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《直线的倾斜角和斜率》教案


课题:直线的倾斜角和斜率
(第一课时)
江西省吉安市安福县安福中学 罗明铁

【教学目标】 (1) 知识目标 ① 让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程, 能自然理解倾斜角的概念。 ② 通过对坡角、坡度概念回顾,经过教学使学生能把此知识迁 移到直线的斜率中,并理解斜率的定义。 ③ 经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 使学生初步掌

握过已 知两点的直线的斜率坐标公式。 (2)能力目标 ① 通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养学生观察、探索、和抽象概括能力,运用数学语言的表 达能力,数学交流与评价能力。 ② 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步 理解数形结合思想,渗透辩证唯物主义思想,渗透几何问题代数 化的解析几何研究思想。 (3)情感目标: ① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生 的学习热情和求知欲,充分体现学生的主体地位。 ② 通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数 学的魅力,使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
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【教学重点】 ①直线倾斜角与斜率概念; ②推导并掌握过两点的直线斜率公式; ③体会数形结合及分类讨论思想的作用。 【教学难点】 斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。 【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。 【教学手段】多媒体辅助课堂教学。 【教学过程】 创设情境,导入新课

利用水上乐园的滑梯这情境,向学生设问 坐哪个滑梯更刺激,速度更快?为什么?(学生回答) 滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度, 这一节课我们要学习 反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率,从而揭示课题。 问题情境,形成概念
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问题 1、在平面直角坐标系内,过两点可以画几条直线? 过一点可以画几条直线? 问题 2、与 x 轴正方向成 30?角的直线有多少条? 过定点 P 且与 x 轴正方向成 30?角直线有多少条?

引导学生得出倾斜角的意义和概念。 师生互动,新课探究 一、 倾斜角的定义: 在平面直角坐标系中, 对于一条与 x 轴相交 的直线 l ,把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到 和直线 l 重合所成的角,叫做直线 l 的倾斜角。 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0?. 思考:把谁旋转,怎样旋转,旋转到什么位置? 练习:下列四图中,表示直线的倾斜角的是( )

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问题 3、 在平面直角坐标系中, 过点 P 的直线的倾斜角可分为哪几类?
y o

?

p

l
x

y o

l

y o p

y

?x
l

p

?

p x o

l x

(1)

(2)

(3)

(4)

当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 ? ,数形结合得出 倾斜角的范围是 0 ? ≤α <180 ? 回顾旧知,迁移应用 (1)对于生活中斜坡,我们是用什么量刻画它的倾斜程度? (坡角与坡度) (2)坡度定义是什么?
坡度 ? 铅直高度 ? tan ? (? 为坡角) 水平长度

( 3 )坡度随坡角 ? 变化如何变 化?

? 平面直角坐标系中的直线 斜坡 ???
迁移

? 直线的倾斜角 坡角 ???
对应 对应

? 直线的斜率。 坡度 ???
二、直线的斜率

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上图图(1)中倾斜角为锐角, 图中横坐标 x 从 0 到 1 增加一个单位, 纵
k? 坐标 y 从 0 增加到 k(k>0),我们称 k 为这条直线的斜率。 AP ? tan ? , OA

右图图(2)中倾斜角为钝角,当横坐标 x 从 0 到 1 增加 1 个单位时,纵 坐标 y 从 0 减少了 k(k>0) ,我们称-k 为这条直线的斜率。

k l ? ?k ? ?

AP

倾斜角为钝角时,直线的斜率可转化到其补角(180?-α )来求. 思考:倾斜角为 0? 时,斜率是多少?倾斜角为 90? 时呢? 2、直线的斜率:倾斜角不是 90 ? 的直线,其倾斜角α 的正切值 叫做这条直线的斜率。斜率通常用 k 表示,即 k=tanα (0?≤α <90? 或 90?<α <180?) 倾斜角是 90 °的直线的斜率不存在。

OA

? ? tan ? ? ? tan(180 ? ? ? )

k ? tan 45 ? 1 例如:直线 l的倾斜角为 45? ,则斜率为:
?

k ? tan 120 ? ? tan 60 ? ? 3 直线l的倾斜角为 120 ? ,则斜率为:
? ?

讨论交流,加深理解 问题 4、当倾斜角变化时,斜率 k 如何变化?(动画演示)

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y
?

l
p x o

y

l
?

l

y p
?

y p x o x

p x o

l

o

0o ? ? ? 90o
直线的倾斜角为锐 角,k>0; 随着直线的倾斜角 增大,k值增大。

? ? 90o
垂直于 x 轴的直 线的倾斜角为 90°, 但其斜率 不存在。

90o ? ? ? 180o
直线的倾斜角为 钝角, k<0 ; 随着直线的倾斜角 增大,k值增大。

? ? 0o
直线平行于x轴或 与x轴重合,此时 直线的倾斜角为 0°, k=0。

新知演练 及时反馈 例 1 .直线 l1、 l2、 l3 、 l4 的斜率分别是 k1、 k2、 k3、 k4 ,试比较斜率 的大小.

巩固练习:下列说法正确的是( D ) A、任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 ; B、直线的倾斜角越大,斜率也越大; C、平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0?或 180?; D、两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等. 三、过两点的直线斜率计算公式 问题 5、在平面直角坐标系中,已知直线上两点 P1(x1,y1) ,P2(x2, y2)且 x1 ? x2,怎样用 P1 、P2 的坐标来表示直线斜率 k? 解:设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ? ),过点 P1 作 x 轴的平行线,过 点 P2 作 y 轴的平行线,两线交于点 Q,则点 Q 为(x2,y1)
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(1)当 ? 为锐角时, ? ? ?QP 1P 2
k ? tan ? ? tan ?QP1P 2? QP2 y ? y1 ? 2 P1Q x 2 ? x1

(2)当 ? 为钝角时, ? ? 180? ? ? (设 ?QP , 1P 2 =? )
tan ? ? ? tan(1800 ? ? ) ? ? tan ?

tan ? ?

y 2 ? y1 y ? y1 ? ? 2 x1 ? x 2 x 2 ? x1
y 2 ? y1 x2 ? x1

? tan? ?

即k ?

y 2 ? y1 x2 ? x1 y ?y y2 ? y1 ,即 k ? 2 1 x2 ? x1 x2 ? x1
y

综上,无论 ? 为锐角或钝角,都有 tan? ?

y P2(x2,y2) P1(x1, y1) O y
1 1

P2(x2,y2) P1(x1, y1) α Q ( x2, y1) O y x

Q ( x2, y1)

α

x

P1(xy , y) 思考: 1、当直线垂直于 x 轴或 轴时,上述结论适用吗? P1(x ,y )
1 1

Q (x ,y ) 2、斜率公式使用时应注意什么问题? P (x ,y )
1 2

α

2

2

2

新知演练 及时反馈: O

x

Q ( x1, y2)

O

P2(x2, y2) α x

例 2.求经过下列两点直线的斜率: (1)A(2, 3),B(6,5) (2)A(-3,5),B(4,-2) (3)A(3,2),B(-4,2) (4)A(3,2) ,B(a,4).

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思考题:已知 A(1,-5) ,B(5,3) ,C(-4,a)在同一条直线上, 求实数 a 的值。 小结: 1、直线的倾斜角的定义,范围:0 ? ≤α <180 ? ;
? ? 2.直线斜率的定义:k=tanα (0 ≤α <180 且α ≠90°)

3. 直线斜率的求法: (1) 定义法: k=tanα (0 ? ≤α <180 ? 且 ? ? 90? ) (2)坐标法:k ? 板书设计
y2 ? y1 . ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角的定义 范围 0 ? ≤α <180 ? 直线斜率定义:k=tanα (0 ? ≤α <180 ? 且 ? ? 90? ) 3.斜率求法: (1)定义法: k=tanα (0 ? ≤α <180 ? 且 ? ? 90? ) (2)坐标法:k ?
y2 ? y1 . x2 ? x1
( x1 ? x2 )

布置作业:课本 P63:第 1、3、5 题

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