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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第69课 直线与圆锥曲线的位置关系


考纲要求
掌握圆锥曲线的有关中点、弦长等问题.

知识梳理
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 ⑴联立直线与圆锥曲线方程,构成方程组. ⑵消去 y (或 x )得到一个关于 x (或 y )的一元二次方程组. ⑶若 ? ? 0 ,则直线与圆锥曲线有 两个 交点. 若 ? ? 0 ,则直线与圆锥曲线有 一个 交点. 若 ? ? 0 ,

则直线与圆锥曲线 没有 交点.

2.弦长公式 若斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点,则

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

1 ? (1 ? 2 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] k

基础自测
1. 若曲线 y ? 2x 2 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则切线 l 的方程为 ( A. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0
【答案】D 【解析】∵ y ? 2x 2 ,∴ y? ? 4 x .
2 设切点为 ( x0 , 2 x0 ) ,∴切线 l 的斜率为 k ? 4x0 .



B. x ? 4 y ? 9? 0 D. 4 x ? y ? 2 ? 0

∵直线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,∴ k ? (? ) ? ?1 ,∴ x0 ? 1 . ∴切线 l 的方程为 4 x ? y ? 2 ? 0 .

1 4

2. (2012 珠海二模)斜率为 4 的直线经过抛物线 x ? 线方程为( )

1 2 y 的焦点,则直 3

A. 4 x ? y ? 6 ? 0 C. 48x ? 12 y ? 1 ? 0

B. 12 x ? 3 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

【答案】D

1 2 3 【解析】∵抛物线 x ? y 的焦点为 ( , 0) , 3 4 3 ∴所求的直线方程为 y ? 4( x ? ) . 4

典例剖析
考点1 中点弦问题

x2 y 2 ? ? 1 于 A 、 B 两点,若线段 AB 的 【例 1】过点 P(?1,1) 作直线交椭圆 4 2
中点恰为点 P ,求 AB 所在的直线方程.

? x1 ? x2 ? ?2 【解析】设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 ? ? y1 ? y2 ? 2 ? x12 y12 ? 4 ? 2 ?1 y ? y2 1 ? 又 ? ,两式相减得 1 ? . 2 2 x1 ? x2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ?4 ? 2
∴ AB 所在的直线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

【变式】 (2012 东莞一模)已知抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上,直线 y ? x 与 抛物线 C 交于 A 、 B 两点,若 P (2, 2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为( A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? -4 x C. x 2 ? 4 y D. y 2 ? 8x )

【答案】A 【解析】依题意可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,

∵ P ? 2,2? 为 AB 的中点,∴ y1 ? y2 ? 4 ,

y2 ? y1 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 ? 1, x2 ? x1

? y12 ? 2 px1 ? 由? 2 ,得 ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 ) ? y2 ? 2 px2 ? y ? y1 ∴ 2 p ? ( y2 ? y1 )( 2 ) ? 4, x2 ? x1
∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .

考点2 直线和圆锥曲线相交的弦长问题
【例 2】 (2012 济南质检)已知点 A(? 3,0) 和 B(? 3,0) ,动点 C 到 A 、 B 两 点的距离之差的绝对值为 2 ,点 C 的轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D 、 E 两点, 求线段 DE 的长.

y2 ? 1. 【解析】根据双曲线的定义,可知 C 的轨迹方程为 x ? 2 ?y ? x ? 2 ? 2 由 ? 2 y2 ,得 x ? 4 x ? 6 ? 0 . ?1 ?x ? ? 2 设 D( x1 ,y1 )、E( x2 ,y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?4, x1 ? x2 ? ?6 .
2

∴ DE ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 4 5 ,∴线段 DE 的长为 4 5 .
2 2

y2 ? 1的右焦点作直线 l ,交双曲线于 A, B 两 【变式】 (2012 烟台质检)过双曲线 x ? 2
2

点,若 | AB |? 4 ,则这样的直线 l 有( A.1 条 B. 2 条

) C. 3 条 D.4 条

【答案】C 【解析】双曲线两顶点间的距离为 2a ? 2 , ∵ | AB |? 4 ? 2 , ∴与双曲线的两支都相交的直线有两条, ∵过右焦点作直线垂直于 x 时,弦长为 4, ∴与双曲线的右支相交的直线有一条, ∴这样的直线 l 有 3 条.

考点3 直线与圆锥曲线的综合问题

x2 y 2 【例 3】 (2012 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 a b (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, ,且点 P(0 , 在 C1 上. 1) 0)
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
【解析】 (1)∵椭圆 C1 的左焦点 F (?1, ,∴ c ? 1 , 0) 1

02 12 ∵点 P(0 , 在 C1 上,∴ 2 ? 2 ? 1 ,∴ b ? 1 , 1) a b 2 2 2 ∴ a ? b ? c ? 2, x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 C1 的方程为 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? kx ? m ? ∵直线 l 与椭圆 C1 相切,
∴ ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x ,得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 , ? ? y ? kx ? m ∵直线 l 与抛物线 C2 相切,
∴ ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 整理得 km ? 1 ②

? 2 2 ? k? k?? ? ? 综合①②,解得 ? 2 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
∴直线 l 的方程为 y ?

2 2 x ? 2 ,或 y ? ? x? 2 . 2 2

x2 y2 M N 【变式】2012 嘉定三模) ( 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 、 分别是椭圆 ? ?1 4 2
的顶点.过坐标原点的直线交椭圆于 A 、 B 两点,其中 A 在第一象限.过点 A 作 x 轴的垂 线,垂足为 C .设直线 AB 的斜率为 k . (1)若直线 AB 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k ? 2 时,求点 A 到直线 BC 的距离. y A

M B

O N

C

x

【解析】 (1)由题设知, a ? 2 , b ? 故 M (?2 , 0) , N (0 , ? 2 ) , ∴线段 MN 中点的坐标为 (?1, ? ∵直线 AB 平分线段 MN , ∴直线 AB 过线段 MN 的中点, 又直线 AB 过坐标原点,

2,

2 ). 2

2 2 ? 2. ∴k ? ?1 2 ?

(2)当 k ? 2 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 x ,

? y ? 2x , 2 ? 2 由 ? x2 解得 x ? ? , y 3 ? ?1, ? 2 ?4
2 4 2 4 , ) B( ? , ? ) , , 3 3 3 3 2 ( , 0) 于是 C 点的坐标为 . 3 2 BC 的方程为 x ? y ? ? 0 . ∴直线 3
∴A (

2 4 4 ? ? 3 3 3 2 2 A 到直线 BC 的距离为 d ? ∴点 . ? 3 2

归纳反思
1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对消元后的一元二次方程, 必须讨论二次项的系数和判别式 ? ,有时借助图形的几何性质更为方便. 2.处理中点问题一般用“点差法”和“设而不求”的方法.


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