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二进制、十进制和十六进制及其相互转换的公式


计算机内部是以二进制形式表示数据和进行运算的; 计算机内的地址等信号常用 十六进制来表示,而人们日常又习惯用十进制来表示数据。这样要表示一个数据 就要选择一个适当的数字符号来规定其组合规律, 也就是要确定所选用的进位计 数制。各种进位制都有一个基本特征数,称为进位制的“基数”。基数表示了进 位制所具有的数字符号的个数及进位的规律。下面就以常用的十进制、二进制、 八进制和十六进制为

例,分别进行叙述。 一.常用的三种计数制 1.十进制(Decimal) 1.十进制(Decimal) 十进制 十进制的基数是 10,它有 10 个不同的数字符号,即 0、1、2、3、…、9。它的 计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。 处在不同位置的数字符号具有不同的 意义,或者说有着不同的“权”。所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的 倍数。例如,一个十进制数为 123.45=1×102 十 2×101 十 3×100 十 4×10-1 十 5×10-2 等号左边为并列表示法.等号右边为多项式表示法,显然这两种表示法表示的数 是等价的。 在右边多项式表示法中, 2、 4、 被称为系数项, 102、 1、 3、 5 而 101、 100、 10-1、 10-2 等被称为该位的“权”。 一般来说,任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下: N10=dn-1d n-2…d1d 0. d-1d-2…d-m 其中,下标 n 表示整数部分的位数,下标 m 表示小数部分的位数,d 是 0~9 中的 某一个数,即 di∈(0,1,…,9)。同样,任意一个十进制数 N 都可以用多项式 表示法表示如下: N10=dn-1×10n-1 十…十 d1×101 十 d 0×100 十 d-1×10-1 十…十 d-m×10-m

其中,m、n 为正整数,di 表示第 i 位的系数,10i 称为该位的权。所以某一位 数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。 2.二进制(Binary) 2.二进制(Binary) 二进制 二进制的基数是 2,它只有两个数字符号,即 0 和 1。计算规律是“逢二进 一”或“借一当二”。例如: (101.01)2=1×23 十 1×22十 0×21十 1×20十 0×2-1十 1×2-2

任何一个二进制数N都可以用其多项式来表示: N2 =dn-1×2n-1 十 dn-2×2n-2 十…十 d1×21 十 d 0×20 十 d-1×2-1 十 d-2×2-2 十…十 d-m×2-m 式中任何一位数值的大小都可以用该位的系数项 di 和权值 2i 的积来确定。 3.十六进制(Hexadecimal) 3.十六进制(Hexadecimal) 十六进制 十六进制的基数为 16,它有 16 个数字符号、即 0~9、A~F。其中 A、B、C、D、 E、F 分别代表十进制数的 10、11、12、13、14、15。各位之间“逢十六进一” 或者“借一当十六”。各位的权值为 16i。例如: (2C7.1F)16=2×162 十 12×161 十 7×160 十1×16-1 十 15×16-2 种计数制之间的相互转换 二.3 种计数制之间的相互转换 对于同一个数,可以采用不同的计数制来表示,其形式也不同。如: (11)10=(1011)2=(B)16 1. R 进制转换成十进制的方法 具体的方法是先将其并列形式的数写成其多项式表示形式,然后,经计算后就可 得到其十进制的结果。这种方法披称为按权展开法。对于一个任意的 R 进制数 N 都可以写成如下形式: N=dn-1 dn-2…d1 d0d -1d-2…d-m =dn-1×Rn-1 十…十 d1×R1 十 d 0×R0 十 d-1×R-1 十…十 d-m×R-m 其中,R 为进位基数,Ri 是对应位的权值,di 为系数项,特此式求和计算之后, 即可以完成 R 进制数对十进制数的转换。 例如,写出(1101.01)2、(10D)16 的十进制数。 (1101.01)2=1×23 十 1×22 十 0×21 十 1×20 十 0×2-1 十 0×2-2, =8 十 4 十 1 十 0.25 =13.25 (10D) 16=1×162 十 0×161 十 13×160=256+13=269 2. 十进制转换成二进触方法

十进制数转换成二进制数一般分为两个步骤, 即整数部分的转换和小数部分的转 换。 (1)整数部分的转换 取余法:这种方法是由于 D10=N2=dn-1×2n-1 十 dn-2×2n-2 十…d1×21 除 2 取余法 十 d0×20,所以具体方法是把给定的十进制整数除以 2,取其余数作为二进制整 数最低位的系数 do,然后继续将整数部分除以 2,所得余数作为二进制整数次低 位的系数 d1,一直重复下去,最后可以得到二进制整数部分。 例如,将(327)10 转换成二进制数。 327 除以 2= 163 …… …… …… …… …… …… …… …… 81 40 20 10 5 2 1 0 … … … … … … … … … 余数 1 1 1 0 0 0 1 0 1 各项系数 d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8

所以,(327)10=d8 d7 d6 d5 d4 d3 d2d1 d0=(101000111)2。 此方法可扩展为陈 R 取余法。如将 R 设为 16,则可将十进制整数转变为十六进 制整数。 减权定位法:因为 D10=N2=dn-1×2n-1 十 dn-2×2n-2 十…d1×21 十 d0×20, 减权定位法 所以二进制多项式中的每一项都有自己的权值。若该项系数值为 d i=0,则该 项值为 0,否则 d i 应为 1。根据这一对应关系,可提出减权定位的转换方法: 将十进制数依次从二进制高位权值进行比较:若够减则对应位 d i=1,减去该 位权值后再往下比较;若不够减则对应值 d i=0,越过该位与低一位的权值比 较,如此进行直到余数为 0 为止。 例如,将(327)10 转换成二进制数。因为 512(29)>327>256(28),所以从权 值 256 对应值开始比较。

减权比较 327-256=71 71<128 71-64=7 7<32 7<16 7<8 7-4=3 3-2=1 1-1=0 所以,(327)10=(101000111)2。 (2)小数部分的转换

di 1 0 1 0 0 0 1 1 1

位权 28 27 26 25 24 23 22 21 20

转换的方法是采用乘 2 取整数表示法。由于 D10=d-1×2-1 十 d-2×2-2 十…d-m×2-m,所以具体方法是把给定的十进制小数乘以 2,取其整数部分作 为二进制小数的小数点后的第一位系数;然后再将乘积的小数部分继续乘以 2, 取所得积的整数部分作为小数后的第二位系数;依次重复做下去,就可以得到二 进制小数部分。 例如,将(0.8125) 10。转换成二进制小数。 整数部分 2×0.8125=1.625 2×0.625=1.25 2×0.25=0.5 2×0.5=1.0 1 1 0 1 系数部分 d-1=1 d-2=1 d-3=0 d-4=1

所以,(0.8125)10=d0 d-1 d-2 d-3 d-4= (0.1101)2。 在计算中可以按照所需的小数点位数,取其结果位近似值。

此方法可以扩展为乘 R 取整法.如将 R 变为 16,则可将十进制小数部分直接变 为十六进制小数。 3.二进制与十六进制的转换 (1)二进制转换成十六进制 4 位二进制数的所有组合可表示十六进制数的 16 个代码,它们之间的对应 关系如下: 二进制: 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 十六进制: 0 1 2 3 4 5 6 7

二进制: 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 十六进制: 8 9 A B C D E F

进制转换的具体方法:从小数点开始,分别向左、向右,每 4 位二进制数为 一组用十六进制数值来书写。若小数点左侧位数不是 4 的倍数,则最左侧用 0 补充;若小数点右侧位数不是 4 的倍数,则最右侧用 0 补充。 例如,(110110111.01101)2=(0001 1011 0111.0110 1000) 2=(1B7.68) 16。 (2)十六进制转换成二进制 具体的转换方法是:将每个十六进制数用 4 位二进制数来书写,转化后最左 侧或者最右侧的 0 在书写的时候可以省去。例如: (7AC.DE) 16=(111 1010 1100.1101 111)2 例 1:把(5/16) 10 转换成二进制数。 解:5/16=5×2-4=(101) 2×(0.0001) 2=(0.0101) 2 小数点向左移 4 位等于乘以 2-4。 例 2:把(19.125) 10 转换成二进制数、十六进制数。 解:首先把整数部分(19) 10 转换成二进制数: (19) 10=16 十 2 十 1=24 十 21 十 20=(10011) 2 再把小数部分(0.125) 10 转换成二进制数:

0.125×2=0.25 0.25×2=0.5 0.5× 2=1

0 0 1

所以,(0.125) 10=(0.001) 2。 把整数与小数部分合起来结果为 (19.125) 10=(10011.001) 2=(13.2) 16


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