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2017高考数学大一轮复习活页作业7.4直线、平面平行的判定与性质.doc


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课时活页作业(三十八)
[基础训练组] 1.(2016· 济南模拟)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a? α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a? α,b? β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a? α,b? β,a∥β,b∥α [解析] 若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则 a∥α,a∥β,故排除 A.若 α∩β=l,a? α,a∥ l,则 a∥β,故排除 B.若 α∩β=l,a? α,a∥l,b? β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.故选 D. [答案] D 2. 在空间四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 AB 和 BC 上的点, 若 AE∶EB=CF∶FB=1∶ 2,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 C.在平面内 D.不能确定 ) B.相交 )

AE CF [解析] 如图,由 = 得 AC∥EF.又因为 EF? 平面 DEF,AC?平 EB FB 面 DEF,所以 AC∥平面 DEF. [答案] A 3.(2016· 石家庄模拟)已知 α,β 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直 线 a,a⊥α,a⊥β;②存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线 a,b,a? α,b ? β,a∥β,b∥α;④存在两条异面直线 a,b,a? α,b? β,a∥β,b∥α.可以推出 α∥β 的 是( ) A.①③ C.①④ B.②④ D.②③

[解析] 对于②,平面 α 与 β 还可以相交;对于③,当 a∥b 时,不一定能推出 α∥β, 所以②③是错误的,易知①④正确,故选 C. [答案] C 4.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )

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A.①② C.②③

B.①④ D.③④

[解析] 由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. [答案] A 5.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中 点,则( )

A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形 1 [解析] 由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF∥BD, 且 EF= BD, ∴EF∥平面 BCD.又 H, 5 1 G 分别为 BC, CD 的中点, ∴HG∥BD, 且 HG= BD, ∴EF∥HG 且 EF≠HG.∴四边形 EFGH 2 是梯形. [答案] B 6.如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在 四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有 MN∥ 平面 B1BDD1. [ 解析 ] 由题意,得 HN ∥面 B1BDD1 , FH ∥面 B1BDD1. ∵

HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1.∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥面 B1BDD1. [答案] M∈线段 HF 7.空间四面体 A-BCD 的两条对棱 AC,BD 的长分别为 5 和 4,

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则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是________. DH GH AH EH [解析] 设 = =k(0<k<1),所以 = =1-k,所以 GH=5k,EH=4(1-k), DA AC DA BD 所以周长=8+2k.又因为 0<k<1,所以周长的范围为(8,10). [答案] (8,10) 8.已知平面 α∥β,P?α 且 P?β,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于 A,C,过点 P 的直 线 n 与 α,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________. [解析] 如图 1,∵AC∩BD=P,∴经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. PA ∵α∥β,α∩平面 PCD=AB,β∩平面 PCD=CD,∴AB∥CD.∴ = AC PB 6 8-BD 24 ,即 = ,∴BD= . BD 9 BD 5 PA PB 6 BD-8 如图 2,同理可证 AB∥CD.∴ = ,即 = ,∴BD=24. PC PD 3 8 24 综上所述,BD= 或 24. 5 [答案] 24 或 24 5

9.如图,ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N,G 分 别是 AB,AD,EF 的中点. (1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG. [证明] (1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,连接 MO, 则 MO 为△ABE 的中位线, 所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF, MO? 平面 DMF,所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N, G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD, EF 的中点, 所以 DE∥GN,又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG,所以 DE∥平面 MNG.又 M 为 AB 的 中点,所以 MN 为△ABD 的中位线,所以 BD∥MN,又 MN? 平面 MNG,BD?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG,又 DE,BD? 平面 BDE,DE∩BD=D,所以平面 BDE∥平面 MNG. 10.(2016· 合肥质检)如图,多面体 ABCDEF 中,平面 ABCD 是 边长为 a 的菱形,且∠DAB=60° ,DF=2BE=2a,DF∥BE,DF⊥平 面 ABCD. (1)在 AF 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 ABCD,请证明你的 结论; (2)求该多面体的体积.

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[解] (1)当点 G 位于 AF 中点时,有 EG∥平面 ABCD.证明如下:取 AD 的中点 H,连 1 接 GH,GE,BH.∵GH∥DF 且 GH= DF,∴GH∥BE 且 GH=BE.∴四边形 BEGH 为平行 2 四边形,∴EG∥BH.又 BH? 平面 ABCD,EG?平面 ABCD,∴EG∥平面 ABCD. (2)连接 BD,由 V=VABDFE+VCBDFE=2VABDFE= 3 3 a. 2

[能力提升组] 11.(2016· 温州二模)如图,在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长 为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFG 分别与 AB,BC,SC, SA 交于 D,E,F,G 四点,且 D,E,F,G 分别是 AB,BC,SC,SA 的中点,则四边形 DEFG 的面积是( 15 A. 2 C.15 45 B. 2 D.20 )

[解析] 因为 D,E,F,G 分别是 AB,BC,SC,SA 的中点, 所以 DE∥AC,FG∥AC,DG∥SB,EF∥SB,则四边形 DEFG 是平 1 15 1 行四边形,且 DG= SB= ,DE= AC=3.如图,取 AC 的中点 O, 2 2 2 连接 OB,SO.因为 SA=SC=15,AB=BC=6,所以 AC⊥SO,AC ⊥OB, 因为 SO∩OB=O, 所以 AC⊥平面 SOB, 所以 AO⊥SB, 则 DG⊥DE, 即四边形 DEFG 15 45 是矩形,所以四边形 DEFG 的面积 S= × 3= . 2 2 [答案] B 12.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥ AC,则下列命题中,错误的是( A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° [解析] 由题意可知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN,故 B 正确;由 PN∥BD 可知,异面直线 PM 与 BD 所成的角 等于 PM 与 PN 所成的角,又四边形 PQMN 为正方形,所以∠MPN=45° ,故 D 正确;而 AC=BD 没有论证来源. [答案] C )

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13.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=NB=1,G 为 MC 的中点.则 下列结论中不正确的是( A.MC⊥AN B.GB∥平面 AMN C.平面 CMN⊥平面 AMN D.平面 DCM∥平面 ABN [解析] 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正 方体中(如图),作 AN 的中点 H,连接 HB,MH,GB,则 MC∥HB,又 HB⊥AN,所以 MC⊥AN,所以 A 正确;由题意易得 GB∥MH,又 GB? 平面 AMN,MH? 平面 AMN,所 以 GB∥平面 AMN,所以 B 正确;因为 AB∥CD,DM∥BN,且 AB∩BN=B,CD∩DM= D,所以平面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确. [答案] C 14.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 P 是棱 a AD 上一点,且 AP= ,过 B1,D1,P 的平面交底面 ABCD 于 PQ,Q 3 在直线 CD 上,则 PQ=________. [解析] ∵平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD, 而平面 B1D1P∩平面 ABCD =PQ,平面 B1D1P∩平面 A1B1C1D1=B1D1,∴B1D1∥PQ. 又∵B1D1∥BD,∴BD∥PQ,设 PQ∩AB=M,∵AB∥CD,∴ △ APM ∽△ DPQ. ∴ PQ PD = = 2 ,即 PQ = 2PM. 又知△ APM ∽△ PM AP )

PM AP 1 1 2 2 ADB,∴ = = ,∴PM= BD,又 BD= 2a,∴PQ= a. BD AD 3 3 3 [答案] 2 2 a 3

15.如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形, CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120° ,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC. [解] (1)证明:如图①,取 BD 的中点 O,连接 CO,EO.

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由于 CB=CD,所以 CO⊥BD,又 EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC? 平面 EOC,所以 BD⊥平面 EOC,因此 BD⊥EO,又 O 为 BD 的中点,所以 BE= DE. (2)证法一:如图②,取 AB 的中点 N,连接 DM,DN,MN, 因为 M 是 AE 的中点,所以 MN∥BE. 又 MN?平面 BEC,BE? 平面 BEC,∴MN∥平面 BEC.又因 为△ABD 为正三角形,所以∠BDN=30° ,又 CB=CD,∠BCD =120° ,因此∠CBD=30° ,所以 DN∥BC.又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC,所以 DN∥ 平面 BEC. 又 MN∩DN=N, 故平面 DMN∥平面 BEC, 又 DM? 平面 DMN, 所以 DM∥平面 BEC. 证法二:如图③,延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120° , 所以∠CBD=30° .因为△ABD 为正三角形,所以∠BAD=60° , 1 ∠ABC=90° ,因此∠AFB=30° ,所以 AB= AF.又 AB=AD,所以 D 2 为线段 AF 的中点,连接 DM,由点 M 是线段 AE 的中点,因此 DM ∥EF.又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC,所以 DM∥平面 BEC.

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