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数列专题复习教案


年级 学生姓名
专 目 题 标

数学

科辅导讲义(第 讲) 授课时间:
数列专题复习

授课教师:

数列的通项公式、数列的求和 数列的求和 数列求通项公式、求和

重 难 点 常 考 点

数列专题复习

等差数列

定义 公差(比) 通项 an 前 n 项和 Sn 中项

等比数列

m?n? p?q

题型一:等差、等比数列的基本运算 例 1、已知数列 {an } 是等比数列,且 a2 a6 ? 2a4 ,则 a3 a5 ? A.1 B.2 C .4 ( D.8 ( ) )

例 2、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= A.58 B.88 C.143 D.176 (

变式 1、等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4

)

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2、若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

.

3、已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。

题型二:求数列的通项公式 ⑴.已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法(累加法) 例 1:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式;

变式

已知数列 {an } 满足 a1 ? 22 , an?1 ? an ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式.

(2).已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法(累积法) 例 2、已知数列 ?an ? 满足:

an n ?1 ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1

变式

已知数列 {an } 满足 an ?1 ? n an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
2

第 2 页 共 8 页

(3).构造新数列 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解 例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

变式

已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? 4an ? 5 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

2°递推关系形如“ an ?1 ? pan ? q 例、已知

n

”两边同除 p

n ?1

或待定系数法求解

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

变式

已知数列 ?a n ? , an ?1 ? 3an ? 6 , a1 ? 3 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。
n

3°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ,两边同除以 an an ?1 ( 1 p,q ? 0) 例 1、已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? an ? 的通项公式. ( 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

变式

数列 ?a n ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?a n ?的通项公式. 4 ? an

第 3 页 共 8 页

d、给出关于 Sn 和 am 的关系( an ? S n ? S n ?1 ) 例 1、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) ,设 bn ? Sn ? 3n , 求数列 ?bn ?的通项公式.

变式

2 设 Sn 是数列 ?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1 , S n ? an ? S n ?

? ?

1? ?(n ? 2) . 2?

⑴求 ?a n ?的通项;

⑵设 bn ?

Sn ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

题型三:数列求和 一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
前 n 个正整数的和

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 n ( n ? 1 ) 2 3 3 3 3 ] 前 n 个正整数的立方和 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? [ 2
前 n 个正整数的平方和

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

例 1、在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2+an=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn 是数列{|an|}的前 n 项和,求 Sn.

第 4 页 共 8 页

二、错位相减法求和(重点) 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时 一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 转化为同倍数的等比数列求和。 例 2、求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

q ;然后再将得到的新和式和原和式相减,

变式

已知等差数列 ?a n ? 的通项公式 an ? n ,等比数列 ?bn ?, bn ? 2

n ?1

,设 Cn ? an ? bn , S n 是数列 Cn 的

前 n 项和,求 S n 。

三、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 3、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? a a a

变式

求数列{n(n+1)}的前 n 项和.

第 5 页 共 8 页

四、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cos n? cos(n ? 1)? (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

例 4 求数列

1? 2

变式

1、在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

2、 已知等比数列{an}中, a1=3, a4=81, 若数列{bn}满足 bn=log3an, 则数列?

?

?bnbn+1?

1 ? ?的前 n 项和 Sn=________.

题型四:等差、等比数列的判定
第 6 页 共 8 页

例 1、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

Sn ( n ? N ? ) .求证:数列 ?bn ?是等差数列. n

变式:已知公比为 3 的等比数列 ?bn ?与数列 ?an ? 满足 bn ? 3 n , n ? N * ,且 a1 ? 1 ,证明 ?an ? 是等差数列。
a

?1? 例 2、设{an}是等差数列,bn= ? ? ,求证:数列{bn}是等比数列; ?2?

an

变式 1、数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn}是等比数列;

2、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? 4an ? 2 等比数列;

数列 ?bn ?, bn ? an?1 ? 2an ,求证: ?bn ?是 ,

课后作业:
* 1、已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=a2 n+n-4(n∈N ).

第 7 页 共 8 页

(1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式。

2、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N*),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式.

? 1 ? ? ? 3、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的前 n 项和 Tn 。 ? n n+1? ? ?

4、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n,数列{bn}满足 b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn; an· bn (3)若 cn= n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

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