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通向金牌之路


年第
总 第

!



? 。期

中 学物 理 教 学 参 考

口 竞赛辅 导 口

通 向 金 牌 之 路


二 典 型例 题 解析


高 中物 理 竞 赛辅 导 讲 座
华东 师大 二 附 中
张 大 同 #特 级 教 师 ?

第四讲


能量 和 动 量
/0
,


#下 ?
,



艺一 脚

一 #/ 、 名 ( 一 , 1 !


0

? 2 一 % ! #0 一 0

质量 为 % 的 滑 块 可沿 竖 直 轨 道 上 下 运 动 轨道 与滑 块 之 间 的 最 大 静摩擦 力 和 滑 动 摩 擦 力 都是 & 一 % ! 令 ) 轨 道 下方置 一 倔 强 系 数 为 ? 的 弹簧 弹 簧 及 “ ( “ ? 一 一 ? 一 一 一 其顶 板 的 质量都 可忽 略 不 计 #图 ( 现 在让 滑 块 从 离 ?
,

可解得
0 ‘

一 # 0% ! 一
、,

丫%
所以

3

、(

己 4 5 、 从 ! ?6 ( 走
+

,







“ “























, 、

因 为要 求

7



,

+

0% !

7 丫%

3

!



十 5 走8 , + 6,

!

,

弹簧 顶 板
#? ?

,

处 由静 止 落 下 试求
.

+

滑 块 能 到 达 的最 低位 置
+

即 所以 当
落毛



/9 ? , !

( # ? 滑 块 到 达最 低 位 置 后 第 一

6


< ,一
,

9

?

9





次反 弹 的 高度 分 析 这 一类文 字计 算题 因 为
:
,



不 知道 各 已 知 量 之间 的大 小关 系
+

,

因 此 可 能 出 现 各 种 不 同 的情 况 常

需要 进 行 讨 论

+

;; .拿


?



?



滑 块 的 反 弹高 度 为
一 、 一 戈 了%
!? #
,




(

4 5 /, = ! 一 % ! ?6 /

+



?


,

? % 时 滑 块 反 弹 后 将 超 过 弹簧 原 来


高 度 弹 簧 恢 复 原 长 后 滑 块将 和 弹簧分 开 继 续 向 上
,


,

:

#? ?

设 滑块 到达 最 低 位 置
:
,



(

作 匀 减 速 运 动 设 滑 块 总 共 能 反 弹的 高 度 是 能原理有

&

为?

,

由功

时 弹簧 被 压 缩 的 长 度 是 原理 有
? 粤


由功 能
可解 得
、 、 “ 一 。 # ? 、+

告 一


‘艺

# 、?





( , # ‘)

?

#

? “+



, 一




,

,

?

,

可解得
?

.

% ? 十 竺丝卫 业. 宜土卫鱼鳖 , ) 一 茗
&

一 ?? # +

了?

,

/

)

+ 0掩 2 13

# ,

? )壳
?



:
,

) ? , 滑 块的 反 弹 高度有三种可 能 的情 况

宇 宙 间 某 一 惯 性 参 考 系 中 有 两 个质 点 质量 分 别 为 阴 和 ; 相 趾 乙 开 始 时 4 静 止
,
&

)

4
,



5 若


龙、6 ? 、 +

令?


#

,

具 有沿 作用
,

飞 :



连 线 延 伸 方 向 的 初速 度
&



&

由于 受 外 力 的
= =

:

做匀 速 运 动 试求
4




,



?? # +



夕? 乙

久了?

)

#

又 , 2
,

:

间 距 离最 大 时 的
4


<


&

?) ,

试求 从 开 始 到


:

相距 最 远 时 力 < 做的 功

,

6
,

7? # ? 0 %

,

? 7,试对 ? > ,
&

?),

的 结 论 加 以 讨论
&

则滑 块 不 能 反 弹 即反 弹高 度 为零


,
,

?

?2 ,

将 原来 的惯 性 系 统 记 为
<
、‘





系中 : 为运

、‘
,

8 设 滑 块 只 能 反 弹 到 弹簧 初 始 高 度 的 下 面
由功 能原理
,



,

动 质点 要 计 算
,
&

力做 的 功 相 当 困 难 因此 改 取 相 对
?

静止 的参 照 系 、 也 是 惯性 系 , 在 系 中


? 因为 : 相对
&

系 做匀 速 运 动 所 以
&

:

没 有位 移 所以 力 < 做功为
,

张大同老师曾指导

0

位 学 生 分别 获 第 ) 届 ) 届 ) 9 !


&

零 计 算 得 以 简化 在
,

,

&

?

,

系中

4

开始 以
,

?

, 。

背离
4


:



届 中学 生 国际 奥 林 匹 克 物 理 竟 赛 金 奖 张 老 师 也 因 此 获得 李



政道 物理 奖 学 金

?

伯乐 奖



&

动 最 后 在 万 有引 力的作 用 下 减速 到 零 此 时

:



距离最大 记 为 几
,

> 、

,



、‘

系 中 根据机 械 能 守恒 有
,

,



% ? ? 二 % 刀 。 一 公 一 . 一 篇 一 好 二一一 ) Α%>
;


?

%

?

,

Β

从 滑 块 开 始运 动 到 刚 完 成 上 述 次 数的 碰 撞 期 间 箱 子 的 平均速 度 是 多 少 Η 分 析 这 种 多 次相 互作 用的题 目 往 往 是 先做 几次
,

#( ?

:

所以
此时
Ε Γ


? Φ

=

> 、

? 3? Χ
=

? ? 八 3Χ ? 一 ? 若


+

之 间 的 万 有 引力
一 Χ 爪 ? 6 ?急 2 % # 3Χ
+ 二

得 出 结果 再寻找 物 理 量 变 化 的 一 般规律 这 一 工 作 需 要 有 信 心和 耐 心
+

,

,



Δ ?“ ? 一? 若 6
=

5

Χ 若?

,

这 就 是 此 时的
#( 回 到 ?


Γ

力 的大 小
,

+

设 滑块 与箱 壁 完成 第 Ι 次碰撞 后 滑 块 和 Δ “ 箱 子相对 于 地 面 的 速 度 分 别 为 和 第 次碰撞后




:

#?

,

,

‘+

系 当
,

Ε



Φ

的 间 距达 到 瑞 时
,

> :

,

Ε



Φ



#以

Δ

的方 向为 正 ?



Δ。

速 度 运 动 根 据功 能 原 理


Γ

力 做的 功
Χ
? ?



〔 # %


%

4

? ?? :一 。

Δ 合 晋: 〔 ? 卜 弩

,

;
解得
当 ΙΜ
(

’ Δ ? 4 ’Κ
Ι



一 ”Δ
。。

。’

、 刀

一Κ 2 一Λ 刃
??
。,








‘4 Χ % ? #

李 牛
Α
=



?

音一
%
Δ
:

#?

一音
。,

‘4

?

??

。,

Α%

= Β


4 饥Κ 3 2 机Δ
Κ? Δ 3

? 由 # ? 中可 知
Χ
, 1

材 #李 一 典 ? 一 粤%
Α) Ν1
、 、 ,

Δ


? 3

,

一 Κ : 2 一 Λ #Δ ? 一 # 4 一, ?
。,

?2

Λ 3Δ 。 ,



因此

解得 Ο
#Π 因为 ? % ?
> 、




Κ
1

Ρ 3



合一

#

,

? 。

?

2 ,


,

+

1 当 Ι一 时

:

只 能 取 正 值 所 以 从 #? 的解 中可看 ?

%
勺1

Δ

1

4 %
1

2 %

Δ。


,

出 讨 论 结果 只 适用 于
Δ。

一 Κ 2 #一Λ ?

Δ

。+

9 丫3Χ 材6 Θ


。 ,

解得
,



1



冬仁 4

1 、

#一 亡 ?

?



Δ 。,

二。



冬仁 一 #一




?

?

Δ Σ



+

否 则几 ? =
> :

,

即在 Ε
,

Φ

相 距无 穷远 之 前
,
Α

Ε

不可 能 达
+

此 时系 统的 动 能 为
:



Δ

。+

% 当?
Ε



? 二 时 万 有 引 力 消失 此时
Δ
,

Γ 一 。



:







粤%



#Δ 三 4



?一 三




%

Δ

# 落 4

。(

?

?

+

中 设
,

最 后 的 速度 是



,

Ε

用 动 能 定理 可 有


?

: ,

刀3 ? 犷





, 丁 刀3 ? 汽



一 一行

%

Μ 二Μ ?
)

?

系 统损 失 的 动 能 是
,

△:

/

1

一:
?

一:


/。



粤%

(

Δ

一 若

丰%
5

Δ

# 若 4

Λ 3?

?

解得
?
: ,

刁票 孕
力做 的功

9 了、

一砂



一 币节
按题 意 有





,

阴功







系 中的速 度 则 为
?
Α



7

5 + )

,



刀 。一 ?

Α

一9

。 (
+

#

于是

Γ


9
5
+

, 5 + 丫一 )
7
?

9



+

Τ 一:

含 一

Η #?



?( 4

Δ ? 合

:: 一 仁

Δ ? 合

一 “ Χ



1

+ ?
,



: 、‘

代 入 后 可解 得
Δ Δ 。 Τ 一川 # 一


所以 要 系 统 的总 动 能损 失 小 于 初 动能 的 5 呱 碰 撞 次 ) 不 得 大于 5 次 数
+


量也为
+

Π

如 图 Π 所 示 质量 为 % 的 长 方 形箱 子 放
,
,
+

杯平
,

‘ ? (

滑 块从开 始 运动 到 与 箱 壁 发 生 第 一 次 碰 撞 的
Υ

时间 是
Α。 一

在 光 滑 的 水 平地 面 上 箱 内有 一 质
%

— ?
)

,

的 小 滑 块 滑 块 与箱 底 间
,

以 后 每两次 碰 撞 之 间 的 时 间 依次 是
Ε
Φ
,,=

无 摩 擦 开 始 时 箱 子静 止 不 动 滑 块
:
+

Υ

Υ


Υ
( 才

Υ


厄 定的速 度
+

Δ



从 箱子 的

Ε

壁向

习?

Κ : Δ : ? 一 ?一赢

一 矛瓦

‘Π Μ

矛瓦



壁 滑 动 假 定 滑 块 与箱 壁 每 碰 撞
,

总 时 间是
Π
, 。 ‘一 ‘ 十 ‘

一 次 二 者 相 对 速 度 的大 小变 为该



十 ‘“十
,

Π ‘

Υ



次 碰 撞 前相 又 速 度 的 寸
#?





,






Η

在 这 段 时 间 内 箱 子 运 动 的距离是
0




以 十‘十“ 十“?



2 )4
Υ 一 下丁 乙
,

Κ ?Α ?
?
+

4

Κ 3Α3
+

4



Κ Π
+

ΑΠ

要 使 滑 块 与箱 子 这 一 系 统 损 耗 的 总 动 能 不超
,

过 其 初 始 动 能 的 5 铸 滑 块 与箱 壁 最 多 可 碰 撞 几 次 )
+



十 — 十 ,Ξ Ω

飞 十 一 万 少 一 二 亡 Υ ? 十Λ 十 扩 十 了 ? 巴


Υ 一

,

?

+



Π?

+

平均 速 度是
? Ψ

力 度
刃。
+

Υ ?

+

)

米 直径
,

,

, 一。

+

) Π 米 的 圆 柱 体 不 计 空 气阻
,



一丁 一
5





运 动 员入 水 后 水 的等 效 阻 力
,

Γ

?

尸小
’‘ Ν Ρ

质量 为 ? 开 始时 静 置 于 光 滑 水 平 面 上 的 滑 块 内有 二 段 长 度为 ? 且 互 相 连 通 的光滑直 轨 道 Ε Φ 例
,


作 用 于 圆 柱 体 的 下 端面
随 入 水深度
,

Γ

的 数值

]

[

变化 的 函 数 图象如 图


— (

?

和 刀Ω
5 ?
,

Ε Φ

与 水 平 面成
%
:

>

一? )





,

Φ Ω Ε

将 一 质量 为
+

的 光滑 小 球放 入

为水 平 方 向 #图 让 它 由静 止 开
,

? 所 示 该 曲 线 可 近 似地 看作为 椭

圆的 一 部 分 该椭 圆 的 长 短 轴 分 别

,

始下 滑 试求 小 球经过多少 时 间 后 由 Ω 滑 出 Η 处 拐弯时 间 可 忽 略 ? ? 解 # ? 当 小球从 Ε 滑 到 Φ 时 取 ? 作 为 参 照 系
:
,

与坐 标 轴 汤 和 轴相 交 于
[

∴Γ
,

重 合 椭 圆与
Γ

+

[








?

#设小 球 在 Φ

,

轴 相交 于 Γ 一 # 6 (? % ! 处 为 了 确 保 运 动 员 的安 全 试 计算 水 的深 度 至 少 应 为 多 深 Η
一<



+

,

小球受 到 了 三 个 力 重 力
#图 ?
+

:

明!



弹 力 Ζ 和 惯 性力

%



#水 的 密 度 尸2
:

+

) 只 Θ= /!
Π

6%

Π

?
,

解 设 运 动员 起 跳 时 为 初 状态 入 水后 到 达 最 深处
时 为 末状 态 初 末 状 态 动 能 都 是 零 整 个 过 程 中有 三 个 力 做 功 重 力 做功为 Ο
,
+



,

Χ

,

水 的 浮 力 做 功为 Ο

,

,

水的 5 8



阪一一刃 …
图 Α5 图
0 1 > Ι

Μ

么君众

阻 力做 功为 Ο
Χ

Γ

,

由动 能 定 理 可 知
=
, ,

& Γ Ο 4 Ο 4 Ο 2

渔兰呈
:


2 %
Λ= 0> >
+

设水深为 ? 一?


?


? , &

# ?

? +

运 动 员从

:

运动 到
Ε(
Φ

Α

Β 时? 图 >
4 6Γ )
0

,

,

水的 浮 力均 匀 增大

,

% !

4 %
0

> ? Λ= 0 >



做 的功 为 Δ Χ

分 析小球
)

Ζ 4 %
泛 一 入夕 /
,

>?0 1 > Ι

2 %

!

分析 滑 块 . ? 联 列 以 上三式 可 解得

, ?+

一合 普 二 一音
( 5 Η 59
,

1

从 ? 到 Ι 浮 力 做 的功 为
6

1 / 2 3 4 + ,? . + 5. / 2 3 ,?

丫 1对 2 万
7

3 4
9
?

?

5 Δ

/2

83

一奇
?

Φ

, ( Η 5 1 、一 ) 4 9

?

5

印 !“ ?了 #“ 八 一 州 口
?

早 & %?? 爪 平 奋 了

( 石

% ?

去 一

人 Χ

利 用 匀 变速运 动公 式
:
,

! 水 的阻 力 做 功 为 图 > 中 曲 线下

的面积

<



6 1 4 小球 滑 到 ? 点 转弯 时 对 滑 块 有 一 个 比 较大
,

. ;
? 3 、 Κ

>

粤 =杀终李 竺

8

1/ 2 3 49

一于 音
一音



?

阴# 、
&

二? #

?

Δ
,

的作 用 力 因 此 小球 在 ? ? 段 运 动时 相 对 于 滑 块 的速 。 度 不 再 是小 球在 Α ? 段 相对 滑 块 的末速 度 丫 石 厄而
, ,

将8



Ε Δ 式 代入 5 式 可
3 ,

,

0

解得
? +
二?

图 >Β
Ι

为求 扩 可 设 小球在 的速 度是
Β /
,

,

??

段 相 对 地 面 的速度 是
?
Λ Ι

Β

,

滑块

? > ? Φ , 二Γ Η %
Ι


?
。一

? 9? Φ ,

+ ? 2? 0 ,

二ΓΗ

%

Ι

一?

一0 /
&


&


&


&

Μ 合

=

,



!

在 水平 地 面 上 置 有 一 质 量 为 ; 的 滑 块 滑
,

块 内 有 一 圆环 形 细 空 心 通道 半 径为 质 量为
Ρ

Σ

&

通道 顶 部 有 一
,

?

一 材刃 ;

?

, 的 小球 ? 图 > Φ



开 始 滑 块 和 小 球 都静 止

可求 得

。‘

一Ν +

Ν ;

Ο

了Π ? 对 +

? ,# Π ΘΚ3

?;

后 来小 球
2 ? ,

一微 动而 向 右 滑 下 ? 忽 略 一 切 摩擦 ,


&



求 小球 的 轨 迹 方程
=


ΤΙ

‘ Ο 2? Ν Υ

所以 总 的时 间
Ω

2 ; 丫 ?厅

? ; + ? ,/

&

? 相对地 面 ,
?) ,

一+

) 亡

习 焉 弄 蕊

仁丫? 0; +

7? , +





?

计算 小 球 运动 到 ? 点 时 轨迹 的 曲率 半 径
,


,

,
?

解 建 立 两 个坐 标 系
,

?



心 一
一图 Φ 一
>
,

?

了尸 尸 一了

个 建立在 滑 块 上 以 圆 环 中 心 右
,

Ζ

为 原点
,

[

轴 水平 向
Ζ

Ξ 跳水运 动 员从 高 于 水 面 ? 一 > 米 的跳 台 下 假 如运 动员 质 量 为 ? 一 ! Ψ # 其 体 形 可 等 效为长 落


&

9



轴 竖 直 向上 另 一 个 建 立 在 地 面 上 以

=

点的初

,

始 位 置 为 原 点 两轴 的 方 向同 滑 块 坐 标 系
,

+

设 小球 在 地 面参 照 系 中 作 曲率半径 为 内 的 曲线运动
,

,

#? ?

因 为 由 滑 块 和 小 球 组 成 的体 系 原 来 静 止 而 且
?
+
+

即有

?

在 水 平 方 向 上 保 持 动 量 守 恒 所 以 它 们的 质 心 的 位 置

一? # 一? 一?

Ν

孟内 ?

,

保持 不 变 因 此 在 地 面 参 照 系 中有
阴Β
Η

可 解得
5
[
‘ ? ,

。一


4 ”
(

8

?

+ 一)






,,,

在滑 块 参 照 系 中的位 移 为
Ι ?

那么

这个结 果 和 第二 三 讲 中的结 果 是 一 致的



Σ Π ,

一、
&

& : ?
,

3 生

]



了;

Υ


&

Β

如 图 > 所 示 有 两个 质 量 相 同 的小 球 在 /
,

将8 式 代 入 角 式 消 去 二
[


;

,

可得

一 光 滑 的 水 平 直 滑槽

4:

内 运 动 滑槽 两 端有 固 定 的
,
&



;+ ? ? Υ 几厂 工 气
&

壁 二 球 之 间 及 小球 与壁 之 间 的 碰撞都 是 完 全弹 性 的

,

开 始时
&

,

> )


两 球 分 别 位 于 将 滑槽 三等 分 的两 个 分 点
,
&

因 为 滑 块相 对 地 面 在



方 向 上 没 有运 动 因 此
,

处 二 球运 动 方 向相 同 但速度 大 小不 一 定 相 同


[
,



一 ∴?

Ε
,

?> ,
,

如 果 两球 之 门 的 第 二 次 碰 撞是 在 滑 槽 中 点迎
&

在滑 块 参 照 系 中 小球 的轨 迹是 圆 即 有
一 么十 夕斋 Σ
,
&

,

面 相 碰 求二球 初 速的 比 值

Δ

) ? , 如 果 两 球 之 间的第
&

9
,








5 代 入 Δ 式 可 得 小球 在地 面 参 照 系 中 的轨 迹 方
,
,

碰撞 是 在 滑 槽 中 点 迎 面 相 撞 求 二 球 初 速 的 比 值 能满 足 要求 的 解有 几 种 ?



;+ ? 夕 一 丽产 漏 下 ∴


?

,

? ?

_ 3 Ι 一八



解 两 个 质 量 相 同 的小球发



?

图 >/
&

这 是 一 个椭 圆 方 程 其 半 长 轴

,

: ] Σ ?

方 向, 半 短
,

生 完 全 弹性对 心 碰撞 碰 撞 结 果 是速 度交换 因 此 可 以
β 两 个小 球各 自按 自 己 的 速 度 在 二 条 相 邻的平行轨 道 上运 动 Ρ β 两小 球 每相遇 一 次 等 效 于 > ) 两 球碰撞 一次

,



4 一
?

; Σ ? 在 二 方 向, ;+ ? , ) 有 了椭 圆 的 方 程 后 用 解析 几 何的知 识 可 以 得
&

把本 题 中


> )


两 个 小球的 碰 撞过 程 等效 为
,


Ρ



,

,

&

到 它 在 各 顶 点 的 曲 率半 径 在 第 三 讲 中 我 们也 讨 论 这
,

个 问 题 在 此 我 们 仅 用 牛 顿 定 律 来 求解

&

&

?> ,
Θ

分别 作 出
,

Ρ



β

两球
&

设 小球 在
α



点 时 滑块 的 加速 度 为


Ρ ;

?

向右 , 轨 道
,

的 一 图 即 可 看 出结 果
在图
4:
)。 中 Γ
,

Τ

对 小 球 的弹 力 为 ⊥
⊥ +?
Ρ ;

?

水 平 向左 , 则 有
&

Ο ?

ΝΙ
&

,

Σ

&

?滑 块参 照 系



β 点是 第一 次 相 遇 ? 是 第 二 次 相遇 设
Ρ


,

&

年了又石
图 )Ξ
>
,



,

一 材口;

长为
,

2
Ρ


,

? 地 面 参照

系,

要求 ? 在
β

4



:

其中

Ν

为 小球 此 时 刻 竖 直 向下 的 速 度 ? 此 时 小球
,

中点 则 别为

走 过 的 路程 分
)
,

和 滑 块 都没 有 水 平 速 度 ,
>

根 据 机械 能 守 恒
Λ
Ψ

&

Τ


由 Η 述 三 式 可 解得

?

一 ? # Σ

]

]

,

一 下一 2 一卜 下二 艺 χ 乙

]
,



, 了2 Ζ

,

Ν 。,




χ

, + ,+

Π 冬一琴


&

,

入 一 ? ; +



人 ,3 了

?

, ?

所以


Ν。

β ?Ν Ο

。?

? 八 Ο
,

Β ? >>

? 、 Σ

) ? ,要 求
&





β

两 小 球 的第
,

9

次 相 遇 是在
&

4
Τ



:

中点
Ρ


根据 牛 顿 第

二定



α

迎 面 相遇 两 小球速 度 之 比 有 多 种可 能 设

时刻

β




,

在 为

八:

中点 迎 面 相 遇 则
了。





β

两 小球 经过 的路 程 分别
,
,
,

所以
Γ ]
α

;+ 功




]




,

&



,

+

一不 Β 一 找
δ

] 刀

?



&

含一

&

设 在 ? 点 处 小球 和 滑 块 相 对 地 面 的 速 度 分别 为
二。

, β

一 ‘ +

‘ Ν 一

、‘

?



二;

,

因 为 小球 相 对 滑 块的 速 度
飞ε ?



式中

3


&

为 零 或 正 整 数 因 为 题 目要 求 第
0
,

9

次在中
0
&



刃?



Λ ;

,

间 相 遇 在 此 之 前 已 相 遇过

次 所 以 两 球 中至 少 有 一
3


所以

;+ ? ; 在滑 块 参 照 系 中 小球 做 半 径 为

&

球的 路 程 大 于
Σ

> 0
,

小于
&

> 9

,

因此
,

中 至 少有 一 个为
,

的 圆 周 运动 所 以 有
&

,

?

一? # ] ,

Ν

? 点Σ

Ρ , 为偶 为 奇数 时 小球 在 Τ 时 刻 由 : 向 4 运 动 数 时 由 4 向 : 运 动 同 理 当 为奇 数 时 β 小 球 在 Τ





,



时刻 由 Ε 向 Φ 运动
迎 面相 遇
#5
, ,

,

/

为 偶数 时由
,

Φ
,


+

Ε

+

若要 求 改



]

平 方 向速 度做斜 抛 运 动 很容 易 算 出水 平 路程 为

,

,

1

4 / 必 须 为偶 数 所 以 # 1


? / 的取 值 只 能 是

一)

?,

=?



#5

,

( ? #5

,

5 ? #( 5 ? #= 5 ? 五种


,



,

将 这 五种 情 况




)。
,

代入 上 面 二 式可得
1
, ? 5 /一 ) , ? 5 /2 (

:

时 时 时 时 时

,

Δ

?

6
6 6

Δ3

2
(

.

.
6

.
.

Φ

丫厄 孟 奋6
当 ),

。Σ



&

8 5
、Σ

) 口Σ

1
1

,

二:

: 6Δ 2

丫 . 瓦石

丫 兀 丽 ,



&

所有小球 第 二 次 落在平 板 上 时 形 成

二5 / ? 5
, , ? ( / 2 5

,

Δ ,

Δ :

2 ( 6 (
Π6 (
.


1

,

Δ 、 Δ
.

( Δ 6 2

,

二) / ? 5
,

,

Δ 3

2 ?6 (


,

)。

而 酥6

。Σ



有 一 块 质 量 和 线 度 足 够 大 的 水 平板 绕 竖 直轴 以 匀 角 速度 。 转 动 在 板上方 < 高处 有 一 群 相 同



_

,


?

)产 喇

厄又 奋妻

。尺



+

为半 径 的 圆 此 时单 位 长 度 内小 球个 数 为
> 几一

&

的小 球 #可视为 质点 ? 它 们 以 板 的旋转 轴 为 中心 ? 为 半 径 均 匀地 在水平 面 内排 成 一 个 圆 圈 现 让这 群 小 球
,
,
+

⊥? )


二Σ

,

因 此 本题 所求 的

>+ ?



、 。

立_
2 γ‘

同时 由静 止 开 始 自 由下落 设 每 个 球 与 平 板 发 生 碰 撞

,

只 一 矿 η Ω

的时 间 非常 短 而 且 碰撞 前 后 小球在 竖 直方 向 上 速 度

,

丫 臀
,

,)

,



)。

的大小 不 变 仅是 方向反 向 而 在 水 平 方 向上则会 产 生
滑 动摩 擦 摩擦 系数 为 芦
,

,

,



试求这群小 球第 二次 和 第 一 次 与平 板碰撞 时 . 位长 度 上 小球 个 数 之 比 / 单
?

#? ?

,

垂 访 乎
,

当 )。
,

? ), 如果取5 一Η , ? 一Σ ? Φ 产


式 的 结果 当 由 ),
,


标 Ρ ?
,


6

。尺



、。? 时

&

Θ ι ] 2 丫万 ?

时? 此 时 Σ

# ( ?如果 ?

9

产!

( , 6 。 #! 为重 力 加 速 度 ? 而且 秃 一
,

而丽 6 峨 可 得
&

Σ

、? 扩 与
,
&

6 ?
,



?

,

试 求 这群 小 球第 三 次 和 第 一 次 与 平 板 碰撞
/(
+

题 设 条件
)产

Σ

6

产#

? 扩 矛 盾 所 以5 式 情 况 不 可 能
,

时 单位 长 度 上 小 球个 数 之 比
:
,

取 8 式 的结 果 当

一 > ?



丫 乏日 ? 寸


,

一#

Φ ? 扩 由
,
&

分 析 这 道题 目 的 难 点 在 于 板 的 摩 擦对 小球 作 用
的 时间到 底 是 多 少 这 个 问 题 在 第 一 讲 第 一 部分 有关

燕协 异 诚

可得
&

Σ

6

、? 扩 符合 题 设 条 件
,

因此

以 下 只 讨 论 这种情 况
,
&

摩擦 力 的第 Π #? ? 点 中曾讨论过 请读 者 注 意
,

+

第 二 次 碰 撞 中 小 球 在 垂直方 向上 情 况 完 全 和 第
一 次 相 同 碰 撞 前 小球 水 平 方 向的速 度
,

? 解 #? 设 总 共 有 Ζ 个 小 球 第 一 次碰撞 前 单位 长 度 内 小球 的 个 数 为 又? Ζ 6 #( 二 ? ? 小 球 与平板 碰撞 前
:
,
+

Ν ,

以 及 平板 被

碰 撞 点的 速 度 如 图 ) 所 示 此 时小球 相对 平 板 被 碰点 >

的速度为

。。





任 万 设 碰 撞 所 经 历的 时 间是 山 平均 奋
,

,

的 速度
φ
Ι下

弹力 为 万 因 小球 反 弹 后 的 垂 直速 度 仍 为 所以有 ? 3% Δ 。 为 小 球 的 质量 因 小 球 原 来 无 水 万山 式中
,

Δ

。,





功 一峋
“) ‘

?

。,

+

其大 小 为
)产

Ο

Ν 2

Ο

。Σ

&

因为
,

φ Ι‘

Ο

φ 2

二 。Σ

,

那么 在
,

平速 度 而 在 碰 撞 点 平 板 有 一 个
,

,

Κ

,



田?

的水 平 速
,

了 万妻 厄石

。Σ

的 条 件下 由 第一 问 的 讨论 可 知 平 板


度 这 样 小 球便 受 到 一个 沿 相 对 速 度
,

Κ ,

? 擦力 了 产 刃 这 个 力 使 小 球 获 得沿
,

“、

方向的 滑 动 摩 , 方 向的 速 度 Δ
+

”“

显然

Δ ?



Κ ?

,

因 为一 旦
:

Δ :

达到

“:

,

摩 擦便 不 再 存 在 下
,

?

2

面分两 种情 况 来 讨 论

?



5 在 山 末 时刻
刃山 一 Ι ?
Ν。

Ν 2

仍 小于
, ,

φ 2

即 小球 和 平 板 在水
Τ]

平方 向上 仍 未 相对 静 止 那 么 有

。。



?

Ν 2

&

结合





派蕊 可 得
丫 天 庵
的情 况
, ,
&

左引






Σ

“1 一 “



乙引


‘一 凡

。,

一 )二 。 一 )产


&

图 ) >


图 ))
,

此 式只 适 用 于

)产
2

? 更又 舀6

。Σ
“>

对 小 球 的 摩 擦 力 必 与 均 方 向 相 反 而 且 能 使 小球 在
△,
。)

Ν 已达到 8 在 △Τ 内

值 即 小球 在 趾 时 间 内 已
&

时 间 内 与平 板 在 水平 方 向 上 相 对 静 止 即获 得

,

Ν?



与平板 在 水 平 方 向 上 相 对 静 止 此 时 当 然 有
Ν 2

一 厂丁
ΗΙ一

。,

的 水 平 速度
)

&

它 的 水 平射 程 为 ? 见 图 )) ,



Ο

φ 2

一 田Σ

, )

抓获 石一 )
,



刁>

& 了获庵一 了 了Σ

此 式适 用于

)。

而办 》

。Σ

的情 况


&

因 此 第 三 次碰撞 发 生 前 这 群 小球 所 形 成 的 圆 半径 为


第 一次 碰 撞 后 小 球 以 Ν 为垂 直 方 向速 度

二>

为水

Σ

Ι



护厄Η

Ι



Σ Ι 此 时 单 位 长 度 内 小球 的个数 为
&

: 几 一 Ζ 6 (厅 凡一

Ζ 6 5 二?
/
:
:

,

因此 第


几间


中所 求 比 值

:

刃Ε

? 一 ) ΨΥ α =
+

0
+



,

一 久6 几 ? ?
%
,
,

尺 二

(

+

[




? 3Υ

0

Ι1

?


Ω

质 量 分 别为
Ε Φ

, 1

:

和%

的三 个 质 点 八


Φ



消去

夕可 得 到 其 轨 迹

方程
,

位 于 光滑 的 水 平 桌 面 上 用 已 拉 直 的 不 可伸 长 的 柔
,


丁 , 二厂蔽 下




软 细绳



+





连接 角
,

ΝΦ Ω





>

,

>





锐角

,



+

,

8上8 6

不 宁 、 币石厂布 一 ? Σ
8 8
+



,

6



?
+

,

、 Β



Ρ

[



) 少

如 图 ( Π 所 示 今 有 一 冲 量 为 8 的 冲 击 力沿 Φ Ω 方 向作 用 于 〔 点 求 质点 Ε 开 始运 动 时 的 速 度
,
+

可 见其 轨 迹 是
#( ? 因 为
,



个椭圆
、 、

杆 碰 到 桌 面 时 已 是 水 平 状态 而 杆 又 是 不
,
+

解 设 受冲 击 后

:

八 方 Ω 三
、 、

个 质点 的速 度 分 别 为

+

纵 讥







?

根 据质 点 系动 量 定 理有


’ 可伸 长 的 所 以 川 君 Ω 三 气的水 平 速 度 一 定 相 同 又 如 前 所 述 质 点 系 在 水 平方向 上 动量 始终 为零 因此
,

,

8一, ?

? 刀Ε

于%

:

二。



于%

:

口、

+

Ε

’、

君 创 的 水平分速 度 都是 零 因
,



+

Ω

点 始终是 沿 着 桌
,

面 运 动 的 所 以实 际 上 此 时 刻

Ω

点 静止 而 转动 所以
,

Ε



Φ

二质

∴ 卜Μ Μ

Ε




图 (Π

?

点 围 绕着

α
:
,


图 (搜
,

点 以 相 同 的 角速 度
Ε



一 3Υ 田

,

Δ 。2

田 乙,

Δ Ε

2 3Δ Φ

+

根 据机 械能 守恒
(”:! Υ 4 % ! Υ
?
(
+ :

一万%

刀乃

下万%

Δ ”

? 一 了阴Δ

,

+

,

ΔΕ

、 ,

Ε

宁 万%











Δ Ε

因 为软 绳 作 用 力 的方 向 一 定 是措 绳 的 所 以 Δ 必 然 沿 Ε
八尸

可 解得

:



方向

,

:



必然沿
+

Φ‘

方 向 可以 设

+

: ?。

的 方 向与

ΦΩ

方 向成 夕 角 将 上 述 矢 量式分 解 成 沿 方Ω 方 向 愉 方 向 ?
和 垂 直 于 Φ Ω 方 向 #[ 方 向 ? 的 两 个 分量 式 #也 可取 其

长 直 光 滑 板 Ε 召 放 在平 台 上 ∴ Φ 伸 出 例 台 面 在左 侧 的 β 点 放 一 质量 为 % 的小铁 块 它 以 初
,
,


+

?

,

它 的 正 交 方向 ? #见 图
+

(




速度 时间
)



χ



向右 运 动 假 设 直板相 对 桌面 不发 生 滑 动 经 过 后 直 板 翻 倒 现 让 直 板 恢 复 原 状 并 在 直板 上
,

+

,



方向 方向

Ν一阴

?:



: 。Ψ >



,1 。

讥α =

0

夕十 %
Ι 夕
1
+

=

+ ’ Δ

,



∴2 一 %
+

, : ,. ,

Ι

1 >

4 阴

( : , 。0

如 点 〔 图 ( ? 放 上 另 个 质量 为 ? % ? 从 β 点开 始 以 : 向右 运 让

,

%

:

的 小物 体 同样
,

由于 绳 不 可 伸 长 所 以 又 有
Δ 、

动 并 与%
,

:

发生正碰 那么 从
,



, 汇:

? 补1 α # 0
,

#





卜夕 ?
+

,

%



开始 滑 动 后 经 过 多 少 时 间 直
: 解 这 道题 因 为 未 说 明



二“ 乞 。 α

= 0



板 翻倒Η
%
,

联 列 以 上 四 个 方 程 可解 得
,

令泞
图 (?
,





飞, 八

一 %


:

#%

,

十%
一 +

:

8%

,

Λ = 0 >

4

,。Π

?4 1

:

舰 Π 0 Ι1

3>





%

:

碰 撞 的 性 质 因 此进 行 具
,
+ +

其 左 问 沿 飞召 方 向

体 的计 算 有 一 定 的 困 难 我 们可 以 用 前 面 说 的 动 量 守
恒 定律 的 第 二 个 推论来解

例 )

一根 长


,



质 量 可 忽略 的 细 硬 杆 竖 直 放
,

在 光 滑 的 水 书桌 面 ?几 存 杆 的 最 上 端 和 杆 的 中点 分 别
固 定 者 质量 相 等 的 Ε
,

第一 次 式 扫ε
,

%

,

滑过 ∴ 点



后 直板翻 倒 那 么 说 明
?
+
+



Φ 一

个 质点 # 图
+

(

?

+

轻 轻放 手

后 朴 由 于不 稳 而 在 竖 直 平而 内 倒下 求
门?以杆

? 直 板 质 心 的 位置 ? 是 板 的 质 量 是
% δ Υ 一 口五
,

的原 着地 点

+

α

为原 点 以
,

第二 次 设 切 和

:

,1 3

的质 心 从 板 上

α
,

点开 始 滑 动 则

,

水 平向右 为

气 叔在
#幻 ?

轴 竖 直 向上 为
,



轴 写
:

+

杆 倒 下过 程 件 的 轨 迹 方 程

一 Λ# ? 一 , 竺 匕 众, % ? 一从公
: 质心 速 度 为
,。

点 落 到 桌 面 七 时速 度 的 大 小



Μ
)
?


1 止

%

,

4 %






多 少Η

如 果 质 心 越过
:

点后
十%
3

距离 时木 板 翻 转 应 该 有
+

+

分析 因 为由

Φ

组 成 的 系统 在
,

#%

?Β 一 ∴ ε

??

子+

%

δ

Υ

,

水 平 方 向 上 不 受 任何 外 力 而 陡它 们的
质 心 原 来是静 止 的 所 以 可 以 用 我 们 前 面 说 的 动 量守 恒 定 律 的 第


,


+

(

个推 厂 结 论
,

总 的时 间
,

χ
:

尹 ? 1 ? 8 一 ( 凡 厂卞 ⊥ 刀 名 Β Ω∴ 十 3欠 十 Υ ,





:

# ?

当轻杆倒 到 与 桌 面 成 ) 角时 因 刃 别 的 中
ΕΦ

别>


?

如 果一 开 始将 %

放在




点 左边
,

Υ



处 则χ 7 χ
,



,



点仍 然 在 原 来 的

直线 土 所以 有

一 开 始时 将 %

:

放在

点 右边 则 χ 9 χ



+

三 竞 赛训 练 题 精选 质 量 为 ? 的长 板 静 置 在光 滑 水平 面 上 左 侧 固 定 一 倔 强 系 数 为 / 且 足 够 长 的 水 平 轻质 弹
+



上 使其 与木 块
,

,



(



… … 发 生 碰 撞 假 如 所 有碰 撞 都
, ,

如图 ( ⊥

,

是 完 全 非 弹性 的 问 大 木 块 与第 几 块 小木 块 相 撞 之 前
它 的速 度 能达 到极 大 值 此速 度 值
,
+

,

Δ


等于 多 少 Η
Φ

簧 右 侧 用 一 根 不 可 伸 长 的 细 绳 连 接 于 墙 上 #细 绳 张 紧 ? 细 绳所 能承 受 的 最 大 拉 力 为 χ 让 一个质 量为 %
, ,
+

在 水 平光 滑 细 杆 上 穿 着
?
,

Ε
?

两 个 刚 性 小球
Ω

+



两球 间距 为
#图 Π ?
,

用 两根 长度 同为
Ω
,

的轻 绳 与
,


球连 接
Δ

初速 度 为
左 运动
+

Δ



的小 滑 块 在 长板上 无 摩 擦地 对 准 弹 簧 向

开始 时三球 静 止 二 绳 伸 直 然 后 同 时 释 放 三
Ε


球 已知
?
+

+

Φ

#? 在 什 么 情 况 下 细 绳 会被 拉 断 Η

的 大小 与 Ω 为


三 球 质量相 等 试求 Ε Φ 二 球 速 度 球 到 细 杆的 距 离 < 之 间的关 系
+



在 光 滑 水 平地 面 上 放 着 一 个 质 量 为
,

%

?



高度

? 的 长 方 体 滑 块 长 度 为 ? # 7 > 的光 滑 轻 杆 斜靠在 ?

入 ; 认



,





,

Π)

)

图 (⊥
#( ?细 绳

图 (_




被拉 断 后 长 板 所 能 获 得 的 最 大 加 速 度
,

为多 少 Η
#Π ?
(
5




Π
,

图 Π(


滑块 最 后 离开长板 时 相 对地 面 速 度 恰为零 的
Η

条 件是 什 么
+

滑 块 的右 上 侧棱 上 轻杆 能绕 动 轻 杆上 端 固 定 一 个 质量 为
, ,

执。

轴 在 竖 直 面 内 自由 转 的 小 球 开 始时 系 统
+


(

个质 量 相同 大 小可 不 计 的 小木 块
,



(



Π
+



静 止 轻 杆 与 水 平 面 间的 夹 角 为 叹 求 系 统 释放 后 滑 块
、,

等距 离 地 依 次 放 在 倾 角
,

在木块
+

_ ? # Π 的 斜面 上 # 图 ( ? 以 上 的斜 面 部 分是光 滑 的 以 下 部 分是粗 糙
夕一
。 ,

的速 度

) /%
,
+

:

,

,





变化 的 规律

+

要把 位于 赤道上 空轨道 半径为 的 圆 形 轨道 上 的 卫 星 转 移 到
,

Ξ ,

一?
( 又

+




的 木 块 和 斜 面 之 间 的静摩 擦 系 数 和 滑动 摩 擦 系 数 都 是 声 开 始 时 用 手 扶着 木 块 其 余各 木 块 都静 止 在 斜
,

,

:

:

2 5

+

) /%
,

的 同 步 卫 星 轨道上 去 先 要 在 短 时 间 内 给 卫 星 加 速 使

面上 现 在放 手 使 木块
,

+

自 然下滑并 与 木 块
+

(

发 生碰
,

它 从 近 地 圆 轨 道 转 移 到 远 地 点离 地 心
? 少/ %
,

二 (

? 5

+



撞 接 着陆续 发 生 其 它 碰撞 假设 各 木块 间的 碰撞 都 是

的 椭 圆 轨 道 上 去 然 后 当 卫 星 飞 到 这 个椭 圆 的
,
,
+

完全 非 弹 性的 求
而木 块
Π
+

,



取 何 值时 木 块
+

,

5

能 够 被 撞击 到

不会被 撞 击 一 块质 量 为 , 的 滑 块 从 倾 角 为 夕 的 斜 面 上 Ε 点滑 下 初 速 度 为 Δ 滑 块 与 斜 面 之 间 的滑 动 摩擦 系
,

远地 点 时 再 次 给 卫 星 加 速 使 它 飞进 同 步 卫 星 的大 圆 轨 道 上 去 # 图 Π ? 试 求 这两 次 加 速 过 程 中 卫 星 的速 度

各增 加 了 多 少 Η
_
+

。,

Ζ 个相 同 的 质 量 皆 为 % 的 小 滑 块 排 成 一 行


,

数为 产 #图 ( ? 已 知 滑 块 从 Ε 点 到 弹 簧 形 变 最 大 的 α 点处 的距离是 Υ 求 滑 块 能 反 弹 到 的 最 高 点 离 Ω 点的
+

+

静 止 在 光 滑 水 平 面 上 各滑块 之 间 有 间 距 现 有一质 量 Κ 为 ? ‘ 7 % ? 的 滑 块 以 速 度 从 左 方 沿 Ζ 个滑 块的联 ?
,

+

距离 二




?月

Ε

线方 向 射 向滑 块 并 与 之 正 碰 假 定 滑 块 之 间的碰 撞 都 为 完 全 弹 性 碰 撞 试 求 所 有 滑 块 的最 终速 度
, ,
+ +

+

图Π 5



Ε

是 某 种 材 料 制 成 的 小球 Φ 为 某 种
,


Εφ +

图 (
5
+


,

Π)

在 一 水平光 滑 的 长直轨道 上 等间距地 放 着 足 的 完全 相同的质量 为 % 的 正 方体 木 块 编号 依 次 够多
,

行 图 ΠΠ
+



Π5


5%

在木 块 ? 前有 一 质 量 为 ? 一 的 大 木 块 大 木 块 与 木 块 之 间 的距 离 与 相 邻 各 木


( Π




… … #图 Π ) ?
,

+

材 料 制 成 的 均 匀 刚 性 薄 球亮 已 知 球 壳
内 半径 为
>
,

放在水平 桌面 上 小球

+

+

Ε

质量为 的质 量 亦 为
/

Φ



,

,

,

块之 间 的 距离 相 同 都 为 Υ 现 在 在 所有木 块 都 静 止 的情 况 下 一 沿 轨 道 方 向的 恒 力 Γ 一 直 作 用 在 大木块
,
+

,

通 过 一 条 自然 长度为

的 柔 软弹性轻 绳 悬挂在球壳 内

,

壁的最 高 处 弹 性 绳 拉 长 时相 当 于 倔 强 系 数 为

的弹

簧 且/ >
,
,

? !% !

( 6

+

将 小球拉 到 球壳 内最 低处 由静 止 释
,
+

动 最后Ε
,



Φ

二 者停 在 一 起 Η 为 什 么 Η
,
+

间 的碰撞是 完 全 弹 性 碰 撞 试定量 讨 放 设 与 论 小球 以 后 的运 动状 态
君之
)
+

Ε

Π
%
,

+

图 Π 中 两 个 同 心 圆 代表 一个 圆 形 槽 质量为 _


如图 Π

所 示 质量 为 %
,



的 小 球 随着 质 量 同
,
+

内外半 径 几 乎 同 为 ? 槽 内 Ε Φ 二 处 分别 放 有 一 个 质量 为 % 的 小球 Ε Φ 间 的 距 离为 槽 的直 径 不 计 一 切
,
+

为%



的 甲 小车 一 起 以 速 度
Ξ


Δ



作匀 速 运 动 小 球静 止

在 甲 小车 内半 径 为
+

的 圆弧 形 槽的 最低点 运 动 中 甲 的 乙 小 车 发 生 完 全 非 弹性 碰
是多 少 Η
:

摩 擦 现将 系 统置 于 光 滑 水平 面 上 开 始 时 槽 静 止 两 小 球 具 有垂 直 于 乃 刀 方 向 的 速 度 Δ 试求 两 小 球第 一
,

+

,

,

车 与 另 一 辆 质 量同为 %
撞 不 计 一切摩 擦 求
,

次 相距
5
+

?

时 槽 中心 的速 度
+

,

Δ。

+

两 块 相 同 的木 板长度均 为 ? 重 叠放在光 滑 的
,


# ? 小 球 能 上 升的 最 大高 度 <
? 一 今& 。

水平 桌面 上 第三 块 完全 相 同 的 木 板 沿 水平 桌面 运 动 ( 并 与 补 放 存 厂面 的 那块 木 板 做完 全 非 弹性 碰 撞 # Π
?





图 Π
#( ? 小球 从 最 高 点 回到 小 车 圆 弧槽 底部 时
+

对 小车


粥 图 二

卜 ?叫

的 压 力 Ζ 是多 少 Η 如 图 Π 一 水平放 置 的 圆 环 形 刚性 窄槽 固 定 ?
+


,

Π

,

木板碰 撞 后 不会 再 分 开 见 图 Π


+

?

+

木 板间 的摩 擦 系 数
Π

在 桌 面 上 槽 内嵌着 三 个 大 小相 同 的刚性 小 球 它 们的
质量 分 别 是

%
:


,

,

如 果 要 求最 后 木 板
,

恰 好完全 移 动 到 木 板
Π



%

:



%

:

,

%

:

二%

Π

? 3%

:

+

小 球 与槽 的 两

面 并 首 尾 对 齐 那 么 木板
多大Η
+

原 来 运动 的速度

Δ



应 该是

(


图 Π?
+

霎灵
图 Π⊥
,


如 图 5 所 示 长 为 Υ 的 光 滑 平 台 固 定在 地 面 )
,

沁一

壁 刚 好接 触 且 无 摩 擦 开 始 时 三 小 球 处 于 等 间 距 的
Ν


?





三个 位 置
,

,

%

3

%

:

静止
‘ ’

,

%

,

以初速
,


Δ



?

军双

( 6


上 平 台中间 放 有 小 物体

,

#二 一 、 ?



? ? 内半径 与 小球 半 径 之 和 设 各球 之 间 的碰撞 皆为 弹 性 碰 撞 求 此系 统的 运 动 周期 乳



其中

。。



粤 弧 度 6 秒 ? 沿 槽运 动 ( ?
“?
Υ

?
‘一

3





为 圆球
Θ 8

上 表 面 是 半 径为

年 —
Υ




,






,

一洲

图 5)
Ε

? #?
,

两 者彼 此接 触 Ε 的 《 Υ ? 的半 圆 形 轨 道 轨道 顶 端 距

Ω
,

Φ

+

拼习

8

Μ

台面 的 高 度为
+

<

处 有一 个 小 物 体
Ω
, ,

Ε



Φ



Ω

的 质量
,


,

均 为 % 在 系 统 静止 时 释 放 Ω 始 终 保持 接 触 试求
:

已 知 在 运动过 程 中 Ε

有 一 长 度 为 ? 的 木 块 Ε 放 在 足够 长的 水平地 面 上 取 一 无 盖 的长 方 形 木 盒 Φ 将 Ε 罩 住 召 的 左 右
+

(

,

#?

物体 物体

Ε 几

. 和 Φ 刚 分 离 时 Φ 的 速度
,

+

,

#( ? #Π ?
Φ

和 Φ 分 离 后 α 所 能达 到 的 最 大 高度 .
,

内壁 间 的距 离为 Υ # 7 ? Υ ?

+

Ε




Φ

质量 相 同 与地 面 之 间
,

+

试判 断
+

Ε

从 平 台的哪 边 落 地 并 ? 占算 Ε 从 与
+
+

的 滑 动 摩擦 系 数分别 为
Ε



和 脚 且 娜7
,





+

开始 时

,

分 离 到 落地 所 经 历 的 时 间
?




Φ

的左 内壁 接 触
+

#图 Π ⊥ ?

两 者以相 同 的初 速 度 晰
+

向右运 动 已 知
,

Ε

与 Φ 的 左 右 内 壁 发 生 的碰撞 都 是 完
Ε

质 量 为 ? 表 面 光 滑 的 半 球 体 静 止 放 在 水平 ,1 光 滑 地 面 上 半球 顶 端 有 一 个 质 量 为 的小 滑 块 由 静
,

全 弹性 的 且 碰 懂 时 间 都极 短

与 Φ 的其 他 侧 面 无
,

止 开 始 下 滑 至 #图
已 知 。) ?


5

? 圆 心 角为 ) 处 时 飞 离 半球 体
,
+

+

接触

+



+

) ⊥

,

试 求 ?6 % 的值
%

#? ?

要使
要使


Ε



Φ

最后同时停 止 而且
,

Ε



Φ

轻轻接



+

一 个质量 为
” ,

的 弹性 球 由 静 止 开 始 下 落
1

<
,



触 #即 无 相互作 用 力 ? 初 速 度
#( ?
Φ
+

Δ



应取 何 值 Η


后 与放 在 光 滑 水 平 面 上 的 斜 楔 发 生 完 全 弹 性 碰撞 斜

先停 下 而 且 在 最 后 Ε
,

Φ

全 部 停 止运

面 倾 角为 5

质 量为
Δ
+

阴 #图 5 ( ?
:

+

求 碰 撞 后 小球的 速
,

动时

,

Ε

Φ

轻轻 接 触 初速 训 应取何 值 Η




Δ

和 斜楔 的速 度


#提 示

由 于 斜 楔会 移 动 所 以 小


#Π ?


有无
?

Δ 。

值可使

Φ

停 下 后 由于 被 碰 击 再 次 运

球 的 反 射 角 不 等 于 入 射角
” “

?

5(

2

. 业 贯 丫 锚

?

+

其中<
?





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+

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图 5
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+



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+ +

0 .

△刃 ( 一 #Π

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?



+

?/ % 6

0

?

+

在水 平光 滑 桌 面 上 放有 一 个 质 量 为 ? 的 直 + 角斜劈 Ε Φ α Ε Φ 的 倾 角为 刀 Φ 点离桌 面 的 离度 为 < 在斜 面 八刀 的底 部 Ε 处 有 一 质 量 为 % 的小 滑 块 #图
,

5 /% 6

0 .

_

+

,

倒数 第

块滑块的 速 度 为
一#

质量 为
+


Ε
+

滑块的速度 Δ ?

γ

到 达 球 内最 高 点时 以
Φ

月 丫 刀



Π 5 ? 某 一 时 刻劈 静 止 滑 块 有 一 个 沿 Ε Φ 向上 的速 度
+

。。 ,

如果 不 计 一切 摩擦 那 么
,
+

块从 Φ 点滑 出 Η

续公



恙一粽 一 粼寿 于
?
。。



,



的 石厄 速度 撞
Φ

Φ

,

速 度 交换
, 一
’ ‘

落 回桌 面 时

,

Ε

刚好 落 到
Π ?
+


的中 心 接
,

,




作振 幅为 粤
’?







而”








、 周 期为 琴
产[ 8

产8


!

的 简谐 振 动
“碑 ’

,





邵价





图 55

平 衡 位置在

Φ

中心 点 下 方
,

3>

6
Φ



Ε

在 Φ 中 心 之上
+

时是 作 上 抛 运 动 恰 好 能 达 到
一 次 的时 间为

内的 最 高 点

Ε

往返

,

Δ 。

至 少要 多 大 才 能使 滑
.

号 仁 檐
, 。 “ , “一
?

小球

Ε

和 的 和 Φ 它 们在 一 条 与 右 侧 竖 直 墙 面垂 直 的直 线
,
,
+

光滑水 平 面 上 有 两个 质量 分别 为 % 设 开始 时
Φ
,

:

一六 怂
,

#

?〕 ( 4



.

上 前 后 放置 #图 5 5 ?
+ +

球静 止
,

,

Ε

球 以速 度

,

#( ?? 一
+

对 准 Φ 球 运 动 不 计各 种 摩 擦 所有 碰 撞都 是 完全 弹
? 性的 如果 要 求 两 球 只 发 生 两 次 碰 撞 试 确定 % 6 % 3


⊥,。

?

。,


.



#! 4



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? χ 2 () :
?



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比值 的范围

+

一 ? #。 4



) (
%
+

+

两 根 长度均为 ? 的刚 性轻 杆 一 端通过 质量 为
,

‘’ ( ?

‘。

一 「 #、 4 ‘

脚, 4

的球 形 铰 链 连 接 另 一 端分别接 质量 为 % 和
,
, , , ,

3%


#Π ? 不 可能 .
‘Π

小球 将此 装置 的两 杆 并 拢 铰 链 向 上 竖 直 地 放 在 桌
上 然 后 轻 敲 一 下 使 球 往两 边 滑
5 ? 忽略 一切 摩 擦
+

刁邻享 赢 刁察寻
,一

?

#? 为 自然 数 ?
,

,

但 两 杆 始 终 保 持 在 竖 直 面 内 #图
,



:

, ‘
Δ .

#? 铰 链 碰 到 桌 面 前的速度 ? #( ? 当 两 杆 夹 角
,

‘ ’ 台 ( 离

一号 六 了 万 一 面 的不石
Θ
.
,
+

#‘一

#, ,

?

一合 百 了泳

,

为 扩 时 质量
:

一 最 大高 度 ‘ ‘一


6

,

为 3 % 的小 球 的速度 Δ . #Π ? 当 两 杆 夹 角 为 ) 时 质 量
,

#Π ,

从平 “ 左 边 落 地 大 约 时 间为



图5
?

为 3% 的 小球 的位移

, (

+

?6 %
?

? ( 5
+

:


.

:

.

参 考 答案
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与斜 刹票恶葬
,

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面 法线 ”夹 ”

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78


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