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海南省琼海市2013届高三数学4月高考模拟测试试题 理


琼海市 2013 年高考模拟测试 理 科 数 学 试 题
(时间:120 分钟 满分:150 分)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号在答题卡上填涂。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
x 1. 如果集合 M ? x | 2 ? 8 ,那么

?

?

A. ?1 ? M 2.若复数 z ? 2i ?

B.

??1? ? M

C. 4 ? M

D.

??1? ? M

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为 1? i
B.

A.

2 2

2

C.

3

D. 2

3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是 BC1 , CD1 的中点,则下列判断错误 的是 .. A. MN 与 CC 1 垂直 C. MN 与 BD 平行 B. MN 与 AC 垂直 D. MN 与 A1B1 平行

4.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是
4 4

A. D.

3? 2

? 2

B.

?

C.

? 4

5. 左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩 叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记

1



?

?

-1-

为 A1 , A2 ,

, A14 . 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图 .那么算

法 流程图输出的结果是 7 8 9 10 11 9 6 3 3 4

3 8 9 8 8 1

4 1 5

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

6. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形,则此几 何体的体积是 20 A. π 3 10 C. π 3 7.给出以下命题: (1)“ a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ?
2

2 1 4
侧(左)视图 正(主)视图

B. 6 π D.

16 π 3
俯视图

(第 6 题图)

(2)若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题;

a x ? 1 垂直”的充分不必要条件; 4

(3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 (4)根据一组样本数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

S3 ? 3; a1

,( xn , yn ) 的散点图分析存在线性相关关系,求得

其回归方程 y ? 0.85x ? 85.7 ,则在样本点 (165,57) 处的残差为 2.45 . 其中是真命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承担 一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 A. 60 种 B. 72 种 C. 84 种 D. 96 种 9.已知 OA ? 1, OB ? k, ? AOB?

2? , 点 C 在 ?AOB 内 , OC ? OA ? 0 , 3 若 OC ? 2mOA ? mOB(m ? 0) ,则 k ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 函数 f ( x) ?

? A (? ? 0, ? ? ) 的 2 sin(? x ? ? )
-2-

部分图象如图所示,则 f (? ) ? A. 4 B. 2 3 C. 2 D. 3

11. 已 知 抛 物 线 C : y ? ax (a ? 0) 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为
2

1 , 且 C 上的两点 4

1 A? x1 , y1 ?, B? x 2 , y 2 ? 关于直线 y ? x ? m 对称, 并且 x1 x 2 ? ? , 那么 m = 2 3 5 A. B. C. 2 D. 3 2 2
x ? ?2 ? 1( x ? 0) 12.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的零点按从小到大的顺 ? ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ?

序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 = A.15 B.22 C.45 D. 55

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡的相应位置上。 ) 13.已知 a ?

?

e

1

1 1 dx ,则 ( x ? ) 6 展开式中的常数项为_________。 x ax

14. 已知双曲线 C 的中心在原点, 焦点在坐标轴上,P(1,?2) 是 C 上的点, 且y ? 一条渐近线,则双曲线 C 的方程为_________。 15. 已知平面区域 Ω = ?( x, y) ?

2x 是 C 的

? ? ? ?

?y ? 0 ?

? ? 直线 l : y ? mx ? 2m 和曲线 C : y ? 4 ? x 2 有 ?, 2 ? ? ?y ? 4 ? x ?

两个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围成的平面区域为 M ,向区域 Ω 内随机投一点 A,点

A 落在区域 M 内 的概率 为 P( M ) , 若 P ( M ) ? [
_________。

? ?2 , 1] ,则实 数 m 的取值 范围 是 2?

16.已知 Δ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a = 1, 2cosC + c = 2b,则 Δ ABC 的周长的取值范围是__________。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 满足 S n ? n 2 a n ? n 2 ( n ? 1) , 且 a1 ?

1 . 2

-3-

(Ⅰ) 令 bn ?

n ?1 S n , 证明: bn ? bn ?1 ? n(n ? 2) ; n

(Ⅱ) 求 ?a n ?的通项公式.

18. (本小题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的 同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图中的信息, 回答下列问题.

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,抽到的学生 成绩 在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧棱与底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M 是 BC 中点。 (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AMC1; (Ⅱ)求直线 CC1 与平面 AMC1 所成角的正弦值; (Ⅲ)试问:在棱 A1B1 上是否存在点 N,使 AN 与 MC1 成角 60°?若存在,确定点 N 的位 置;若不存在,请说明理由。

-4-

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 的 2 2 a b

直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,且△ MNF2 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求出这个定值.

21. (本小题满分 12 分)

a , a 为正常数. x ?1 9 (Ⅰ)若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x ) 的单调增区间; 2
已知函数 ? ( x ) ? (Ⅱ) 若 g ( x) ?| ln x | ?? ( x) , 且对任意 x1 , x2 ? (0, 2] ,x1 ? x2 , 都有 求 a 的取值范围.

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 , x2 ? x1

四、选做题(本小题满分 10 分.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题记分.作答时,在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图△ ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90 ,以 AB 为直径的 圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于点 M , 连接 DE 、 OE . (Ⅰ)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (Ⅱ)设 AB ? 4 , AC ? 6 ,求 DE 的长.
-5-

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 设圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ,以极点为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴,两坐标 系长度单位一致,建立平面直角坐标系.过圆 C 上的一点 M (m, s)作垂直于 x 轴的直线

l : x ? m,设 l 与 x 轴交于点 N ,向量 OQ ? OM ? ON .
(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 R(1, 0) ,求 RQ 的最小值.

24.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 xf ( x) ? 3 ? 0 ; (Ⅱ)对于任意的 x ? (?3,3) ,不等式 f ( x) ? m ? x 恒成立,求 m 的取值范围.

琼海市 2013 年高考模拟测试 数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 A 11 A 12 C

二、填空题: 13.

? 20

14.

y2 ? x2 ? 1 2

15.

?0,1?
2

16.

?2,3?

三、解答题: 17. 解: (1) S n ? n an ? n (n ? 1) ? n (S n ? S n?1 ) ? n (n ? 1)
2 2 2

(n ? 2)

?

n n ?1 S n ?1 ? Sn ? n n ?1 n

bn ? bn?1 ? n(n ? 2) ????????? 6 分

-6-

(Ⅱ) b1 ? 1 , bn ? bn ?1 ? n , bn ?1 ? bn ? 2 ? n ? 1 , ? , b2 ? b1 ? 2 累加得

bn ?

n2 ? n 2

???????????????

10 分

? Sn ?

n2 2n ? 1 , a n ? S n ? S n ?1 ? ?n ? 2? ???????? 2 2
1 2n ? 1 2n ? 1 符合 a n ? ,? a n ? 2 2 2
?????

11 分

经检验 a1 ?

12 分

18. 解: (Ⅰ)设分数在 ? 70,80 ? 内的频率为 x,根据频率分布直方图,
0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ? 10 ? x ? 1 ,可得 x=0.3. 则有 (0.01+

所以频率分布直方图如图所示:

?????4 分

? 71. ??6 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? ? 95 0.05 (Ⅱ)平均 分为: x ? 45 ? 0.1? 55? 0.15

分 (Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有 0.4×60=24 人,在[70,100]的有 0.6×60=36 人, 且 X 的可能取值是 0,1,2. 则 P( X ? 0) ?
2 C1 C1 144 C 2 105 21 C24 46 ? ? , P( X ? 1) ? 24 2 36 ? , P( X ? 2) ? 36 = . 2 2 C60 295 C60 295 C60 295 59

所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

46 295

144 295

21 59

所以 EX=0×

46 144 105 354 6 +1× +2× = = . 295 295 295 295 5

?????12 分

19. 解: (Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于 O ,连接 OM . 在三角形 A1 BC 中, OM 是三角形 A1 BC 的中位线, 所以 OM ∥ A1 B ,

-7-

又因 OM ? 平面 AMC1 , A1B ? 平面 AMC1 所以 OM ∥平面 AMC1 . ?????4 分 (Ⅱ) (法一)设直线 CC1 与平面 AMC1 所成角为 ? ,
C 点到平面 AMC1 的距离为 h

,不妨设 AA1 ? 1 ,则 AB =BC ? 2 ,

1 因为 VC1 ? AMC ? S 3
所以 VC1 ? AMC ?

AMC

1 2 ? CC1 , VC1 ? AMC ? ? 2 ? 1 ? , 3 3
AMC1

2 1 ? VC ? AMC1 ? S 3 3

?h .
A1

?????5 分 z B1 C1

因为 AM ? 5, AC1 ? 3, MC1 ? 2 ,
2 5 5 ? 所以 cos ?C1 AM ? , sin ?C1 AM ? . 5 5 2 ? 3? 5 S ? 1 3 5 2 5 ? 3 ? 5 sin ?C1 AM ? ? ?3. 2 2 5

5?3?2

x y A B ?????8 分 M C

AMC1

2 1 2 2 ? S AMC1 ? h ? h , h ? , sin ? ? . 3 3 3 3 (法二)如图以 BC 所在的直线为 x 轴, 以 BA 所在 VC1 ? AMC ?

的直线为 y 轴, 以 BB1 所在的直线为 z 轴,以 BB1 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. 则 B(0,0,0) , C (2,0,0) , A(0, 2,0) , M (1,0,0) ,C1 (2,0,1) , B1 (0,1,0) , A1 (0, 2,1) .设直线 CC1 与平面
AMC1 所 成 角 为 ?

, 平 面

A M1 C 的 法 向 量 为 n ? (x , y , z . )则 有

CC1 ? ( 0 , , 0 AM , ?1 (1,) ?2,0) , C1M ? (?1,0, ?1) ,

? ?n C1M ? 0, ? x ? 2 y ? 0, ?? 令 x ? 2 ,得 n ? (2,1, ?2) , ? ? ?n AM ? 0, ?? x ? z ? 0.
∴ sin ? ? cos ? n, CC1 ? ?
?2 2 ? . 3 3

?????8 分

(Ⅲ)假设直线 A1 B1 上存在点 N ,使 AN 与 MC1 成角为 60 . 设 N (0, b,1) ,则 AN ? (0, b ? 2,1) , MC1 ? (1,0,1) . A1
cos 60? ? 1 (b ? 2) ? 1 1 ? 1
2 2 2

z N B1 xx A B M C
-8-

C1

?

1 2 (b ? 2)2 ? 1

?

1 , 2

y

, ? 2 (b ? 2)2 ? 1 ? 2 ? b ? 1 或 b ? 3 (舍去) 故 N (0,1,1) . 所 以 在 棱 A1 B1 上 存 在 棱 A1 B1 的 中 点 N , 使 AN 与 MC1 成 角
60 . ········ 12 分 20 解: (I)由题意知, 4a ? 8 ,所以 a ? 2 .

因为 e ?

1 2

b2 a 2 ? c 2 3 ? 1 ? e2 ? , 所以 2 ? 2 a a 4
所以 b ? 3 .
2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

·············4 分

(II)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A( x0 , x0 ) , B( x0 , ? x0 ) . 又 A , B 两点在椭圆 C 上,

x0 2 x0 2 12 ? ? 1 , x0 2 ? . 所以 7 4 3
所以点 O 到直线 AB 的距离 d ?

12 2 21 . ? 7 7

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? ? 1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .
由已知 ? ? 0 .得: 3 ? 4k
2

? m2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .则: y1 所以 x1 ? x2 ? ?

? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m

8km 4m 2 ? 12 x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 所以 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 .
-9-

即 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 . 所以 (k ? 1)
2

4m2 ? 12 8k 2 m2 ? ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ,满足 ? ? 0 成立. 所以点 O 到直线 AB 的距离

d?

| m| k 2 ?1


?

12 2 21 为定值. ? 7 7
( Ⅰ )

·············12 分

21





f '( x) ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2



( x ? 0) ......................................2 分


a?

9 2





f ' x ?(

) ,

0 得

x?2





x?


1 ,.......................................................3 分 2
函 数

f ( x)















1 (0, ) 2



(2, ??) . .................................................4 分
(Ⅱ)∵ ∴

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,∴ ?1 ? 0 , x2 ? x1 x2 ? x1

g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ? 0 , ............................................. x2 ? x1
.........................5 分 设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x) 在 ? 0, 2? 上是减函数. h '( x) ? 0
0 1 .当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ?1, x ?1 x ( x ? 1)2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? 设 m( x ) ? x ? 3 x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 1 ∵ 1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x
- 10 -

∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数, 则当 x ? 2 时,m( x) 有最大值为 分 2 .当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?
0

27 27 , ∴a ? . .......9 2 2

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ? ?1 , x ?1 x ( x ? 1)2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? 设 t ( x) ? x ? x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , x x

1 1 ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 ,∴ t ( x) 在 (0,1) 上是增函数, x x
0 0

∴ t ( x) ? t (1) ? 0 ,∴ a ? 0 ,综合 1 ,2 ,又∵ h( x) 在 ? 0, 2? 上是图形连续不断的 ∴a ?

27 ...................................................12 分 2

23、解: (1)由已知得 N 是坐标(m,0)设 Q ( x, y )

x ? ? x ? 2m ? m ? OQ ? OM ? ON ? ? ?? 2 ?y ? s ? ?s ? y 2 2 点 M 在圆 P=2 上 由 P=2 得 m ? s ? 4 x2 ? y2 ? 4 ∴ 4 x2 y 2 ? ? 1 ??????????????????5 分 Q 是轨迹方程为 16 4 ? x ? 4cos ? (Ⅱ)Q 点的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? 1 11 RQ ? (4cos ? ? 1)2 ? 4sin 2 ? ? 12cos 2 ? ? 8cos ? ? 5 ? 12(cos ? ? ) 2 ? 3 3

?

11 33 ? 3 3

RQ 的最小值为

33 ????????????12 分 3

24、解: (I)

x x ?2 ?3 ? 0

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 或? ?? ? x ? (2 ? x) ? 3 ? 0 ? x( x ? 2) ? 3 ? 0 ?1 ? x ? 2 解得 或 x?2 ∴不等式解为 (-1,+ ? )????????????5 分
(II) f ( x) ? m ? x ? f ( x) ? x ? m

x?2 ? x ? m
设 g ( x) ? x ? 2 ? x 则

(?3 ? x ? 3)

- 11 -

?2 ? 2 x ? g ( x) ? ?2 ?2 x ? 2 ?

?3 ? x ? 0 0? x?2 2? x?3
2 ? g ( x) ? 8 2 ? g ( x) ? 4 2 ? g ( x) ? 8

在(-3,0]上 g ( x) 在(2,3)上 g ( x) ∴在(-3,3)上 故m ?8 时

不等式 f ( x) ? m ? x 在(-3,3)上恒成立??????10 分

- 12 -


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