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山东省高密市第三中学高三数学复习课件:8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件(2014.11.26)


数学

R B(理)

§8. 4 直线与圆、圆与圆的 位置关系
第8章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的

距离,联立直线和圆的方程,消元 后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
知识回顾 理清教材

方法 位置关系 相交 相切 相离
基础知识 题型分类

几何法 d < r d= r d > r

代数法 Δ > 0 Δ= 0 Δ < 0
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理 知识回顾 理清教材 2.圆与圆的位置关系 2 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1 (r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2 (r2>0).
方法 几何法:圆心距 d 与 代数法:两圆方程联立 位置关系 r1,r2 的关系 组成方程组的解的情况 相离 外切 相交 内切 内含
基础知识

d>r1+r2 d=r1+r2
|r1-r2|<d<r1+r2

无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解
无解
练出高分

d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) ×(3) ×(4) ×(5) √ (6) √

解析

C B 3
(- 3, 3)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数,

直线与圆的交点个数即为直 线方程与圆方程联立而成的 方程组解的个数; 最短弦长可

直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

用代数法或几何法判定.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

方法一 (1)证明 ? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? ? x - 1 ? + ? y + 1 ? =12, ?
消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,

2 2 因为 Δ = (2 - 4 k ) + 28( k +1)>0, (1)试证明: 不论 k 为何实数,

直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
基础知识 题型分类

所以不论 k 为何实数, 直线 l 和圆 C 总有两个交点.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 方法二 (1)证明 因为不论 k 为何 =12. (1)试证明: 不论 k 为何实数,
实数, 直线 l 总过点 P(0, 1), 而|PC| = 5<2 3=R, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l

直线 l 和圆 C 总有两个交点; 总经过圆 C 内部的定点 P.
直线 l 和圆 C (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 所以不论 k 为何实数,

短弦长.
基础知识 题型分类

总有两个交点.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx
(2)解 由平面几何知识知过圆内定 点 P(0,1)的弦, 只有和 PC (C 为圆心) 垂直时才最短, 而此时点 P(0,1)为弦

+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2 =12.

(1)试证明: 不论 k 为何实数, AB 的中点,由勾股定理,知|AB|= 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 2 12-5=2 7, (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
基础知识 题型分类

即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与圆的位置关系
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

已知直线 l:y=kx
2 2

+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12.

(1)利用圆心到直线的距离可判断直 线与圆的位置关系,也可利用直线 的方程与圆的方程联立后得到的一

(1)试证明: 不论 k 为何实数, 元二次方程的判别式来判断直线与 直线 l 和圆 C 总有两个交点; 圆的位置关系; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最 短弦长.
基础知识 题型分类

(2)勾股定理是解决有关弦问题的常 用方法.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________.
解析 1 2 2 (1)由 2 2<1,得 a +b >1, a +b

∴点 P 在圆外.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( C ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________.

(2)圆 x2+y2-2y=0 的圆心是(0,1),半径 r=1,则圆心到直 |k| 线 l 的距离 d= 2<1.故直线与圆相交. 1+k
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) ( B ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 ( C ) (2)直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是 A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切

(3)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到

(-13,13) . 直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_________
(3)根据题意知,圆心 O 到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,

|c| ∴ 2 2<1,∴|c|<13,∴c∈(-13,13). 12 +5
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4.

在求过某点的圆的切线方程时, 应首先确定点与圆的位置关系,

(1)求过 M 点的圆的切线方程; 再求直线方程.若点在圆上,则 (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 过该点的切线只有一条;若点在 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类

圆外,则过该点的切线有两条, 此时应注意斜率不存在的切 线.在处理直线和圆相交所得的 弦的弦长问题时, 常考虑几何法.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2) =4.
2



(1)圆心 C(1,2),半径 r=2,

当直线的斜率不存在时,方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离

(1)求过 M 点的圆的切线方程; d=3-1=2=r 知, (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 此时,直线与圆相切. 切,求 a 的值. (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类

当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),
即 kx-y+1-3k=0.

|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k=4. 2 k +1
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2)2=4.

3 ∴圆的切线方程为 y-1= (x-3), 4

(1)求过 M 点的圆的切线方程;

即 3x-4y-5=0.

(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 切,求 a 的值.
或 3x-4y-5=0.

|a-2+4| (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)由题意得 a2+1 =2, 4 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 解得 a=0 或 a= . 3

长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+

(3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的 |a+2| (y-2)2=4. 距离为 2 , a +1 (1)求过 M 点的圆的切线方程; |a+2| 2 2 3 2 (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 ∴( 2 ) +( ) =4, 2 a +1 切,求 a 的值. 3 解得 a=- . 4 (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相

交于 A,B 两点,且弦 AB 的 长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 圆的切线与弦长问题

【例 2】

已知点 M(3,1),直线

思维启迪

解析

思维升华

ax-y+4=0 及圆(x-1)2+ (y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相 切,求 a 的值.
2

(1)求过某点的圆的切线问题时,应 首先确定点与圆的位置关系,再求 直线方程.若点在圆上(即为切点), 则过该点的切线只有一条;若点在 圆外,则过该点的切线有两条,此 时应注意斜率不存在的切线.

(3)若直线 ax-y+4=0 与圆相 (2)求直线被圆所截得的弦长时, 通常考 交于 A,B 两点,且弦 AB 的 虑由弦心距垂线段作为直角边的直角 长为 2 3,求 a 的值.
基础知识 题型分类

三角形,利用勾股定理来解决问题.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB|=4 3,将圆 C 方程化为标准 方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圆 C 的圆心坐标为(-2,6),半径 r=4,设 D 是线段 AB 的中点,则 CD⊥AB,

∴|AD|=2 3,|AC|=4.C 点坐标为(-2,6).
在 Rt△ACD 中,可得|CD|=2.

设所求直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. |-2k-6+5| 3 由点 C 到直线 AB 的距离公式: 2 = 2 , 得 k = 4. k +?-1?2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.
故直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.
又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意, 此时方程为 x=0.

∴所求直线 l 的方程为 x=0 或 3x-4y+20=0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x,y),
→ → 则 CD⊥PD,即CD· PD=0,

∴(x+2,y-6)· (x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为 x2+y2+2x-11y+30=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.
基础知识 题型分类

求动点的轨迹方程关键是 寻找与动点有关的等量关 系, 然后将等量关系用坐标 表示出来.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 直线方程是________________. (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 条数是________. (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 轨迹方程是____________.
基础知识 题型分类

(1)两圆的方程相减得:x-2y+4 =0.

(2) 两 圆 圆 心 距 d = 74 < 66 + 64,

∴两圆相交, 故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, ⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6, 设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x=2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 x-2y+4=0 直线方程是________________ . (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 2 条数是________ . (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 3 x=2 轨迹方程是____________ .
基础知识 题型分类

(1)两圆的方程相减得:x-2y+4 =0.

(2) 两 圆 圆 心 距 d = 74 < 66 + 64,

∴两圆相交, 故有 2 条切线.

(3)⊙O 的圆心为(0,0), 半径为 2, 设点 P 为(x,y),由已知条件和圆 切线性质得 x2+y2-2=(x-4)2+ 3 2 y -6,化简得 x= . 2
思想方法 练出高分

⊙O′的圆心为(4,0),半径为 6,

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

圆与圆的位置关系
思维启迪 解析 答案 思维升华

(1)已知两圆 C1:x2+y2- 2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x +2y-8=0, 则两圆公共弦所在的 x-2y+4=0 直线方程是________________ . (2)两圆 x2+y2-6x+6y-48=0 与 x2+y2+4x-8y-44=0 公切线的 2 条数是________ . (3)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2= 0,⊙O′的方程是 x2+ y2- 8x+ 10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的 3 x= 2 轨迹方程是____________ .
基础知识 题型分类

判断两圆的位置关系时常用几 何法,即利用两圆圆心之间的 距离与两圆半径之间的关系, 一般不采用代数法.若两圆相 交,则两圆公共弦所在直线的 方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2 +y2+2x+2y-8=0,则以两圆公共弦为直径的圆的方程是
2 2 ( x + 2) + ( y - 1) =5 ___________________________ .

解析 圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 50,圆 C2 的圆心为 (-1,-1),半径为 10,则两圆心连线的直线方程为 2x+y+ 3=0,由两圆方程作差得公共弦方程为 x-2y+4=0,两直线 的交点(-2,1)即为所求圆的圆心,由垂径定理可以求得半径为 5,即所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

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练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? =1 上,那么|PQ|的最小值为________. 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

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温 馨 提 醒

求解本题应先画出点 P 所在的平面区域,再画出点 Q 所在的 圆, 最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离 的最值问题,即可求出|PQ|的最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
二、圆与线性规划的交汇问题 ?2x-y+2≥0, ? 典例:(5 分)如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ? 上,点 Q 在曲线 x2+(y+2)2

5-1 . =1 上,那么|PQ|的最小值为________

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温 馨 提 醒

?2x-y+2≥0, ? 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ?
画出点 Q 所在的圆,如图所示.

上,

画出点 P 所在的平面区域. 由点 Q 在圆 x2+(y+2)2=1 上,
由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

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温 馨 提 醒

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) ( )

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温 馨 提 醒

圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质,即圆内点、圆 外点的性质,直线与圆相交、相离的性质,圆与圆的相交、相 离的性质等,这些问题反映在代数上就是不等式的形式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

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|m+n| 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 的距离为 =1, ?m+1?2+?n+1?2
1 所以 m+n+1=mn≤4(m+n)2,

所以 m+n≥2+2 2或 m+n≤2-2 2.

基础知识

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思想方法

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高频小考点8 高考中与圆交汇问题的求解
三、圆与不等式的交汇问题 典例:(5 分)(2012· 天津)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x- 1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) (

D )

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直线与圆位置关系的考查,一般是已知位置关系求参数值,均值不等式的 考查一般是给出参数关系,利用均值不等式求最值或范围.而本题却以直 线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系,利用均值不等式转化,结合 换元法把关系转化为一元二次不等式, 从而求得 m+n 的取值范围, 这一交 汇命题新颖独特,考查知识全面,难度中等,需要熟练掌握各知识才能逐 一化解.

基础知识

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思想方法·感悟提高
1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为 1 -k ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则 由图形写出切线方程 x=x0.

方 法 与 技 巧

2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx -y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出 切线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入圆 方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k, 切线方程即可求出.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高
3.两圆公共弦所在直线方程的求法 若两圆相交时,把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就 得到两圆的公共弦所在的直线方程.

方 法 与 技 巧

4.圆的弦长的求法 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l, ?l? 则?2?2=r2-d2. ? ? (2)代数法:设直线与圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) ? ?y=kx+b, 两点, 解方程组? 消 y 后得关 2 2 2 ? ??x-x0? +?y-y0? =r , 于 x 的一元二次方程,从而求得 x1+x2,x1x2,则弦 长为|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2](k 为直线斜率).

基础知识

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思想方法

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思想方法·感悟提高

1.求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心

失 误 与 防 范

与弦中点连线与弦垂直的性质, 可以用勾股定理或斜 率之积为-1 列方程来简化运算.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点 作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考 虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情 况,以防漏解.

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1 2 3

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4

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5
6 7 8 9 10

1.圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+(y-3)2=1 的内公 切线有且仅有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 ( B ) D.4 条

解析 圆心距为 3,半径之和为 2,故两圆外 离,内公切线条数为 2.

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.(2012· 重庆)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是 A.相离 C.相交但直线不过圆心 B.相切 D.相交且直线过圆心 ( C )

解析 ∵x2+y2=2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离
|0-0+1| 1 d= 2 = 2≤1, 1+k 1+k

又∵r= 2,∴0<d<r.
∴直线与圆相交但直线不过圆心.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3. 直线 l 过点 A(2,4)且与圆 x2+y2=4 相切, 则 l 的方程为( D ) A.3x-4y+10=0 C.x-y+2=0 B.x=2 D.x=2 或 3x-4y+10=0

解析 显然 x=2 为所求切线之一;

另设 y-4=k(x-2),即 kx-y+4-2k=0,

|4-2k| 3 而 2 =2,k=4,即切线为 3x-4y+10=0, k +1
∴x=2 或 3x-4y+10=0 为所求.
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1 2 3

A组
4

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5
6 7 8 9 10

4.(2013· 山东)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点 分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0
解析 如图所示: 1 由题意知:AB⊥PC,kPC=2,

( A )

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

∴kAB=-2,

∴直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取
1-2 2≤b≤3 . 值范围是______________

解析

由 y=3- 4x-x2,得(x-2)2+

(y-3)2=4(1≤y≤3).

∴曲线 y=3- 4x-x2是半圆, 如图中实线所示.

|2-3+b| 当直线 y=x+b 与圆相切时, =2. 2 ∴b=1± 2 2. 由图可知 b=1-2 2.
? ? ∴b 的取值范围是??1-2 2,3??.

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练出高分
1 2 3

A组
4

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5
6 7 8 9 10

7.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两 条切线,则实数 a
? 3? ? (-∞,-3)∪?1,2? ? ? ? . 的取值范围为___________________

解析

圆方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,

?3-2a>0 ? 由已知可得? 2 ? ?a >3-2a

3 ,解得 a<-3 或 1<a< . 2

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练出高分
1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0 (a>0)的公共弦长
1 为 2 3,则 a=________.

解析

方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4.

1 相减得 2ay=2,则 y= .由已知条件 a
即 a=1.

1 2 -? 3? = , a
2 2

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4 =0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 ( D )

解析 设圆心为(a,0),且 a>0,
则(a,0)到直线 3x+4y+4=0 的距离为 2,
|3×a+4×0+4| 14 即 = 2 ? 3 a + 4 = ± 10 ? a = 2 或 a =- (舍去), 2 2 3 3 +4

则圆 C 的方程为(x-2)2+(y-0)2=22,

即 x2+y2-4x=0.
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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( C )

|9+12-11| 解析 因为圆心到直线的距离为 =2, 5

又因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交, 由数形结合知,

圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率 等于 3 A. 3
解析

( 3 B.- 3 3 C.± 3 D.- 3

)

1 ∵S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB

1 1 =2sin∠AOB≤2. π 当∠AOB=2时,S△AOB 面积最大.
2 此时 O 到 AB 的距离 d= . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2013· 江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率 等于 3 A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 ( B ) D.- 3

设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),
即 kx-y- 2k=0.

| 2k| 2 3 3 由 d= 2 = 得 k=- .(也可 k=-tan∠OPH=- ). 3 3 k +1 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点8
圆与集合的交汇问题 4.设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0}, 则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________、________.

高考中与圆交汇问题的求解

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温 馨 提 醒

本题条件 M∩N≠?反映了两个集合所表示的曲线之间 的关系,即半圆与圆之间的关系,因此可以直接利用 数形结合的思想求解.

基础知识

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题型分类·深度剖析
高频小考点8
圆与集合的交汇问题 4.设 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0},
2 2+2 、________. 2 2-2 则 M∩N≠?时,a 的最大值与最小值分别为________

高考中与圆交汇问题的求解

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温 馨 提 醒

因为集合 M={(x,y)|y= 2a2-x2,a>0},

所以集合 M 表示以 O(0,0)为圆心,半径为 r1= 2a 的上半圆.
同理,集合 N 表示以 O′(1, 3)为圆心,半径为 r2=a 的圆上 的点.

这两个圆的半径随着 a 的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示, 当两圆外切时,由 2a+a=2,得 a=2 2-2;
当两圆内切时,由 2a-a=2,得 a=2 2+2.

所以 a 的最大值为 2 2+2,最小值为 2 2-2.
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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+ 15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 4 3 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________ .
解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,

|4k-2| 4 2 即 2 ≤2.整理,得 3k -4k≤0.解得 0≤k≤3. k +1
4 故 k 的最大值是3.
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1 2

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3

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4 5 6 7

8 .已知集合 A = {(x , y)|x - y + m≥0} ,集合 B = {(x , y)|x2 +

m<- 2 . y2≤1}.若 A∩B=?,则实数 m 的取值范围是__________
解析 如图,A={(x,y)|x-y+m≥0}表示直

线 x-y+m=0 及其右下方区域, B={(x, y)|x2 + y2≤1} 表示圆 x2 + y2 = 1 及其内部,要使 A∩B=?,则直线 x-y+m=0 在圆 x2+y2=1 |0-0+m| 的下方,即 >1,故 m<- 2. 2
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B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.
解 (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交 点为(3+2 2,0),(3-2 2,0).
故可设圆 C 的圆心为(3,t),

则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1.
则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3.

所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
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B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.
? ?x-y+a=0, ? (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), 其坐标满足方程组: 2 2 ? ??x-3? +?y-1? =9.

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.

由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0.
8-2a+ 56-16a-4a2 8-2a- 56-16a-4a2 因此 x1= ,x2= , 4 4
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练出高分

B组

专项能力提升

6 7 5 1 2 3 4 7.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交

点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; → → (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且OA· OB=0, 求 a 的值.

a2-2a+1 从而 x1+x2=4-a,x1x2= . 2 → → ∵OA· OB=0,∴OA⊥OB,
可得 x1x2+y1y2=0,
又 y1=x1+a,y2=x2+a,



所以 2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.



由①②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1.
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