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广东省东莞市南开实验学校2013届高三上学期期中考试数学文试题


南开实验学校 2013 届高三上学期期中考试数学文试题

考试时间:120 分钟

满分:150 分

说明:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、 考号、座位号等填写在答题卡的侧面相应的空格内。 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷相 应位置上; 不准使用铅笔和涂改液。 答案必须写在答题卷上, 收卷时只交答题卷。
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.
1.已知集合 A ? {x x ? 1} , a ? 2 ,则下列关系中正确的是( A. a ? A B. a ? A C. {a} ? A ) D. {a} ? A ) D. ?

2.已知向量 a ? ( x,1) , b ? (3, 6) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为( A.

?

?

?

?

1 2

B. ? 2

C. 2

3. 对于非零向量 a, b ,“ a∥b ”是“ a ? b ? 0 ”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 A. 1 B. e C. e
2
2

? ?

? ?

? ?

?

1 2

4. 已知函数 y ? f ? x ? 的图象与 y ? ln x 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ? 2 ? ? ( D. ln ? e ? 1? ) 5.等比数列{an}中,a1 =1,公比 q=2,则数列{an }的前 4 项和为 S4 =( A.85 B.225 C.15 D.7225 6.曲线 f ( x) ? x ln x 的最小值为 A. ( ) D. ?



1 e

B. e

C. ?e

1 e

7.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ),可得 这个几何体 的体积是 ( )

8 3 4 3 B. cm 3 3 2 3 1 3 C. cm D. cm 3 3
A. cm

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A(?1, 1) ,若点 M ( x , y) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?
则 OA ? OM 的取值范围是( A. [?1, 0] B. [0 , 1]

??? ???? ? ?

) C. [0 , 2] D. [?1, 2]

9.函数 y ? 2 cos ? x ?
2

? ?

??

? ? 1 是( 4?

) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 10

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2


若对区间[a, b]上的任意 x1 , x2 ,当x1 ? x2时, f ( x1 ) ? f ( x2 ), 我们称 f ( x)在[a, b]上为不
减函数 . 已知 f ( x)是定义在 [0,1]上的不减函数 , 且满足 f (0) ? 0, f (1 ? x) ? 1 ? f ( x), 1 1 7 f (1 ? x) ? 1 ? f ( x), 则f ( )的值为 ( 3 2 8
A.1 B.

)

3 4

C.

5 6

D.

7 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

lg(2 ? x) 的定义域是 . x ?1 a 12.已知数列 ? an ? 是等差数列, a3 ? 1,4 ? a10 ? 18
11.函数 y ? 13.已知 sin ? ? 2cos ? ,则 cos 2? 的值是 14. 若 x ? 0 ,则 x ?



则首项 a1 ? .



2 的最小值为 x

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 15. (本题满分 12 分)
已 知 函 数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的 最 大 值 是 1 , 其 图 像 经 过 点

? 1 M( , )。 3 2
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0, 的值。

?

3 12 ) ,且 f (?) ? , f( ? ? , 求 f (? ? ? ) ) 2 5 13

16. (本题满分 12 分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨, B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨 ,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.问该企业如何安排可获得最大利润,最大利润是多少?

17. (本题满分 14 分) 直三棱柱 ABC-A1B 1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)求证:AC1∥平面 B1 CD;

18. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ( c ? 0 )的导函数的图象如图所示:
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)令 g ( x) ?

f ( x) ,求 y ? g ( x) 在 [1, 2] 上的最大值. x

第 19 题图

19. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ?

1 2 3 ? x ? x, 数列{an }的前n项和为Sn , 点 (n, Sn )(n ? N )均在函数 y ? f ( x) 的图 2 2

象上。 (1)求数列 {an } 的通项 公式 an ;

an , 求数列 {bn }的前n项和Tn; 2n ?1 a a (3)令 cn ? n ? n ?1 , 证明: c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n. an ?1 an
(2)令 bn ?

20. (本题满分 14 分)

已知 h( x) ? ln x, g ( x) ? h( x) , (1)写出 g ( x)的定义域 , 并作出 y ? g ( x )的简图 ; (2)若g ( x1 ) ? g ( x 2 )(其中0 ? x1 ? x 2 ), 求证 : x1 ? x 2 ? 1, x1 ? x 2 ? 2;

(3) 判断 f ( x) ? x ?
在,说明理由.

h( x ) 是否存在极值?若存在, 证明你的结论并求出所有极值;若不存 x

东莞市南开实验学校 2012-2013 学年度第一学期 高 2013 届 数学(文)期中考参考答案
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 1 1 . (?1, 2)
12. 【解析】 a4 ? a10 ? (a3 ? d ) ? (a3 ? 7d ) ? 2 ? 8d ? 18 ? d ? 2 ,? a1 ? a3 ? 2d ? ?3

? 另解: 2a7 ? a4 ? a10 ? 18, ? a7 ? 9 , 公差 d ? ?
13. ?

a7 ? a3 9 ? 1 a ? ? 2 , 1 ? a3 ? 2d ? ?3 。 7?3 4

3 5
2

14. 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤.

16. (本题满分 12 分) 解析 设生产甲产品 x 吨 ,生产乙产品 y 吨,则有关系: A 原料 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x B 原料 2x 3y

y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ?????????4 分 ?3 x ? y ? 13 ?2 x ? 3 y ? 18 ?
目标函数 z ? 5 x ? 3 y ?????????5 分 作出可行域(如图)?????????8 分

y
13

(0,6)
平移直线 z ? 5 x ? 3 y ,过点 B 时 z 取最大值.

B(3,4)

? 3x ? y ? 13 ?x ? 3 由? ?? 即B(3,4) ?2 x ? 3 y ? 18 ? y ? 4

O



13 9 ,0) 3

x

z max ? 5 ? 3 ? 3 ? 4 ? 27
故生产甲产品 3 吨,生产乙产品 4 吨时,可获得最大利润为 27 万元。????12 分

17. (本题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 AB=5,AC=4,BC=3, 所以 AC⊥BC. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 C C1⊥AC. 因为 BC∩AC =C, 所以 AC⊥B1C. (Ⅱ)连结 BC1,交 B1C 于 E. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以 侧面 B B1C1C 为矩形,且 E 为 B1 C 中点. 又 D 是 AB 中点,所以 DE 为△ABC1 的中位线, 所以 DE// AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, 所以 AC1∥平面 B1CD. 14 分 所以 AC⊥平面 B B1C1C. ?????????7 分 B B1 E C D A C1 A1

18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 f ?( x) ? 2ax ? b , 由图可知, f ?( x) ? 2 x ? 1, 分 --------------------------------2



? 2a ? 2 ? ?b ? 1





?a ? 1 ? ?b ? 1





















f ( x) ? x 2 ? x ? c .
( Ⅱ )

--------------------------------4 分

g ( x) ?

f ( x) x 2 ? x ? c c ? ? x ? ?1 x x x
.------62分





c g ?( x ? ? 2 ? ) x

2

? x ? ( ? 2 1 x

?c ) x

(x

c)

x

c

?当 0 ? x ? c 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? c 时, g ?( x) ? 0 ;
分 ∴当 x ? 1或 x ? 2 时, g (x) 取得最大值, 其中 g (1) ? c ? 2 , g (2) ? 当

----------------------8

c ? 3, 2 g ( x) m ?a g (2) ? x c ?3 2
; 当

0?c?2





c?2





g ( x) m ?a g (1x ? c ? 2 .----------------------14 分 )

20. (本题满分 14 分) 解: (1)g ( x)的定义域为 (0, ??),图象如右 : 3分 (2)由图知 0 ? x1 ? 1 ? x 2 ,? ln x1 ? 0, ln x 2 ? 0 ?????

? g ( x1 ) ? g ( x 2 )即 ln x1 ? ln x 2 ? ? ln x1 ? ln x 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ?
??7分

? x1 ? x 2 ? x1 ?


1 1 ? 2 x1 ? 即x1 ? x 2 ? 2; x1 x1

?????9


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