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专题一 复数与数列


专题一 复数与数列
复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握. 例 1 设数列 z1 , z 2 ,?, z n ,? 是首项为 48,公比为 数列. (1)求 z 4 . (2)将这个数列中的实数项,不改变原来的次序,从首项开始,排成

1 ( 6 ? 2i) 的等比复 4

a1 , a 2 ,?, a n ,? ,试求

a 3 .
(3)求无穷级数 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 的和. 分析:利用三角形式解决本题. 解: (1) r ?

1 1 ? ? ( 6 ? 2i ) ? (cos ? i sin ) . 4 6 6 2

z 4 ? 48r 3 ? 12 2i .
(2)使 r 为实数的最小自然数是 6,数列 a1 , a 2 ,?, a n ,? 是首项为 48, 公比为 r 的等比数列.所以 a3 ?
6
6

3 . 4

(3)这个级数是公比 ? r ? ? 的无穷等比级数,从而 和?

1 8

48 1 1 ? (? ) 8

?

128 . 3

例 2 今定义复数列 a1 , a 2 ,?, a n ,? 如下,

a1 ? 1 ? i, a 2 ? 1 ? 3i, a n ?1 ? a1 ? kan ( n ? 2) , k 为正的常数.问
复数 a n 的辐角的正切与哪一个值最接近?(当 n ? ? 时) 分析:寻求 a n 的一般式,再注意取极限的方法以及相关讨论.

解:a n ?1 的辐角记作 ? ,a n ?1 ? a1 ? kan ? a1 (1 ? k ? ? ? k

n?2

) ? k n?1a 2 .

(1)当 k ? 1 时, a n ?1 ? (n ? 1)a1 ? a 2 ? n ? (n ? 1 ? 3 )i , 所以 tan? ?

n ?1? 3 ? 1(n ? ?) . n

(2)当 k ? 1 时, a n ?1

a1 (1 ? k n ?1 ) ? ? k n ?1 a 2 1? k
1 ? k n 1 ? ( 3 ? 1)k n?1 ? 3k n ? ? 1? k 1? k

所以

? 3k ? 3 ? 1 1 ? ( 3 ? 1)k n ?1 ? 3k n (k ? 1) ? tan? ? ?? (n ? ?) . k n 1? k ?1 (0 ? k ? 1) ?
涉及复数列的问题,所学过的数列的求和公式及构造方法同样可以应 用到复数列中去. 例 3 (1)设在复数列 z 0 , z1 ,?, z n ,? 之间有如下关系:

z n?1 ? z n ? ? ( z n ? z n?1 )( n ? 1,2,3,?) , 其 中 ? (? ? 1) 是 常 复 数 . 当

z 0 ? 0, z1 ? 1 时,试将 z n 的值用 ? 表示.
(2)若(1)中的 ? ? 1 ? 3i ,求在圆 | z |? 10 ( z 是复数)的内部总共 含有 z n 的个数. 解: (1) z 2 ? z1 ? ? ( z1 ? z 0 ) ? ?

z 3 ? z 2 ? ? ( z 2 ? z1 ) ? ? 2
……

z n ? z n?1 ? ? ( z n?1 ? z n?2 ) ? ? n?1

于是,从 ? ? 1得, z n ?

1?? n . 1??

(2) ? 1 ? 3i ? 2(cos ?

?

? n? n? 所以 ? i sin ) , ? n ? 2 n (cos ? i sin ) 3 3 3 3

要使 z n 在圆 | z |? 10 的内部,它的充分必要条件是 以

| z |? 10 ,所

1 n? | z n | 2 ? 100 .即 z n ? z n ? 100 ,而 z n ? z n ? (1 ? 2 n?1 cos ? 2 2 n ) ,所 3 3 1 n? n ?1 以 (1 ? 2 cos ? 2 2 n ) ? 100 . 3 3 n? n ?1 又 1 ? 2 cos ? 22 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 2 n ? (1 ? 2 n ) 2 , 3
能适合 (1 ? 2 ) ? 300 的 n 只是 0,1,2,3,4 .在逐个验证这五个点确信都在
n 2

圆 | z |? 10 的内部,故符合条件的点共有 5 个. 复数乘除的几何意义是处理某些与几何图形有关的数列的基本手段 之一. 例 4 设平面上有点 P0 , P , ? ,如图所示,其中,线段 OP0 , P0 P , P P2 , ? , 1 1 1 的长成首项为 1,公比为 r 的等比数列. (1)若 0 ? r ? 1 ,则当 n ? ? 时, Pn 与哪一点无限接近? (2)将(1)中的极限点用 Q 表示.若固定 r ? 述的是怎样的曲线?

1 而 ? 变动时,点 Q 所描 2

y

?

P2

? P1
O
P0

?
x

解: (1) ? ? r (cos? ? i sin ? ) ,此时,若将表示点 Pn 的复数记作 z n ,则 有 z n ? z n ?1 ? ? ,其中 z ?1 就是原点 O .于是
n

zn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? n ?

1 ? ? n ?1 (? ? 1) . 1? ?

1 | ? n ?1 | r n ?1 .因此,若 0 ? r ? 1 ,令 n ? ? ,则 | zn ? |? ? 1?? |1?? | |1?? |

1 1 所表示的点最靠近. |? 0 , z n 所表示的点与 1?? 1?? 1 z ?1 1 (2) z ? ,则有 ? ? , r ? 固定, ? 做变动,点 ? 总在以 1?? z 2 | zn ?
原点为圆心的圆周上.但因 | ? |? 当点 ? 在以原点为中心, 心,

|z| 1 ,故有 ? 2 .于是 | z ?1| 2

1 1 4 为半径的圆上,点 相应的在以点 为圆 2 1?? 3

2 为半径的圆上. 3

常见的分析几何图形中的数列问题的方法结合复数乘除的几何意义, 是解决这类问题的重要手段。 例 5 设在复平面上, (1)原点为 O ,表示复数 Z 的点为 A ,点 B 由 | AB |? k | OA | , AB, OA 的交角为 ? 所确定。试求表示点 B 的复数。这里 k 是实数。 (2) 点列 A0 , A1 , A2 ,?, An , ? 由下述方式确定:A0 取 (0,0) ,A1 取 (1,0) ,

An ?1 (n ? 1,2,3,?) 由 | An An ?1 |? 2 | An ?1 An | ,以及 An An ?1 , An ?1 An 的
夹角 ? 所定义。试求被表示为 An 复数 z n 。 (3)若(2)中, ? ?

?
2

,且记 S1 ? z1 ? z 3 ? ? ? z 2 n ?1 ,

S 2 ? z 2 ? z 4 ? ? ? z 2 n ,将 2S1 ? iS 2 化简。

解: (1)将表示 B 的复数记作 ? , 则对有关系 OC ? AB 的点 C 表示为 复数,就是 ? ? z ,从而

y

B(? )
C (? ? z ) ? A(z ) ?
O

? ? z ? kz(cos? ? i sin? ) ,所以

? ? [(1 ? k cos? ) ? ik sin? ]z 。
(2) An ?1 An ? OP , An An ?1 ? OQ 所表示的点 P, Q ,则用复数分别表示为

x

z n ? z n?1 , z n ?1 ? z n 。由 ?POQ ? ? ,推出 z n ?1 ? z n ? 2 ( z n ? z n?1 )(cos? ? i sin? ) ,因此,数列 {z n ? z n ?1 } 是首项
为 z1 ? z 0 ? 1 ? 0 ? 1 ,公比为 2(cos? ? i sin? ) 的等比数列。 所以 z n ? z n ?1 ? 2 所以 z n ?
n ?1

(cos? ? i sin ? ) n ?1 ( n 是正整数) 。

1 ? 2 n (cos n? ? i sin n? ) 。 1 ? 2(cos? ? i sin ? )

(3)数列 {z 2 k ?1 }, {z 2 k } 仍为等比数列,故可求得 2S1 ? iS 2 ? ni 。


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