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【高考精品复习】第十二篇 概率、随机变量及其分布 方法技巧5 离散型随机变量的应用


方法技巧 5 离散型随机变量的应用 【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用,常以解 答题形式出现. 方法 1:公式法 直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与 解题步骤 方差. 适用于可直接用公式求解的问题. 适用情况 【例 1】?(2012· 黄冈中学月考)某社区举办 2010 年上海世博会知识宣传活动,并 进行现场抽奖,抽奖规则是:盒中装有 10 张大小相同的精美卡片,卡片上分别 印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案,参加者每次从盒中抽取两 张卡片,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖. (1)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人笑说:我只知 1 道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是3.求抽奖者获奖的概率; (2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖,抽后放回,另一个人再抽,用 ξ 表示获 奖的人数,求 ξ 的分布列及 E(ξ),D(ξ). 解 (1)设“世博会会徽”卡有 n 张, C2 1 n 由C2 =3,得 n=6,故“海宝”卡有 4 张, 10 C2 2 4 抽奖者获奖的概率为C2 =15. 10 2? ? ?2? (2)由题意知,符合二项分布,且 ξ~B?4,15?,故 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=Ck ?15? 4 ? ? ? ? k?13?4-k ?15? ? ? (k=0,1,2,3,4)或 0 ?13?4 ?15? ? ? 1 2 ?13? C115?15?3 4 ? ? 2 ? 2 ? ?13? C2?15?2?15?2 4 ? ?? ? 3 ? 2 ? ?13? C3?15?3?15? 4 ? ?? ? 4 ? 2 ?4 ?15? ? ? ξ P 2 8 由 ξ 的分布列知,E(ξ)=4×15=15, 2 ? 104 2 ? D(ξ)=4×15×?1-15?=225. ? ? 方法 2:方程法 ① 利用题干条件列方程; 解题步骤 ②利用方程计算概率问题. 适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题. 适用情况 【例 2】?某工厂在试验阶段生产出了一种零件,该零件有 A、B 两项技术指标需 要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概 5 11 率为12,至少一项技术指标达标的概率为12.按质量检验规定:两项技术指标都 达标的零件为合格品. (1)求一个零件经过检测,为合格品的概率是多少? (2)依次任意抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多 少? (3)依次任意抽取该零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 Eξ 与 Dξ. 解 (1) 设 A 、 B 两 项 技 术 指 标 达 标 的 概 率 分 别 为 P1 、 P2 , 由 题 意 得 : 5 ?1-P ?P1· 2?+P2· 1?=12, ? ?1-P ? 11 ?1-?1-P1??1-P2?=12 ? ?P1=3, ? 4 解得? 2 ?P2=3, ? ?P1=2, ? 3 或? 3 ?P2=4, ? 1 所以 P=P1P2=2, 1 即一个零件经过检测,为合格品的概率为2. 4?1? (2)任意抽出 5 个零件进行检测,其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1-C5?2?5 ? ? ?1? 13 -C5?2?5=16. 5 ? ? 1? ? (3)依题意知 ξ~B?4,2?, ? ? 1 1 1 故 E(ξ)=4×2=2,D(ξ)=4×2×2=1. 方法运用训练 5 1.(2011· 雅礼中学英特班

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