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第一章解三角形单元测试(人教A版必修5)


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第一章解三角形单元测评
一、选择题 sin A ? sin B ? sin C , 1. 在 ?ABC 中,有两个命题: 甲: 乙:A ? B ? C 。 则乙是甲的 ( A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 C .充要条件 思路解析:由正弦定理得

A ? B ? C ? a ? b ? c ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? 2 R sin C ? sin A ? sin B ? sin C (其中 2 R 是 ?ABC 的外接圆直径) ,选 C 。 答案:选 C 。


a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 ,则 ?ABC 2 .在 ?ABC 中 , a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,若 2ab
( )

B .一定是直角三角形 D .是锐角或钝角三角形 思路解析:由已知及余弦定理得 cos C ? 0 , C 是钝角,故选 C 。 答案:选 C 。
3.在 ?ABC 中, a ? b ? 10c ? 2(sin A ? sin B ? 10sin C ) , A ? 60 ,则 a ? ( )

A .一定是锐角三角形 C .一定是钝角三角形

A. 3

B .2 3
D .不确定

C .4
思路解析:由已知及正弦定理得 答案:选 A 。

a ? 2 , a ? 2sin A ? 2sin 60 ? 3 ,选 A 。 sin A

a b c ? ? ,则 ?ABC 的形状一定是( ) cos A cos B cos C A .钝角三角形 B .直角三角形 D .等边三角形 C .等腰直角三角形 sin A sin B sin C ? ? , tan A ? tan B ? tan C , 思路解析:由已知及正弦定理得 cos A cos B cos C A ? B ? C ,故 ?ABC 是等边三角形。 答案:选 D 。
4.在 ?ABC 中,若 5.在锐角 ?ABC 中, b ? 1, c ? 2 ,则 a 的取值范围是( )

A . ?1,3?

C.

?

3, 5

?

? ? D . ?1, 5 ?
B . 1, 3

2 2 2 ? ?a ? b ? c 思路解析:由已知及余弦定理得 ? 2 ,由此解得 2 2 ? ?b ? c ? a

3?a? 5。

答案:选 C 。 6.海上有 A, B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视角,从 B 岛望 C 岛
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)

和 A 岛成 75° 视角,则 B, C 间的距离是(

A . 10 3 海里

B.

10 6 海里 3

C . 5 2 海里

D .5 6

思路解析:由题意画出示意图:

C ? 180 ? 60 ? 75 ? 45 , AB ? 10 ,?

10 BC ? , BC ? 5 6 。故选 D 。 sin 45 sin 60

7.在 ?ABC 中, a ? 2b cos C ,则 ?ABC 的形状一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 D .等腰或直角三角形 C .等腰直角三角形 思路解析:由已知及正弦定理得

sin A?

2 sB in

c C os , sin ? B ? C ? ? 2sin B cos C ,

sin B cos C ? cos B sin C ? 2sin B cos C , sin ? B ? C ? ? 0 ,又 ?? ? B ? C ? ? ,

B ? C ? 0, B ? C 。
答案:选 A 。

二、填空题
8.已知平面上有四点 O, A, B, C ,满足 OA ? OB ? OC ? 0, OA OB ? OB OC

? OC OA ? ?1 ,则 ?ABC 的周长是



思路解析:由已知得 O 是三角形 ?ABC 的外心, OA ? OB ? OC , 又 OA OB ? OB OC ? OC OA ? ?1 ,故 ?AOB ? ?BOC ? ?COA ?

2? , 3
弦 定 理 得

OA ? OB ? OC ? 2





?A

O 中 B







AB 2 ? OA2 ? OB 2 ? 2OA OB cos
答案: 9 。

2? ? 9, AB ? 3 ,故 ?ABC 的周长是 9 。 3


9.已知 ?ABC 的外接圆的半径为 2 , A ? 60 ,则 BC ? 思路解析:由正弦定理容易知道 答案: 2 3 。
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BC ? 2 R ,BC ? 2 R s iA n? s i nA

4 sin ? 6 0 。2 3

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10.一个三角形两条边长分别为 3 cm、5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根, 则此三角形的面积是____________。 思路解析:由 5x2-7x-6=0,得 x1=- ∴cosθ=- ∴S=

3 ,x2=2(舍去) , 5

3 4 ,sinθ= . 5 5

1 4 × 3× 5× =6(cm2). 2 5 2 答案:6 cm
11. sin 10 ? sin 50 ? sin10 sin 50 ?
2 2



思路解析:本题可以考虑将正、余弦定理结合所得到的结论:在 ?ABC 中,

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 2sin B sin C cos A ,而 sin 2 10 ? sin 2 50 ? sin10 sin 50 ?

? 1? sin 2 10 ? sin 2 50 ? 2sin10 sin 50 ? ? ? ? ? sin 2 10 ? sin 2 50 ? 2sin10 sin 50 ? cos120 ? 2?
? sin 2 120 ? 3 。 4 三、解答题
答案: 12.在 ?ABC 中,已知 a ? 7, b ? 3, c ? 5 ,求其最大内角和 sin C 。 思路解析:本题首先应确定最大角,由大边对大角知, A 最大,从而利用余弦定理求得最 大内角的余弦,进而确定其大小,再由余弦定理先求出 C 的余弦,从而求得其正弦。 解:由已知得, a ? c ? b ,所以内角 A 最大,由余弦定理得, cos A ?

3 。 4

b2 ? c 2 ? a 2 1 ?? , 2bc 2 9 7


A ? 120




2

a2 ? ? b24 ? ? 9 c 2 c C? o s? ? 2ab ? ? 2

2 3

5

1

5 3 ? 11 ? ? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ? ? ? 。 14 ? 14 ?
13 . 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 ?A, ?B, ?C 的 对 边 长 , S 为 ?ABC 的 面 积 , 且

?? B ? 4sin B sin 2 ? ? ? ? cos 2 B ? 1 ? 3 。 ?4 2?
(1)求角 B 的度数; (2)若 a ? 4, S ? 5 3 ,求 b 的值。 思路解析:本题首先就将已知三角式化简,从而将 B 确定;再由面积公式从而求得 c ,进而
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由余弦定理求得 b 。

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?? ?? ? B ?? ? ?1 ? 2sin 2 B ? ? 1 ? 3 , 即 ?2 ??
3 0 ? B ? 180 , ? B ? 60 或 1 ,又 3 2

解 : ( 1 ) 由 已 知 得 2sin B ?1 ? cos ?

? ?

2 sB i ? n?
120 ;
(1) 当 当

1B ?i n ? ? s

2

, 1 B ?2 s ? isin nB ?

由S ?

1 ac sin B ? 5 3 得, c ? 5 , 2

B ? 60 时, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 21 ; B ? 120 时, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 61 ,

综上, b ?

21或 61 。

14.如下图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32° 的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多远?(角度精确到 0.1° ,距离精确到 0.01 n mile)
C 北
o 西东 7 5 南 A

3 2 B

o

思路解析:本题是一个实际生活的数学应用问题,主要要先分清楚各角的位置,从而利用已 知条件,求得相关的量。 解:在△ABC 中,∠ABC=180° -75° +32° =137° ,根据余弦定理, AC= AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC = 67.5 2 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos137? ≈113.15, 根据正弦定理,

BC AC = , sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC 54.0 sin137? = ≈0.3255, AC 113.15 所以∠CAB=19.0° ,75° -∠CAB=56.0° . 答:此船应该沿北偏东 56.0° 的方向航行,需要航行 113.15 n mile.
sin∠CAB=

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