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2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)


2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义

1.向量加法三角形法则:

2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B

首尾相接,再连首尾
C

? a
? ? ? a?b b

? ? a?b
A

? b

C

? b
A

? a

B

O

? a

3.向量减法三角形法则:

共起点,连终点,指向前终点 ?

a ? b
O

? b

B

? a

??? ? ? ? BA ? a ? b
A

作一作,看成果
? ? ? ? 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? ? a ? ? ? ? ? ? 3a与 a 方向相同 a a a ? ? O 3a 即 3a ? 3 a A C B
? ? ? (? 类比上述结论, a) ? (?a) ? (?a)

? ?a

? ?a

? ?a

N

M

Q

P

? ?3a

又如何呢? ? ? ?3a 与 a方向相反 ? ? 即 ?3a ? 3 a

? 一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量, ? 这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向
规定如下: ?

? (1) | ? a |?| ? || a |; ? 的方向与 (2)当 ? ? 0时, a ?

【 1、 ? , (1)点 C 在线段 AB 上,且 CB 2 预 5 2 习 ??? ? ??? ??? - ??? ? ? ? 则 AC ? ____ AB , BC ? ____ AB . 自 7 7 ? ? 测 ? ? ? ? 2 】 (2)若 a ? 3e , b ? 6e ,则 b ? ___ a ;? ? 7 ? ? ? ? ___ 若 a ? 8e , b ? ?14e ,则 b ?- a .

? a 的方向相同; ? ? 的方向相反。 当? ? 0时, a 的方向与 a ? ? ? 【预习自测】 特别的,当 ? ? 0 时, a ? 0. ? AC 5

4

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ? a
? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b

? 2a

( )? ? a ) ? (?? )? ; 1 ( ? a ?
(2)(? ? ? )a ? ? a ? ? a;

向量的数乘运算满足如下运算律: ,?是实数, ? ? ?

(3)? (a ? b) ? ? a ? ? b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 ? ? ? 2、计算: 解: (1) (?4) ? 5a ;?20a 【 ? ? ? ? ? ? (2) 5(a ? ? 5a ;a ? b) ??b ; ? ? 2、计算: (1) (?4) b) ? 3( ? ? 预 ? ? ? a ? 5b ? 3a ? 3b ? b?? ? ? 5 ? ? ? ? ? 习 (3) 5(a ? b) ? 3(a2(a ) ? b ;3c) ?? ) ? ? b ? 2b ? 2a ? 7b c (2) (3 ? (5 ?? a ? (5 ? ? ?1)? ? ? 3) ? 3 b 自 ? (3) (3a? b? c) ? 2(a? 2b? 3c) ? ? ? ? 测 ? ? ? 3a ? b ? c ? 2a ? 4b ? 6c ? 】 ? ? ? ? ? ? (3 ? 2)a ? (1 ? 4)b ? (?1 ? 6)c ? a ? 5b ? 7c

? ?

?

?

? ? 特别地:(? ?) ? ? ?a a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b

?

?

? ?

? ? 使得 b 3、问题: (1)若存在实数 3、下列向量 a 与 b 是否共线:

? ? ?? ? ? (1) a ? ?2e , b ? 2e ; a 的位置关系是________; 与 ? ? 那么 b ? ? ? ? ? e (2) a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2? 2 . ? ? ?

? ? ? =? a ( a ? 0) ,

(2)若向量 b?和 a ? a ? 0 )共线,且 b = ? a ,则 (? ? 解:( ) a ? ?b ?a //b ? 1 ? ? ? ? 当 a 与 b 同向时,则 b =________; ? (2) a ? ?2b ?a //b ? ? 当 a 与 b 反向时,则 b =_____。

? ? ? ? 向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , ? ? 使b ? ? a.

向量共线定理:

? 思考:1) a 为什么要是非零向量?
? 2) b 可以是零向量吗?

? ? 即a与b共线

? ? ? ? b ? ? a (a ? 0)

【总结提升】 小结: 1、中线向量公式: 例1.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且 ? ? 若Δ OAB 中, P 为 BC 的中点, ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? b ??? ???、 ???CM ? AB ? a, AD ? b ,你能用 a 、 来表示 AM? BM、 和D M 。 OA+OB 则 OP ? ____________ D 【总结提升】 C 2 1、中线向量公式: B M P 若Δ OAB 中, P 为 BC 的中点, b

??? ? ???? B ??? ??? ? ? ??? ? E 例 2、如图,已知 AD = 3AB , DE = 3BC ,判断 AC 与 ??? ??? ? ? ??? ? C = 3BC ,判断 AC 与 AE 是否共线? ? 解: AE ? AD ? DE ? 3 AB ? 3BC A B ? 3 AB? BC D ? 3 AC ∴ AC AE 共线. 与
A

??? ? 则 OP ? ____________

? a

O

A

?

?

??? ? ? ? ? ? 变式:如图,已知任意两个向量 a、 ,试作 OA ? a ? b, b ??? ? ? ??? ? ? ? ? OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C

? a

? b

? 3b ? 2b ? b A,B,C三点共线

B

小结:
证明三点共线的方法:

A

AB=λBC
且有公共点B

? a
O

例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB ? DC , 试判断其的形状,并证明。

解: AB ? DC ? ? AB ? DC 且 AB//DC | || |
? ABDC是平行四边形
A

D

C

B

1 思考: (1)若将条件改为 DC = AB , 3
(2)若将条件改为 AD ?

其形状如何?加以证明。梯形

BC , AB ? AD ,

其形状如何?加以证明。

矩形

小结:
一、①λ a 的定义及运算律

②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

b=λa

A,B,C三点共线

直线AB∥直线CD

AB与CD不在同一直线上

书本P91,A组,9,10

B组,3


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