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七年级数学竞赛讲座:第九讲 “设而不求”的未知数


第九讲 “设而不求”的未知数 让我们先看一道简单的数学题. 三角形的 面积. 解 设这个三角形的斜边长度为 c,因为斜边上的中线长是 1,所以斜边长 c=2.再设两 条直角边的长度是 a,b,面积是 S,那么 a2+b2+2ab=6. ④ 把②,③代入④式得 4+4S=6, 在这个题目中,只要求出未知数 S 的值,而我们却设了三个未知数:a,b,S, 并且在解题过程中,我们也根本没求 a,b 的值.但是由于增设了 a,b 后,给我们 利用等量关系列方程及方程组求 S 的值,带来了很大的便利,像这种未知数(如 a, b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未知数. 所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些 参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用. 例2若 求 x+y+z 的值. 分析 已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表示这个连 比. 解 令 则有 x=k(a-b), y=k(b-c), z=k(c-a), 所以 x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0, 所以 x+y+Z=0. 说明 本例中所设的 k,就是“设而不求”的未知数. 例 3 已知 p, q, r 都是 5 的倍数, r>q>p, 且 r=p+10, 试求 解 不妨设 p=5k1,q=5k2,r=5k3,由题意可知,k1,k2,k3 都是整数.因为 r>q >p,所以 k3>k2>k1.又因为 r=p+10, 所以 5k3=5k1+10, k3=k1+2, ① 所以 k1+2>k2>k1, 所以 k2=k1+1. ② 将①,②代入所求的代数式得 说明 本题中 k1,k2,k3 均是“设而不求”的未知数. a>1,并且设 分子:n-13=ak1,① 分母:5n+6=ak2.② 其中 k1,k2 为自然数. 由①得 n=13+ak1,将之代入②得 5(13+ak1)+6=ak2, 即 所以 71+5ak1=ak2, a(k2-5k1)=71. 由于 71 是质数,且 a>1,所以 a=71,所以 n=k1·71+13. 故 n 最小为 84. 例 5 甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29, 23,21 和 17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? 解 设四个人的年龄分别记为 a,b,c,d,根据题意有 由上述四式可知 比较⑤,⑥,⑦,⑧知,d 最大,c 最小,所以⑤-⑧得 所以 d-c=18,即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18. 说明 此题不必求出 a,b,c,d 的值,只须比较一下,找出最大者与最小者是 谁,作差即可求解. 例 6 设有 n 个数 x1,x2,?,xn,它们的值只能是 0,1,2 三个数中的一个, 如果记 试用 f1 和 f2 表示 解 设在 x1,x2,?,xn 这几个数中取值为 0 的有 s 个,取值为 1 的有 t 个,取 值为 2 的有 r 个,则 s+t+r=n,0≤t≤n,0≤s≤n,0≤r≤n,由此得 f1=t+2r,f2=t+4r. 所以 =(2k-1)f2-(2k-1-2)f1. 说明 本题借助于 s,t,r 找到了 fk 与 f1,f2 的关系表达式. 整除.根据一个数能被 9 整除的特征有 6+2+α +β +4+2+7=9m(m 为自然数), 即 又由于 α +β +3=9m1(m1 为自然数). 0≤α ≤9,0≤β ≤9,则有 3≤α +β +3≤21, 从而有

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