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【课堂新坐标】2017届高三理科数学(通用版)二轮复习限时集训:3.1古典概型与几何概型.doc


专题限时集训(六)

古典概型与几何概型

[建议 A、B 组各用时:45 分钟] [A 组 高考达标] 一、选择题 1.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个 字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( 8 A. 15 1 C. 15 C 1 B. 8 1 D. 30 )

[∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),

(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)}, ∴事件总数有 15 种. 1 ∵正确的开机密码只有 1 种,∴P= .] 15 2.(2016· 福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,4,5 的 5 名火炬 手.若从中任选 2 人,则选出的火炬手的编号相连的概率为( 3 A. 10 7 C. 10 D 5 B. 8 2 D. 5 )

[由题意得从 5 人中选出 2 人, 有 10 种不同的选法, 其中满足 2 人编号相连的有(1,2),

4 2 (2,3),(3,4),(4,5),共 4 种不同的选法,所以所求概率为 = ,故选 D.] 10 5 1 3.(2016· 大连双基检测)在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“sin x≤ ”发生的概率 2 为( ) 3 A. 4 1 C. 2 D 2 B. 3 1 D. 3 π? ?5π ? 1 [由正弦函数的图象与性质知,当 x∈? ?0,6?∪? 6 ,π?时,sin x≤2,所以所求概率为

?π-0?+?π-5π? 6? 1 ?6 ? ?
π

= ,故选 D.] 3

4.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少分

一名义工,则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( 1 A. 6 10 C. 27 B 5 B. 6 17 D. 27

)

[依题意得,甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动,每个社区至少分一名

2 义工的方法数是 C2 A3 A3 4· 3,其中甲、乙两人被分到同一社区的方法数是 C2· 3,因此甲、乙两 3 C2 A3 5 2· 人被分到不同社区的概率等于 1- 2 3= .] C4· A3 6

5.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮, 那么这两串 彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 7 D. 8 )

C

[如图所示,设在通电后的 4 秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 x,y,

0≤x≤4, ? ? x,y 相互独立,由题意可知?0≤y≤4, ? ?|x-y|≤2,

所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的

1 4× 4-2× × 2× 2 2 S正方形-2S△ABC 12 3 概率为 P(|x-y|≤2)= = = = .] 4× 4 16 4 S正方形 二、填空题 6.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),事件 A 表示“朝上一面 的数是奇数”,事件 B 表示“朝上一面的数不超过 2”,则 P(A+B)=__________. 2 3 [将事件 A+B 分为:事件 C“朝上一面的数为 1,2”与事件 D“朝上一面的数为 3,5”,

1 1 2 则 C,D 互斥,且 P(C)= ,P(D)= ,∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)= .] 3 3 3 7.(2016· 河南市联考)已知函数 f(x)=2x2-4ax+2b2,若 a∈{4,6,8},b∈{3,5,7}, 则该函数有两个零点的概率为__________. 【导学号:85952028】 2 3 [要使函数 f(x)=2x2-4ax+2b2 有两个零点,即方程 x2-2ax+b2=0 要有两个实根,

则 Δ=4a2-4b2>0.又 a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},即 a>b,而 a,b 的取法共有 3× 3=9 种,其中 6 2 满足 a>b 的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共 6 种,所以所求的概率为 = .] 9 3

图 62 8.如图 62,向边长为 2 的正方形中随机投入一粒黄豆,若圆 C 的方程为(x-2)2+(y 9 -2)2= ,则黄豆落入阴影部分的概率为________. 4 1 3?2 22- π? 4 ?2? 9π 9π 1- [由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为 =1- .] 2 64 2 64 三、解答题 9.

图 63 甲、 乙两家商场对同一种商品开展促销活动, 对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案 如下: 甲商场:顾客转动如图 63 所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇 形,且每个扇形圆心角均为 15° ,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球,3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外,不加区 分),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大? [解] 如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 πR2(R 为圆盘的 4×15πR2 πR2 半径),阴影区域的面积为 = . 360 6 所以,在甲商场中奖的概率为 πR2 6 1 P1= 2= .4 分 πR 6 如果顾客去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3,记(x,y)

为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), (a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2, b3),共 15 种,8 分 摸到的 2 个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共 3 个,所以在乙商场中奖的概 3 1 率为 P2= = .10 分 15 5 由于 P1<P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大.12 分 10.已知向量 a=(1,-2),b=(x,y). (1)若 x,y∈R,且 1≤x≤6,1≤y≤6,求满足 a· b>0 的概率; (2)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率. [解] (1)用 B 表示事件“a· b>0”,即 x-2y>0.1 分 试验的全部结果所构成的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6},2 分 构成事件 B 的区域为{(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,x-2y>0},3 分 如图所示.

1 × 4× 2 2 4 所以所求的概率为 P(B)= = .6 分 5× 5 25 (2)设(x,y)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…,(6,5),(6,6),共 36 个.9 分 用 A 表示事件“a· b=-1”,即 x-2y=-1. 则 A 包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共 3 个.11 分 3 1 ∴P(A)= = .12 分 36 12 [B 组 名校冲刺] 一、选择题 1.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概率

是(

) 3 A. 10 A 1 B. 5 1 C. 2 3 D. 5

[基本事件的总数为 10,其中能构成三角形三边长的数组为(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),

3 故其概率为 .] 10 → → → 2. 已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB+PC+2PA=0, 现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 ) 【导学号:85952029】 2 D. 3

C

→ → → → → → → → [如图所示, 取边 BC 上的中点 D, 由PB+PC+2PA=0, 得PB+PC=2AP.又PB+PC

→ → → =2PD,故AP=PD,即 P 为 AD 的中点,则 S△ABC=2S△PBC,根据几何概率的概率公式知, S△PBC 1 所求概率 P= = ,故选 C.] S△ABC 2 1 1 3.(2016· 济南模拟)已知函数 f(x)= ax3- bx2+x,连续抛掷两颗骰子得到的点数分别 3 2 是 a,b,则函数 f′(x)在 x=1 处取得最值的概率是( 1 A. 36 1 C. 12 C 1 B. 18 1 D. 6 )

b [由题意得 f′(x)=ax2-bx+1,因为 f′(x)在 x=1 处取得最值,所以 =1,符合的点 2a

数(a,b)有(1,2),(2,4),(3,6),共 3 种情况.又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a,b)共有 36 3 1 种情况,所以所求概率为 = ,故选 C.] 36 12 1 1 4.在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≥ ”的概率,p2 为事件“|x-y|≤ ” 2 2 1 的概率,p3 为事件“xy≤ ”的概率,则( 2 A.p1<p2<p3 C.p3<p1<p2 B B.p2<p3<p1 D.p3<p2<p1 )

1 [满足条件的 x,y 构成的点(x,y)在正方形 OBCA 及其边界上.事件“x+y≥ ”对应的 2

1 1 图形为图①所示的阴影部分; 事件“|x-y|≤ ”对应的图形为图②所示的阴影部分; 事件“xy≤ ” 2 2 对应的图形为图③所示的阴影部分.

对三者的面积进行比较,可得 p2<p3<p1.] 二、填空题 x2 y2 5.曲线 C 的方程为 2+ 2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件 m n x2 y2 A 为“方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=__________. m n 5 12 [试验中所含基本事件个数为 36.若表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m>n,有(2,1),

15 5 (3,1),…,(6,5),共 1+2+3+4+5=15 种情况,因此 P(A)= = .] 36 12

图 64 6.如图 64,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到 阴影部分的概率为__________. 2 [∵y=ex 与 y=ln x 互为反函数,故直线 y=x 两侧的阴影部分面积相等,只需计算 e2 其中一部分即可.

1 如图,S1=∫10exdx=ex| 0 =e1-e0=e-1.

∴S 总阴影=2S 阴影=2(e× 1-S1)=2[e-(e-1)]=2, 2 故所求概率为 P= 2.] e 三、解答题

7.现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2,B3 物理成 绩优秀,C1,C2 化学成绩优秀,从中选出数学、物量、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个 小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率. [解] (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成的 基本事件空间为 Ω={(A1,B1,C1},(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2, B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3, B3,C2)},共 18 个基本事件组成.4 分 由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2, B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}.6 分 9 1 事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P(M)= = .8 分 18 2 (2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一事件. 由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N ) 2 1 = = .11 分 18 9 由对立事件的概率公式得 1 8 P(N)=1-P( N )=1- = .12 分 9 9 8.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四 面体面朝下的数字分别为 b,c. (1)若直线 l:x+y-5=0,求点 P(b,c)恰好在直线 l 上的概率; (2)若方程 x2-bx-c=0 至少有一根 x∈{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,求方程为 “漂亮方程”的概率. [解] (1)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c)为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 个,4 分 当 b+c=5 时,(b,c)的所有取值为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),5 分 4 1 所以所求概率为 P1= = .6 分 16 4

(2)①若方程一根为 x=1,则 1-b-c=0,即 b+c=1,不成立.7 分
? ?b=1, ②若方程一根为 x=2,则 4-2b-c=0,即 2b+c=4,所以? 8分 ?c=2. ? ?b=2, ? ③若方程一根为 x=3,则 9-3b-c=0,即 3b+c=9,所以? 9分 ? ?c=3. ? ?b=3, ④若方程一根为 x=4,则 16-4b-c=0,即 4b+c=16,所以? 10 分 ?c=4. ?

由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4),11 分 3 所以方程为“漂亮方程”的概率为 P2= .12 分 16


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