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2.2.1 对数与对数运算 第1课时 教案(人教A版必修1)


2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 整体设计 教学分析 我们在前面的学习过程中 ,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础 ,从本节开 始我们学习对数及其运算 .使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质 ,了 解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数 ,通过阅读材料 ,了 解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质 和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系 一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ,教材安排了 “阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特 点,教学中要注意发挥信息技术的力量 ,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用 , 尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系 ;理解和掌握对数的性质 ;掌握对数式与指数式的 关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的 技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、 综合解决问题的能力;培养学生数学应 用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质;让学生经历并推理出对数的运算性质;让学 生归纳整理本节所学的知识. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则 的学习,培养学生的严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数 运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点 教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 对数与对数运算(1) 导入新课 思路 1.1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? 2.假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 总值是 2002 年的 2 倍? 抽象出:1.(

2.(1+8%)x=2 ? x=? 都是已知底数和幂的值 ,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的 式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数 〔引出对数的概念,教师板 书课题:对数与对数运算(1)〕. 思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还 不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数 〔引出对数的概念,教师 板书课题:对数与对数运算(1)〕.

1 4 1 ) =?( )x=0.125 ? x=? 2 2

推进新课 新知探究 提出问题 (对于课本 P572.1.2 的例 8) ①利用计算机作出函数 y=13× 1.01x 的图象. ②从图象上看,哪一年的人口数要达到 18 亿、20 亿、30 亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解? 即

18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,x 分别等于多少? 13 13 13

④你能否给出一个一般性的结论? 活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨. 对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点. 对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数 的某些点的坐标. 对问题③,定义一种新的运算. 对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果:①如图 2-2-1-1.

图 2-2-1-1 ②在所作的图象上,取点 P,测出点 P 的坐标,移动点 P,使其纵坐标分别接近 18,20,30,观察这时 的横坐标,大约分别为 32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为 1 个百分点,那么大约 经过 33 年,43 年,84 年,我国人口分别约为 18 亿,20 亿,30 亿.

18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,要求 x 分别等于多少,目前我们没学这种 13 13 13 18 18 运算,可以定义一种新运算,即若 =1.01x,则 x 称作以 1.01 为底的 的对数.其他的可类似得 13 13
③ 到,这种运算叫做对数运算. ④一般性的结论就是对数的定义: 一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于 N,就是 ax=N,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm), 记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的 x 就可表示了: x=log1.01

18 20 30 ,x=log1.01 ,x=log1.01 . 13 13 13
a N 幂 真数
1

由此得到对数和指数幂之间的关系: b 指数 对数 指数式 a =N 对数式 logaN=b
b

底数 对数的底数

例如:42=16 ? 2=log416;102=100 ? 2=log10100;4 2 =2 ?

1 =log42;10-2=0.01 ? -2=log100.01 2

提出问题 ①为什么在对数定义中规定 a>0,a≠1? ②根据对数定义求 loga1 和 logaa(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④a
loga N

=N 与 logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?

讨论结果:①这是因为若 a<0,则 N 为某些值时,b 不存在,如 log(-2)

1 ; 2

若 a=0,N 不为 0 时,b 不存在,如 log03,N 为 0 时,b 可为任意正数,是不唯一的,即 log00 有无数个 值; 若 a=1,N 不为 1 时,b 不存在,如 log12,N 为 1 时,b 可为任意数,是不唯一的,即 log11 有无数个值. 综之,就规定了 a>0 且 a≠1. ②loga1=0,logaa=1. 因为对任意 a>0 且 a≠1,都有 a0=1,所以 loga1=0. 同样易知:logaa=1. 即 1 的对数等于 0,底的对数等于 1. ③因为底数 a>0 且 a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的 b∈R,ab>0 恒成立,即只有正数才 有对数,零和负数没有对数. ④因为 ab=N,所以 b=logaN,ab=a a
loga N

=N,即 a a

loga N

=N. =N 叫对数恒等式)

因为 ab=ab,所以 logaab=b.故两个式子都成立.(a a

loga N

思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数 对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动:同学们阅读课本 P68 的内容,教师引导,板书. 解答: ①常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数 log10N 简记作 lgN. 例如:log105 简记作 lg5;log103.5 简记作 lg3.5. ②自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.718 28……为底的对数,以 e 为底的对数叫 自然对数,为了简便,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN. 例如:loge3 简记作 ln3;loge10 简记作 ln10. 应用示例 思路 1 例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式: (1)54=625;(2)2-6=

1 1 ;(3)( )m=5.73; 64 3

(4)log 1 16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
2

活动: 学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问 题. 对(1)根据指数式与对数式的关系,4 在指数位置上,4 是以 5 为底 625 的对数. 对(2)根据指数式与对数式的关系,-6 在指数位置上,-6 是以 2 为底

1 的对数. 64

对(3)根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以 对(4)根据指数式与对数式的关系,16 在真数位置上,16 是

1 为底 5.73 的对数. 3

1 的-4 次幂. 2

对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01 在真数位置上,0.01 是 10 的-2 次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10 在真数位置上,10 是 e 的 2.303 次幂. 解: (1)log5625=4;(2)log2

1 =-6;(3)log 1 5.73=m; 64 3

(4)(

1 -4 ) =16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 2

思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题? 活动:学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的 关系,特别是位置的对照. 解答:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式, 则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清 N 与 b 在指数式与对数式中的位置,千万 不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练 课本 P64 练习 1、2. 例 2 求下列各式中 x 的值: (1)log64x= ?

2 ;(2)logx8=6; 3

(3)lg100=x;(4)-lne2=x. 活动: 学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与 对数式的关系,转化为指数式求解. 解: (1)因为 log64x=? 6?( ? ) 2 1 3 ,所以 x=64 3 =(2) =2-4= . 3 16 2 2

(2)因为 logx8=6,所以 x6=8=23=( 2 )6.因为 x>0,因此 x= 2 . (3)因为 lg100=x,所以 10x=100=102.因此 x=2. (4)因为-lne2=x,所以 lne2=-x,e-x=e2.因此 x=-2. 点评:本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练 求下列各式中的 x: ①log4x=

1 3 ;②logx27= ;③log5(log10x)=1. 2 4
1

1 解:①由 log4x= ,得 x=4 2 =2; 2 3 ②由 logx27= ,得 x 4 =27,所以 x=27 3 =81; 4
③由 log5(log10x)=1,得 log10x=5,即 x=105.
3 4

点评: 在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先 将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果. 思路 2 例 1 以下四个命题中,属于真命题的是( ) (1)若 log5x=3,则 x=15 (2)若 log25x= 若 log5x=-3,则 x=

1 ,则 x=5 (3)若 logx 5 =0,则 x= 5 2

(4)

1 125
D.(3) (4)

A.(2) (3) B.(1) (3) C.(2) (4) 活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于(1)因为 log5x=3,所以 x=53=125,错误; 对于(2)因为 log25x=

1 ,所以 x=25 2 =5,正确; 2

1

对于(3)因为 logx 5 =0,所以 x0= 5 ,无解,错误; 对于(4)因为 log5x=-3,所以 x=5-3=

1 ,正确. 125

总之(2) (4)正确. 答案:C 点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2 对于 a>0,a≠1,下列结论正确的是( ) (1)若 M=N,则 logaM=logaN (2)若 logaM=logaN,则 M=N (3)若 logaM2=logaN2,则 M=N (4)若 M=N,则 logaM2=logaN2 A.(1) (3) B.(2) (4) C.(2) D.(1) (2) (4) 活动:学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定. 对(1)若 M=N,当 M 为 0 或负数时 logaM≠logaN,因此错误; 对(2)根据对数的定义,若 logaM=logaN,则 M=N,正确; 对(3)若 logaM2=logaN2,则 M=± N,因此错误; 2 对(4)若 M=N=0 时,则 logaM 与 logaN2 都不存在,因此错误. 综上,(2)正确. 答案:C 点评:0 和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例 3 计算: (1)log927;(2)log 4 3 81;(3)log ( 2 ?
3)

(2-3);(4)log 3

54

625.

活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时 评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式 或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.

解法一:(1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x= (2)设 x=log 4 3 81,则( 3 ) =81,3 =34,所以 x=16;
4
x
x 4

3 ; 2

(3)令 x=log ( 2 ?

3)

(2- 3 )=log ( 2 ?

3)

(2+ 3 )-1,

所以(2+ 3 )x=(2+ 3 )-1,x=-1;
4

(4)令 x=log 3

54

625,所以( 3 54 )x=625,5 3 x=54,x=3.
3
3 2

解法二:(1)log927=log93 =log99 = (2)log 4 3 81=log 4 3 ( 4 3 )16=16; (3)log ( 2 ? (4)log 3
54
3)

3 ; 2

(2- 3 )=log ( 2 ?
54

3)

(2+ 3 )-1=-1;

625=log 3

( 3 54 )3=3.

点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和 对数恒等式的依据. 变式训练 课本 P64 练习 3、4. 知能训练 1.把下列各题的指数式写成对数式: (1)42=16;(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=

1 1 ;(7)( )-2=16. 9 4

解:(1)2=log416;(2)0=log31;(3)x=log42;(4)x=log20.5;(5)4=log5625; (6)-2=log3

1 ;(7)-2=log 1 16. 9 4

2.把下列各题的对数式写成指数式: (1)x=log527;(2)x=log87;(3)x=log43;(4)x=log7 (5)log216=4;(6)log 1 27=-3;(7)log
3

1 ; 3

3x

=6;(8)logx64=-6;

(9)log2128=7;(10)log327=a. 解:(1)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x= =x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27. 3.求下列各式中 x 的值: (1)log8x= ?

1 1 ;(5)24=16;(6)( )-3=27;(7)( 3 )6 3 3

2 3 ;(2)logx27= ;(3)log2(log5x)=1;(4)log3(lgx)=0. 4 3

? ? 3?( ? ) 2 1 解:(1)因为 log8x= ? ,所以 x=8 3 =(23) 3 = 2 3 =2-2= ; 4 3

2

2

2

(2)因为 logx27=

3 ,所以 x 4 =27=33,即 x=(33) 3 =34=81; 4

3

4

(3)因为 log2(log5x)=1,所以 log5x=2,x=52=25; (4)因为 log3(lgx)=0,所以 lgx=1,即 x=101=10. 4.(1)求 log84 的值; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值. 解:(1)设 log84=x,根据对数的定义有 8x=4,即 23x=22,所以 x=

2 2 ,即 log84= ; 3 3

(2)因为 loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有 am=2,an=3, 所以 a2m+n=(am)2· an=(2)2· 3=4× 3=12. 点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升 请你阅读课本 75 页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于 对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结 (1)对数引入的必要性; (2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数; (4)负数与零没有对数; (5) 对数恒等式;(6)两种特殊的对数. 作业 课本 P74 习题 2.2A 组 1、2. 【补充作业】 1.将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值. (1)5
? 1 2

=

1 5

;(2)log24=x;(3)3x=

1 ; 27

(4)(

1 x ) =64;(5)lg0.000 1=x;(6)lne5=x. 4
? 1 2

解: (1)5

=

1 5

化为对数式是 log5

1 5

=?
x

1 ; 2 x =2,x=4; 2

(2)x=log (3)3x= (4)(

4 化为指数式是( 2 )x=4,即 2 2 =22, 2

1 1 1 化为对数式是 x=log3 ,因为 3x=( )3=3-3,所以 x=-3; 27 27 3

1 x 1 ) =64 化为对数式是 x=log 1 64,因为( )x=64=43,所以 x=-3; 4 4 4

(5)lg0.0001=x 化为指数式是 10x=0.0001,因为 10x=0.000 1=10-4,所以 x=-4; (6)lne5=x 化为指数式是 ex=e5,因为 ex=e5,所以 x=5.

2.计算 3

log

3

5

? 3

log3

1 5 的值.
1 1

解:设 x=log3

1 1 1 ,则 3x= ,(3 2 )x=( ) 2 ,所以 x=log 5 5 5

1
3

5
=

.

所以 3 3

log3 5

? 3

log3

1 5

= 5? 3

log 3

1 5

= 5?

1

6 5 . 5 5

3.计算 a 解: a

loga b?logb c?logc N

(a>0,b>0,c>0,N>0).
logb c?logc N

loga b?logb c?logc N

=b

=c

log c N

=N.

设计感想 本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上 ,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学 生感受到对数的现实背景 ,它有着丰富的内涵 ,和我们的实际生活联系密切 ,也是以后学习对 数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗 易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化 对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆 ,多运用信息化的教学手段 ,顺利完成本 堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者:路致芳)


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