 6 C.C2 8A2 6 D.C2 8A2 5 [答案] C [解析] 要完成这件事,可分两步走:第一步可先从后排 8 人中选 2 人共有 C2 8种;第二步可认 为前排放 6 个座位,先选出 2 个座位让后排的 2 人坐,由于其他人的顺序不变,所以有 A2 6种 坐法.综上,由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为 C2 8A2 6种. 4.由数字 0、1、2、3、4、5 组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的 共有( ) A.210 个 B.300 个 C.464 个 D.600 个 [答案] B [解析] 由于组成没有重复数字的六位数,个位小于十位的与个位大于十位的一样多,故有 C1 5A5 5 2 =300(个). 2 3 5.(2014· 唐山市一模)( x- x )8 二项展开式中的常数项为( A.56 B.112 C.-56 D.-112
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)

5 B. 4 2 D. 4

)

[答案] B [解析] 8-4r 2 3 Tr+1=Cr 8( x)8-r(- x )r=(-1)r2rCr 8· x 3 ,令 8-4r=0,∴r=2,∴常数项为(- )

1)2×22×C2 8=112. 6. 从一个正方体的 8 个顶点中任取 3 个, 则以这个 3 个点为顶点构成直角三角形的概率为( 6 5 A.7 B.7 4 2 C.7 D.3

[答案] A [解析] 由于每个面上有直角三角形 C3 4=4(个),每对相对棱形成的对角面上有直角三角形 C3 4 48 6 =4(个),因此直角三角形共有 6×4+6×4=48(个),故所求概率 P=C3 8=7. 7.有 5 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有一人参加,其中甲同学不能 参加跳舞比赛,则参赛方案的种数为( ) A.112 B.100 C.92 D.76 [答案] B [解析] 甲同学有 2 种参赛方案,其余四名同学,若只参加甲参赛后剩余的两项比赛,则将四 C2 4C2 2 名同学先分为两组,分组方案有 C1 4· C3 3+ A2 2 =7,再将其分到两项比赛中去,共有分配方案 数为 7×A2 2=14;若剩下的四名同学参加三项比赛,则将其分成三组,分组方法数是 C2 4,分到 三项比赛上去的分配方法数是 A3 3,故共有方案数 C2 4A3 3 =36.根据两个基本原理共有方法数 2×(14+36)=100(种). 8.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且每个盒子中 的小球个数都不同,则共有不同放法( ) A.15 种 B.18 种 C.19 种 D.21 种 [答案] B [解析] 由于每个盒子中小球数各不相同,且 1+2+6=9,1+3+5=9,2+3+4=9,故不同放 法共有 3A3 3=18 种. 二、填空题 9.(2014· 北京理,13)把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有________种. [答案] 36 [解析] 本题考查了计数原理与排列组合知识. 先只考虑 A 与产品 B 相邻, 此时用捆绑法, 将 A 和 B 作为一个元素考虑, 共有 A4 4=24 种方法, 而 A 和 B 有 2 种摆放顺序,故总计 24×2=48 种方法,再排除既满足 A 和 B 相邻,又满足 A 与 C 相邻的情况,此时用捆绑法,将 A、B、C 作为一个元素考虑,共有 A3 3=6 种方法,而 A、B、 C 有 2 种可能的摆放顺序,故总计 6×2=12 种方法. 综上,符合题意的摆放共有 48-12=36 种. b 10.(2014· 山东理,14)若(ax2+ x )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为 ________.
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[答案] 2 [解析] 本题考查二项式定理,均值不等式. b Tr+1=Cr 6· (ax2)6-r· ( x )r=Cr 6a6-rbrx12-3r, 令 12-3r=3,∴r=3, ∴C3 6a3b3=20, 即 ab=1. ∴a2+b2≥2ab=2.

一、选择题 11.(2014· 武汉市调研)安排 6 名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后 面,则不同排法的种数是( ) A.180 B.240 C.360 D.480 [答案] D [解析] 将 6 个位置依次编号为 1、2、3、…、6 号,当甲排在 1 号或 6 号位时,不同排法种数 为 2A5 5种;当甲排在 2 号或 5 号位时,不同排法种数为 2A1 3· A4 4种;当甲排在 3 号或 4 号位置 时,不同排法种数有 2(A2 2A3 3+A2 3A3 3)种, ∴共有不同排法种数,2A5 5+2A1 3A4 4+2(A2 2A3 3+A2 3A3 3)=480 种,故选 D. 12.(2013· 潍坊模拟)如图,M、N、P、Q 为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连 接起来,则不同的建桥方法有( )

A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 [答案] C [解析] 把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成 6 条线段,任选 3 条,共有 C3 6种情形,但 有 4 种情形不满足题意,∴不同的建桥方法有 C3 6-4=16 种,故选 C. 13. (2013· 太原模拟)用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数, 其中有且仅有一个奇数夹在两个 偶数之间的五位数的个数为( ) A.36 B.48 C.72 D.120 [答案] A [解析] 第一步,将 3 个奇数全排列有 A3 3种方法; 第二步,将 2 个偶数插入,使它们之间只有一个奇数,共 3 种方法; 第三步,将 2 个偶数全排列有 A2 2种方法,所以,所有的方法数是 3A3 3A2 2=36. 14.(2014· 东北三省三校一模)一个五位自然数 a1a2a3a4a5,ai∈{0,1,2,3,4,5},i=1,2,3,4,5,当 且仅当 a1>a2>a3, a3<a4<a5 时称为“凹数”(如 32014,53134 等), 则满足条件的五位自然数中“凹 数”的个数为( ) A.110 B.137 C.145 D.146
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[答案] D [解析] 含有数字 0 时,数字 0 只能在中间,此时共有 C2 5· C2 5=100;不含数字 0 时,若含数字 1,数字 1 只能在中间,此时共有 C2 4· C2 4=3;若不含数字 0 和 1,含数字 2,则数字 2 在中间, 有 C2 3· C2 3=9;若数字 3 在中间时,只有一种,共有 100+36+9+1=146. 15.(2014· 太原五中月考)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+ x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=( ) A. 15 B.5 C.10 D.20 [答案] C [解析] f(x)=x5=[(x+1)-1]5=(x+1)5-C1 5(x+1)4+C2 5(x+1)3-C3 5(x+1)2+C4 5(x+1)-C5 5, ∴a3=C2 5=10. 1 20 3 16.(2013· 江西八校联考)若二项式( tan2x+tan2x)n 的展开式的第四项是 9 ,而第三项的二项 式系数是 15,则 x 的取值为( ) kπ A. 3 (k∈Z) π B.kπ-3(k∈Z) π D.kπ±3(k∈Z) 3 1 1 3 tan2x + tan2x )n 的展开式的通项是 Tr + 1 = Cr n· ( tan2x)n - r( tan2x )r =

π C.kπ+3(k∈Z) [答案] D [ 解析 ] 二项式 (

n 4 Cr n· (tan2x)3-3r. C2 n=15 ? ? π 依题意有? n 4 20 ,解得 n=6,tanx=± 3,x=kπ±3,其中 k∈Z,选 D. C3 n· ? tan2x? ? 3-3×3= 9 ? 17.(2014· 浙江理,5)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+ f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 [答案] C [解析] 本题考查组合应用及二项式定理.由条件得 f(m,n)=Cm 6· Cn 4,∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=C3 6C0 4+C2 6C1 4+C1 6C2 4+C0 6C3 4=20+60+36+4=120,选 C. 18.将标号为 1、2、3、4、5、6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中.若每个盒子放 2 个,其 中标号为 1,2 的小球放入同一盒子中,则不同的方法共有( ) A.12 种 B.16 种 C.18 种 D.36 种 [答案] C [解析] 先将标号为 1、2 的小球放入一个盒子中有 C1 3种方法,再将其余 4 个小球中选取 2 个 放入一个盒子中,有 C2 4种方法,余下的 2 个小球放入剩下的一个盒子中, ∴共有 C1 3C2 4=18 种方法. 19.(2013· 河南五市联考)研究性学习小组有 4 名同学要在同一天的上、下午到实验室做 A、B、 C、D、E 五个操作实验,每位同学上、下午各做一个实验,且不重复,若上午不能做 D 实验,
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下午不能做 E 实验,则不同的安排方式共有( ) A.144 种 B.192 种 C.216 种 D.264 种 [答案] D [解析] 根据题意得,上午要做的实验是 A,B,C,E,下午要做的实验是 A,B,C,D,且上 午做了 A,B,C 实验的同学下午不再做相同的实验.先安排上午,从 4 位同学中任选一人做 E 实验,其余三人分别做 A、B、C 实验,有 C1 4· A3 3=24 种安排方式.再安排下午,分两类:① 上午选 E 实验的同学下午选 D 实验,另三位同学对 A、B、C 实验错位排列,有 2 种方法,则 不同的安排方式有 N1=1×2=2 种;②上午选 E 实验的同学下午选 A、B、C 实验之一,另外三 位从剩下的两项和 D 一共三项中选,但必须与上午的实验项目错开,有 3 种方法,则不同的 安排方式有 N2=C1 3· 3=9 种.于是,不同的安排方式共有 N=24×(2+9)=264 种.故选 D. 二、解答题 20.(2013· 宁德模拟)已知(1+2 x)n 的展开式中,某一项的系数是它前一项系数的 2 倍,而又 5 等于它后一项系数的6. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和; (2)求展开式中的有理项. [解析] 根据题意,设该项为第 r+1 项,则 Cr n2r=2Cr n-12r-1, Cr n=Cr n-1, ? ? ? ? 有? 即? 5 5 n2r=6Cr n+12r+1, Cr n=3Cr n+1, ?Cr ? ? ? n=2r-1, ? ? 亦即? n! n! 5 =3× , ? -r?! ?+ r 1?!? n -r-1?! ?r!? n
? ?r=4, 解得? ?n=7. ?

(1)令 r=1 得展开式中所有项的系数之和为(1+2)7=37=2187. 所有项的二项式系数之和为 27=128. r (2)展开式的通项为 Tr+1=Cr 72rx2,r≤7 且 r∈N. 于是当 r=0,2,4,6 时,对应项为有理数, 即有理数项为 T1=C0 720x0=1,T3=C2 722x=84x, T5=C4 724x2=560x2,T7=C6 726x3=488x3.

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