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2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-2


高考数学总复习

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第3章

三角函数与三角形

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第 二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

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第3章

>第二节

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第3章

第二节

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重点难点 重点:①掌握同角三角函数的关系公式. π ②掌握-α,π±α,2π-α, ± 的诱导公式. α 2 难点:诱导公式的规律性及综合运用.
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第3章

第二节

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知识归纳 1.同角三角函数的基本关系
1 (1)倒数关系:tanα· cotα=__;
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sinα (2)商数关系: =_____; cosα tanα
1 (3)平方关系:sin2α+cos2α=__;

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第二节

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2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容
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(2)诱导公式的规律 kπ 诱导公式概括为: ± α(k∈Z)的正弦、余弦值,当 k 2 为偶数时,得角 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时, 得角 α 相应的余函数值,然后放上把角 α 看成锐角时原 函数所在象限的符号; 可概括为“奇变偶不变, 符号看象 限.”
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误区警示 1.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三 角函数值时,如果应用平方关系,就要进行分类讨论, 先确定角的终边所在的象限,再确定三角函数值的符 号.要注意公式的合理选择和方法的灵活性.
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第二节

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2.在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时, 要注意用“是否是同角”来区分和选用公式. 3.在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时,应 注意公式中符号的选取.应用公式时把角 α 看成锐角, .... 如果出现 kπ±α 的形式时, 常对 k 值是奇数还是偶数进行 分类讨论,以确定角所在的象限. 4.要熟记特殊角的三角函数值.
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解题技巧 1.怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值,主要是运用诱导公式化 任意角三角函数为锐角三角函数,其一般步骤是: (1)负化正:当已知角为负角时,先利用-α 的诱导 公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值;
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(2)正化主:当已知角不在区间[0° ,360° )时,可用 k· +α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区 360° 间[0° ,360° )上的角的三角函数值; (3)主化锐:当已知角是 90° 360° 到 间的角时,可利 用 180° α,360° ± -α 的诱导公式把这个角的三角函数值 化为 0° 90° 到 间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表 或用计算器求出结果).
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2.证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有: (1)化繁为简,即从等式较繁的一边出发,利用三角 公式及变形技巧,逐步变形到等式的另一边. (2)左右归一,当欲证式两边都比较复杂时,把两边 分别变形化简,得到同一个式子. (3)转换命题,即把原命题转化为它的等价命题,简 化证明过程.
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3.“1”的代换 在求值、化简、证明时,常把数 1 表示为三角函数 式或特殊角的三角函数值参与运算, 使问题得以简化. 常 见的代换有: 1=sin α+cos α 1=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α 1=cosα· secα=sinα· cscα 1=tan45° =tanα· cotα=cot45° 1=(sinα+cosα)2-2sinαcosα 等等.
第3章 第二节
2 2

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4.三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值,把角看成锐角构造相应的 直角三角形. ,求出该锐角的各三角函数值,再添上符号 即可.
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※5.同角三角函数关系的六边形法则
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记忆:上弦中切下割,左正右余中 1,倒数对角线、 平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除.

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应用:寻找解题途径. 如已知 sinα ①利用平方关系可求 cosα,进而求 tanα,cotα. ②利用倒数关系可求 cscα,进而可求 cotα 等.
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同角三角函数的基本关系
8 α 是第二象限角, tanα=- , sinα 等于( 则 15 1 B.- 8 8 D.- 17

[例 1] 1 A. 8 8 C. 17

)

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?sin2α+cos2α=1 ? 解析:解法 1:∵? sinα , 8 ?cosα=-15 ? 8 解得 sinα=± .又∵α 为第二象限角, 17 8 ∴sinα>0,∴sinα= .故选 C. 17

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8 解法 2:设 tanα1= ,α1 为锐角, 15 8 如图在 Rt△ABC 中,由 tanα1= , 15 设 AC=8,BC=15,则 AB=17, 8 ∴sinα1= , 17
第3章 第二节

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8 ∵α 为第二象限角,∴sinα>0,从而 sinα= . 17 解法 3:∵α 是第二象限角,∴sinα>0,排除 B、D, sinα 8 又 tanα= =- , 由勾股数组 8,15,17 知排除 A, cosα 15 ∴选 C.
答案:C
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点评:记住常用的勾股数组非常方便.常用的有: ①3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25 ④8,15,17 以及它们的倍
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数,如 3k,4k,5k

k∈N+.

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3-1 已知 θ∈(0,π),sinθ+cosθ= ,则 tanθ 的值 2 为( ) 3 A.- 3或- 3 C.- 3 3 B.- 3 3 D.- 2

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3-1 解析:由 sinθ+cosθ= 两边平方得, 2 3 sinθ· cosθ=- 4 sinθ· cosθ tanθ 3 由 sinθ· cosθ= 2 = =- 4 sin θ+cos2θ 1+tan2θ 3 解得 tanθ=- 3或 tanθ=- 3 1 由于 θ∈(0,π),0<sinθ+cosθ= ( 3-1)<1, 2
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?π ? ∴θ∈?2,π?,∴sinθ>0,cosθ<0, ? ?

∴|sinθ|>|cosθ|,∴|tanθ|>1,即

?π 3π? θ∈?2, 4 ? ? ?

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∴tanθ<-1,∴tanθ=- 3,故应选 C.
答案:C

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3-1 点评:本题中由 sinθ+cosθ= 两边平方扩大了 2 θ 的取值范围会引起增解,必须结合 0<θ<π 与 0<sinθ+ π cosθ<1 得出 <θ<π, 进而得出|sinθ|>|cosθ|来去掉增解 tanθ 2 3 =- ,故变换时必须要等价,使用不等价变换时,一 3 定要检验.
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[例 2]
? ? ? ?

化简: 1-sinα? ? ?? ?· 1+sinα? ? ? 1+cosα - 1-cosα 1-cosα? ? ?. 1+cosα ?
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1+sinα - 1-sinα

分析:“脱”去根号是我们的目标,这就希望根号下能 成为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用 分式的性质可以达到目标.

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? ? 解析:原式=? ? ? ? ? ?

?1+sinα?2 - cos2α ?1-cosα?2? ? sin2α ? ?

?1-sinα?2? ? 2 ?· cos α ?
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?1+cosα?2 - sin2α

?1+sinα 1-sinα??1+cosα 1-cosα? ?? ? =? - - ? |cosα| |cosα| ?? |sinα| |sinα| ? ? ?? ?

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2sinα 2cosα = · |cosα| |sinα|
?4 ? =? ?-4 ?

?α在第一、三象限时?, ?α在第二、四象限时?.
第3章 第二节

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点评:注意变形的技巧,对于

1+sinα .我们可以 1-sinα
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分子、分母同乘以 1+sinα,也可以分子、分母同乘以 1 -sinα,但分母变为“单项式”更方便些,故选择同乘以 1+sinα.

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已知 sinα· cosα<0,sinαtanα>0,化简 α cos · 2 α 1-sin 2 α α+sin2· 1+sin 2 α 1+cos 2 α=________. 1-cos 2
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解析:∵sinα· cosα<0,∴α 为第二或第四象限角, 又∵sinα· tanα>0,∴α 为第四象限角, α ∴ 为第二或四象限角. 2
第3章 第二节

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α α 1-sin 1+cos 2 2 α α ∴原式=cos · +sin ·? α? 2 ? α? 2 ?cos ? ?sin ? 2? 2? ? ? α ? α ?sin2+cos2 =? ?-sinα-cosα 2 2 ? ∴原式=±
答案:±
?α ? ? 为第二象限角? ?2 ? ?α ? ? 为第四象限角? ?2 ?
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?α π? 2sin?2+4?. ? ?
?α π ? 2sin?2 +4 ? ? ?
第3章 第二节

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利用诱导公式进行化简求值

[例 3]

设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+α),其中 a,b, (k∈Z).若 f(2009)=5,则 f(2010)

α∈R,且 ab≠0,α≠kπ 等于( A.4 C.-5 ) B.3 D.5

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解析:∵f(2009)=asin(2009π+α)+bcos(2009π+α)= -asinα-bcosα=5, ∴asinα+bcosα=-5.∴f(2010)=asinα+bcosα=-5.
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答案:C

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(文)已知

?π ? sin?2+θ?-cos?π+θ? ? ? tanθ=2,则 ? =( ? π sin?2-θ?-sin?π-θ? ? ?

)

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A.2 C.0

B.-2 2 D. 3

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?π ? sin?2+θ?-cos?π+θ? cosθ+cosθ ? ? 解析: ? = π ? cosθ-sinθ ? -θ?-sin?π-θ? sin 2 ? ?

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2 2 = = =-2.故选 B. 1-tanθ 1-2

答案:B

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sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] (理)化简 = ______(k ∈ sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? Z).
解析:对参数 k 分奇数、偶数讨论.当 k=2n+1(n sin?2nπ+π-α?· cos?2nπ-α? ∈Z)时,原式= sin?2nπ+2π+α?· cos?2nπ+π+α? sin?π-α?· cosα = sinα· cos?π+α? sinα· cosα = =-1. sinα· ?-cosα?
第3章 第二节 人 教

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当 k=2n(n∈Z)时,原式 sin?2nπ-α?· cos?2nπ-π-α? = sin?2nπ+π+α?· cos?2nπ+α? -sinα· ?-cosα? = =-1. -sinα· cosα sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 所以 =-1. sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? 答案:-1

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第二节

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同角三角函数关系的综合应用
tanα 已知 =-1,求下列各式的值: tanα-1

[例 4]

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sinα-3cosα (1) =________; sinα+cosα (2)sin2α+sinαcosα=________. 分析:由已知可以求出 tanα,再由同角三角函数关系式 可以求得 sinα 和 cosα,进而求出(1)、(2)的值.但实际操作 中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.
第3章 第二节

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1 解析:由已知得 tanα= , 2 1 sinα-3cosα tanα-3 2-3 5 ∴(1) = = =- ; 1 3 sinα+cosα tanα+1 +1 2

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sin2α+sinαcosα (2)sin2α+sinαcosα= sin2α+cos2α
?1? 1 ? ?2 + tan2α+tanα ?2? 2 3 = =? ? = . 12 5 tan2α+1 ? ? +1 ?2?
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5 答案:(1)- 3

3 (2) 5

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点评:形如 asinα+bcosα 和 asin2α+bsinαcosα+ ccos2α 的式子分别称为关于 sinα、cosα 的一次齐次式和 二次齐次式,如已知 tanα=m,求涉及它们的三角式的 值时,常作①1 的代换,②sinα=mcosα 代入,③选择题 常用直角三角形法求解,④所给式是分式时,常用分子、 分母同除以 coskα(k=1,2,?)变形.
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已 知 tan2α = - 2 2cos -sinα-1 2 的值为( π 2sin? +α? 4 A. 2 C.-3+2 2


π π 2 , 且 满 足 <α< , 则 4 2
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)

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B.- 2 D.3-2 2

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2cos -sinα-1 cosα-sinα 1-tanα 2 解析: = = . π sinα+cosα tanα+1 2sin? +α? 4 2tanα 又 tan2α=-2 2= 1-tan2α



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2 ?2 2tan α-2tanα-2 2=0.解得 tanα=- 或 2
2

2. 1- 2 π π 又 <α< ,∴tanα= 2.原式= =-3+2 2.故 4 2 2+1 选 C.

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答案:C

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一、选择题 1.(2010· 全国卷Ⅰ理,2)设 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k k C. 1-k2 ) 1-k2 B.- k k D.- 1-k2
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[答案]

B
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[解析] sin80° 1-cos280° = = 1-cos ?-80° ?= 1-k ,
2 2

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1-k2 sin80° 所以 tan100° =-tan80° =- =- k . cos80°

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4? 3 ? 2.(文)若 z=sinθ- +i?cosθ-5?是纯虚数,则 tanθ 5 ? ? 的值为( 3 A.± 4 3 C.- 4
[答案] C

) 4 B.± 3 3 D. 4

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[解析]

? 3? ? 4? ∵z=?sinθ-5?+i?cosθ-5?为纯虚数, ? ? ? ?

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3 4 ∴sinθ- =0 且 cosθ- ≠0, 5 5 3 4 sinθ 3 ∴sinθ= ,cosθ=- ,∴tanθ= =- .故选 C. 5 5 cosθ 4

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(理)(2010· 山东济南模考、烟台市诊断)已知△ABC 5 中,tanA=- ,则 cosA=( 12 12 A. 13 5 C.- 13
[答案] D

)

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5 B. 13 12 D.- 13

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5 [解析] 在△ABC 中,由 tanA=- <0 知,∠A 为 12 sin2A+cos2A 1 2 钝角,所以 cosA<0,1+tan A= = 2 = cos2A cos A 169 12 ,所以 cosA=- ,故选 D. 144 13
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[点评] 学习数学要加强多思少算的训练, 以提高思 维能力,尤其是选择题,要注意结合其特点选取.本题 5 中,tanA=- ,A 为三角形内角,即知 A 为钝角,∴ 12 sinA cosA<0, 排除 A、 又由勾股数组 5,12,13 及 tanA= B; cosA 12 知,|cosA|= ,故选 D. 13
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3.已知向量 a=(tanα,1),b=( 3,-1),α∈(π, 2π)且 a∥b,则点 A.第一象限 C.第三象限
[答案] D
? ?π ? ? P?cos?2+α?,sin?π-α??在( ? ? ? ?

)

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B.第二象限 D.第四象限

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[解析] ∵a∥b,∴tanα=- 3, 5π ∵α∈(π,2π),∴α= , 3
?π ? 13π π ∴cos?2+α?=cos =cos >0, 6 6 ? ? ? 2π? 2π ?- ?=-sin <0, sin(π-α)=sin 3? 3 ?
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∴点 P 在第四象限.

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二、填空题 4.函数 y= ________________. [答案] π {x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z} 2 tanx + lg cosx 的 定 义 域 是
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?tanx≥0, ? 由题意知? ?cosx>0, ?

[解析]

π 如图,由 tanx≥0 得,mπ≤x<mπ+ ,m∈Z, 2 π π 由 cosx>0 得,2nπ- <x<2nπ+ ,n∈Z. 2 2 π ∴2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z. 2

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cosx 5.设 f(x)= ,则 f(1° )+f(2° )+?+f(59° ) cos?30° -x? =________.
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59 3 [答案] 2

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[解析]

f(x)+f(60° -x)
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cos?60° -x? cosx+cos?60° -x? cosx = + = cos?30° -x? cos?x-30° ? cos?30° -x? 3cos?x-30° ? = = 3. cos?30° -x? ∴f(1° )+f(2° )+?+f(59° ) = (f(1° + f(59° + (f(2° + f(58° + ? + (f(29° + ) )) ) )) ) 3 59 3 f(31° ))+f(30° )=29 3+ = . 2 2
第3章 第二节

A


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第3章

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