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平面几何的26个定理


高一数学竞赛班二试讲义 第1讲
一、知识点金

平面几何中的 26 个定理
班级 姓名

1. 梅涅劳斯定理:若直线 l 不经过 ?ABC 的顶点, 并且与 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 或它们的延长线 BP CQ AR ? ? ?1 分别交于 P, Q, R ,则 PC QA RB 注:梅涅劳斯定理的逆定理也成立 (用同一法证明) 2. 塞瓦定理: 设 P, Q, R 分别是 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 或它们的延长线上的点, 若 AP, BQ, CR 三线共点,则

BP CQ AR ? ? ?1 PC QA RB

注:塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密定理: 在四边形 ABCD 中, AB ? CD ? BC ? AD ? AC ? BD , 有 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等式成立。

证:在四边形ABCD内取点E,使?BAE ? ?CAD,?ABE ? ?ACD 则:?ABE和?ACD相似 ? 又? AB BE ? ? AB ? CD ? AC ? BE AC CD

AB AE ? 且?BAC ? ?EAD ??ABC和?AED相似 AC AD BC ED ? ? ? AD ? BC ? AC ? ED AC AD ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? ( BE ? ED ) ? AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立;
注:托勒密定理的逆定理也成立 A D E

B

C

4. 西姆松定理:若从 ?ABC 外接圆上一点 P 作 BC , AB, CA 的垂线, 垂足分别为 D, E , F ,则 D, E , F 三点共线。

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西姆松定理的逆定理:从一点 P 作 BC , AB, CA 的垂线,垂足分别为 D, E , F 。若 D, E , F 三点共 线,则点 P 在 ?ABC 的外接圆上。 5. 蝴蝶定理:圆 O 中的弦 PQ 的中点 M,过点 M 任作两弦 AB,CD,弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X,Y,则 M 为 XY 之中点。 证明:过圆心 O 作 AD 与 BC 的垂线,垂足为 S、T, 连接 OX,OY,OM,SM,MT。 ∵ AMD∽ CMB △ △ ∴ AM/CM=AD/BC ∵ AS=1/2AD,BT=1/2BC ∴ AM/CM=AS/CT 又∵ A=∠ ∠ C ∴ AMS∽ CMT △ △ ∴ MSX=∠ ∠ MTY ∵ OMX=∠ ∠ OSX=90° ∴ OMX+∠ ∠ OSX=180° ∴ O,S,X,M 四点共圆 同理,O,T,Y,M 四点共圆 ∴ MTY=∠ ∠ MOY,∠ MSX=∠ MOX ∴ MOX=∠ ∠ MOY , ∵ OM⊥ PQ ∴ XM=YM 注:把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立 6. 坎迪定理:设 AB 是已知圆的弦, M 是 AB 上一点,弦 CD , EF 过点 M ,连结 CF , ED ,分别交 AB 于 L, N ,则

1 1 1 1 。 ? ? ? LM MN AM MB

7. 斯特瓦尔特定理:设 P 为 ?ABC 的 BC 边上任一点,则有

BP PC 2 2 PC 2 BP A P ? A B? ? A C? ? B2C ? ?。 BC BC BC BC
注:斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8. 张角定理: 设 A, C , B 顺次分别是平面内一点 P 所引三条射线 AB , AP , AC 上的点, 线段 AC , CB ? 对点 P 的张角分别为 ? , ? ,且 ? ? ? ? 180 ,则 A, C , B 三点共线的充要条件是:

sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? PC PB PA
9.九点圆定理:三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点, 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆,或称欧拉圆。 ?ABC 的九点圆的圆心是其外心与垂心所

1 。 2 证明: ?ABC 的九点圆与 ?ABC 的外接圆,以三角形的垂心为外位似中心,又以三角形的重心为 内位似中心。位似比均为 1: 2 。 10. 欧拉线: ABC 的垂心 H , 重心 G , 外心 O 三点共线。 此线称为欧拉线, 且有关系:HG ? 2GO ? 11.欧拉公式:设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为 R 和 r ,则这两圆的圆心距 OI ? R( R ? 2r ) 。由此可知, R ? 2r 。 证明:设外心为 O ,内心为 I ,连结 OI ,延长交外接圆于 N , P 两点,令 d ? OI , AI 交外接 A r ? 2Rr 圆于 L ,则 ( R ? d )( R ? d ) ? NI ? IP ? LI ? IA ? LB ? IA ? 2R sin ? 2 sin A 2 ?A?B ?C ? 中,若 AA?, BB?, CC ? 相交于一点 O ,则 AB 与 A?B? , BC 与 12.笛沙格定理;在 ?ABC 和 B?C ? , AC 与 A?C ? 的交点 F , D, E 共线。 OB? BD CC? OA? AF BB? 证明:?OBC 和梅尼线 B?C ?D , ? ? ? 1 ;?OAB 和梅尼线 A?B?F , ? ? ?1 ; B?B DC C?O A?A FB B?O OC? CE AA? BD CE AF ? ? ? 1 ,三式相乘,得 ? ? ? 1 。得证 ?OAC 和梅尼线 A?C ?E , C?C EA A?O DC EA FB
连线段的中点,九点圆的半径是 ?ABC 的外接圆半径的

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13.牛顿(Newton)定理1: 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。 证法1:设四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点 E,F,G,H. 首先证明,直线 AC,EG,FH 交于一点.设 EG,FH 分别交 AC 于点 I,I'. 显然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ,因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF. 又 AE=AH,CF=CG. 同样可证:AI/CI=AE/CG 故 AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.

从而 I,I'重合.即直线 AC,EG,FH 交于一点. 同理可证:直线 BD,EG,FH 交于一点. 因此 直线 AC,BD,EG,FH 交于一点。 证法 2:外四边形为 ABCD,对应内切四边形为 EFGH。连接 EG,FH 交于 P。 下面证明 BD 过 P 即可。 过 D 座 EG 的平行线交 BA 与 S,过 D 做 FH 的平行线交 BC 于 T。由于弦切角及同位角,角 BEG=角 CGE=角 CDS=角 BSD。所以 SEGD 四点共圆,且为等腰梯形。设此圆为圆 M,圆 M 与 圆 O,内切圆交于 EG,所以其根轴为 EG,同理对圆 N,DHFT,与圆 O 交于 HF。HF 为此两圆 的根轴。由根轴定理,只需证明 BD 为圆 M 与圆 N 的根轴即可证明 BD,EG,HF 共于点 P。 D 在圆 M 和圆 N 上, 所以其为根轴一点。 由于 SEGD, DHFT 为等腰梯形, 和 所以 ES=DG, DH=FT。由切线长定理,DH=DG,BE=BF;所以 BE=BF,ES=FT,BS=BT。若 B 为圆 M 与圆 N 的根轴上一点, BE*BS=BF*BT, 则 其为割线长。 明显等式成立。 所以 BD 为圆 M 与圆 N 的根轴, 则 BD,EG,HF 共于点 P。同理 AC,EG,HF 共于点 P。命题得证。 14.牛顿(Newton)定理 2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。 证明:设四边形 ABCD 是⊙I 的外切四边形,E 和 F 分别是它的对角线 AC 和 BD 的中 点,连接 EI 只需证它过点 F,即只需证△BEI 与△DEI 面积相等。

显然,S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE,而 S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。 注意两个式子, ABCD 外切于⊙I, 由 AB+CD=AD+BC, S△BIC+S△AID=1/2*S 四边形 ABCD, S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S 四边形 ABCD 即 S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE,移项得 S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID,由 E 是 AC 中 点 , S△CEI=S△AEI , 故 S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID , 即 S△BEI=△DEI,而 F 是 BD 中点,由共边比例定理 EI 过点 F 即 EF 过点 I,故结论成立。 15.牛顿(Newton)定理3:完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对 角线的中点,三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 证明:四边形 ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD 中点 M,AC 中点 L,EF 中点 N 中点 P,BC 中点 R,PN∩CE=Q 取 BE

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R,L,Q 共线,QL/LR=EA/AB;M,R,P 共线,RM/MP=CD/DE; N,P,Q 共线,PN/NQ=BF/FC。 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 ?PQR 及梅尼线 LMN, 由梅涅劳斯定理的逆定理知 L,M,N 三点共线。 16.布利安双定理:设一六角形外切于一条圆锥曲线,那么它的三双对顶点的连线共点。在此, 提供用初等几何证明外切于圆的情形。 记六边形为 ABCDEF 外切于圆 O,AB,BC,CD,DE,EF,FA 上的切点分别是 G,H,I,J,K,L.设 AB,DC 交于 X,AF,DE 交于 Y.则四边形 AXDY 外切于圆 O,切点分别是 G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连 线与主对角线交于一点,有 AD,GJ,LI 共点(记为点 P)。同理,BE,GJ,KH 共点(记为点 r),CF,LI,KH 共点(记为点 q 则命题可转为证明 DP,BR,FQ 共点。 17.拿破仑定理:若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。 证明: 设等边△ABD 的外接圆和等边△ACF 的外接圆相交于 O;连 AO、CO、BO。 ∴∠ ADB=∠ AFC=60° ; ∵A、D、B、O 四点共圆;A、F、C、O 四点共圆; ∴∠ AOB=∠ AOC=120° ; ∴∠ BOC=120° ; ∵△BCE 是等边三角形 ∴∠ BEC=60° ; ∴B、E、C、O 四点共圆; ∴ 这 3 个等边三角形的外接圆共点。 设等边△ABD 的外接圆⊙ N,等边△ACF 的外接圆⊙ M,等边△BCE 的外接圆⊙ 相交于 O; P 连 AO、CO、BO。 ∵A、D、B、O 四点共圆; A、F、C、O 四点共圆,B、E、C、O 四点共 圆,∠ AFC=∠ ADB=∠ BEC=60° ; ∴∠ AOB=∠ AOC=∠ BOC=120° ; ∵NP、 MP、 是连心线; MN BO、 CO、 是公共弦; AO ∴BO⊥ 于 X; NP CO⊥ MP 于 Y; AO⊥ NM 于 Z。 ∴X、P、Y、O 四点共圆; Y、M、Z、O 四点共圆; Z、N、X、O 四点共圆; ∴∠ N=∠ M=∠ P=60° ; 即△MNP 是等边三角形。 18.帕斯卡(Pascal)定理:如图,圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB、DE 的延长线交于点 G,边 BC、EF 的延长线交于点 H,边 CD、FA 的延长线交于点 K。则 H、G、K 三点共线。

证明:延长 AB、CD、EF,分别交直线 CD、EF、AB 于 M、N、L 三点,构成△LMN。 直线 BC 截 LM、MN、NL 于 B、C、H 三点,则 …①

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直线 DE 截 LM、MN、NL 于 G、D、E 三点,则|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…② 直线 AF 截 LM、MN、NL 于 A、K、F 三点,则 连 BE,则 LA· LB=LF· LE,∴ …④ 。同理 …⑤ , …③ …⑥ 。

将① ③ ⑤ 相乘,得 ② ④ ⑥ 。 ∵ H、G、K 在△LMN 的边 LN、LM、MN 的延长线上,∴ 点 H、G、K 三点共线。 19.蒙日定理(根心定理) :平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交 于一点,这个点叫它们的根心;若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行。 注:在平面上任给两不同心的圆,则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线,这条线称 为这两个圆的根轴。 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴,或者称作等 幂轴。 (1)平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线; (2)若两圆相交,则两圆的根轴为公共弦所在的直线; (3)若两圆相切,则两圆的根轴为它们的内公切线; 20.莫利定理(Morley's theorem) ,也称为莫雷角三分线定理:将三角形的三个内角三等 分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。 这个三角形常被称作莫利正三角形。

证法一: 在△ABR 中,由正弦定理,得 AR=csinβ/sin(α+β)。 外 接 圆 直 径 为 1 , 则 由 正 弦 定 理 , 知 c=sin3γ , 所 以 AR= /sin(60° -γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= =4sinβsinγsin(60°+γ). αsin^2 βsin^2 γ. 同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β)

不失一般性,△ABC ( sin3γ*sinβ )

2sinβsinγ ( √3cosγ+sinγ ) 在 △ARQ 中,由余弦定理,

得 RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin 60°+β) ( cosα]=16sin^2 这是一个关于 α,β,γ 的对称式,同理可得 PQ^2 ,PR^2 有相同的 AF:AB=sinβ:sin(α+β) , 对称性,故 PQ=RQ=PR,所以△PQR 是正三角形。 证法二: ∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ) , AB:AC=sin3γ:sin3β, ∴AE:AF=(ACsin(α+γ)/sinγ) (ABsin(α+β)/sinβ) : , ∴在△AEF 中,∠AEF=60°+γ, ∴△DEF 为正三角形。

而 sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ) (sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ) : , ∴AE:AF=sin(60°+γ):sin(60°+β), 同理∠CED=60°+α, ∴∠DEF=60° ,

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21.斯坦纳—莱默斯定理: 如图,已知△ABC 中,两内角的平分线 BD=CE。求证:AB=AC。 证法① 作∠BDF=∠BCE;并使 DF=BC

∵BD=EC, ∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF. 设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β, ∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); ∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∵2α+2β<180°, ∴α+β<90°, ∴∠FBC=∠CDF>90° ∴过 C 点作 FB 的垂线和过 F 点作 CD 的垂线必都在 FB 和 CD 的延长线上. 设 垂 足 分 别 为 G 、 H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD , ∴CG=FH,BC=FD 连接 CF, ∵CF=FC,FH=CG, ∴Rt△CGF≌△FHC (HL) ∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又 , ∵BF=BE,∴CD=BE ∴AB=AC. 证法② 设二角的一半分别为 α、β ,sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β , ∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0 →sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2(α+β)+ sin2α]=0 →sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0 →sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0 ∴sin[(α-β)/2]=0 ∴α=β,∴AB=AC. 所以 AB=AC 证法③ 用张角定理: 2cosα/BE=1/BC+1/AB ,2cosβ/CD=1/BC+1/AC , 若 α>β 可推出 AB>AC 矛盾! 若 α<β 可推出 AB <AC 矛盾! 22.费尔马点:费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个顶角不 超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角 形,费尔马点就是最大的内角的顶点。 证明: 在平面三角形中: (1).三内角皆小于 120° 的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三 角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所 求的费马点. (2).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求. (3)当△ABC 为等边三角形时,此时外心与费马点重合 (1) 等边三角形中 BP=PC=PA,BP、PC、PA 分别为 三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌ CPA≌ PBA。 △ △ (2) 当 BC=BA 但 CA≠AB 时,BP 为三角形 CA 上的高和中线、三角上的角分线。 证明 (1)费马点对边的张角为 120 度。 △CC1B 和△AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,∠ CBC1=∠ B+60 度=∠ ABA1, △CC1B 和△AA1B 是全等 三角形,得到∠ PCB=∠ PA1B 同理可得∠ CBP=∠ CA1P 由∠ PA1B+∠ CA1P=60 度 , 得 ∠ PCB+∠ CBP=60 度 , 所 以 ∠ CPB=120 度 同 理 ,∠ APB=120 度 , ∠ APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1 将△BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与△BDA1 重合, 连结 PD, 则△PDB 为等边三角形,所以∠ BPD=60 度 又∠ BPA=120 度,因此 A、P、D 三点在同一直线上, 又 ∠ CPB=∠ A1DB=120 度,∠ PDB=60 度,∠ PDA1=180 度,所以 A、P、D、A1 四点在同一直线上, 故 PA+PB+PC=AA1。 (3)PA+PB+PC 最短 在△ABC 内任意取一点 M(不与点 P 重合) ,连结 AM、BM、CM,将△BMC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与△BGA1 重合,连结 AM、GM、A1G(同 , , ∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB , ∴∠ABC=∠ACB ∴∠FBC=∠CDF,

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上),则 AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点 A、B、C 的距离最短。 平 面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易,也较容易研究。 (1) 在凸四边形 ABCD 中,费马点为两对角线 AC、BD 交点 P。 (2)在凹四边形 ABCD 中,费马 点为凹顶点 D(P) 。 23.等差幂线定理:已知 A、B 亮点,则满足 AP? =k(k 为常数)的点 P 轨迹是垂直于 AB 的一 -BP? 条直线。 24.婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形 ABCD 的对角线相互垂直,则垂直于一边 CD 且过对角线交点 E 的直 线 EF 将 AB 平分对边。

25.莱莫恩(Lemoine)定理:过△ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线,分别和 BC、 CA、AB 所在直线交于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线。直线 PQR 称为△ABC 的莱莫恩线。

证明:由弦切角定理可以得到: sin∠ ACR=sin∠ ABC ,sin∠ BCR=sin∠ BAC sin∠ BAP=sin∠ BCA, sin∠ CAP=sin∠ ABC sin∠ CBQ=sin∠ BAC sin∠ ABQ=sin∠ BCA 所以,我们可以得到:(sin∠ ACR/sin∠ BCR)*(sin∠ BAP/sin∠ CAP)*(sin∠ CBQ/sin∠ ABQ)=1, 这是角元形式的梅涅劳斯定理,所以,由此,得到△ABC 被直线 PQR 所截,即 P、Q、R 共线。

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26.清宫定理:设 P、Q 为△ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点,P 关于三边 BC、CA、 AB 的对称点分别是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线 于 D、E、F,则 D、E、F 在同一直线上

证明:设 P、Q 为△ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点,P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于 D、 E、F 这时,P、Q 两点和 D、F、E、三点有如下关系: 将三角形的三边或者其延长 从 线作为镜面,则从 P 点出发的光线照到 D 点经过 BC 反射以后通过 Q 点,从 P 点出发的光 线照到 E 点经 AC 的延长线反射后通过 Q 点, P 点出发的光线照到 F 点后通过 Q 点 从 而,如果 P、Q 两点重合,则 D、E、F 三点成为从 P(即 Q)点向 BC,CA,AB 或者它们 的延长线所引的垂线的垂足。于是,如果 P、Q 两点重合,清宫定理就成为西摩松定理。 我们决定将证明清宫定理的方针确定如下:因为 D、E、F 三点中,有两点在△ABC 的 边上,其余一点在边的延长线上, 如证明(BD/DC)· (CE/EA)· (AF/FB)=1, 则根据梅涅劳斯定理的逆定理,就可证明 DEF 三点在同一直线上。 首先,A、B、P、C 四点在同一圆周上,因此∠PCE=∠ABP 但是,点 P 和 V 关于 CA 对称 又因为 P 和W关于 AB 对称,所以 从这三个式子,有 ∠PCV=∠PBW 另一方面,因为∠PCQ 和∠PBQ 都是弦 PQ 所对的圆周角, 所以∠PCQ=∠ PBQ 即∠QCV=∠QBW 两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠ PBW+∠ PBQ 即△QCV 和△QBW 有一个顶角相等, 所以∠PCV=2∠PCE ∠PBW=2∠ABP

因此 S(△QCV)/S(△QBW)=(CV· CQ)/(BW· BQ) 但是 CV=CP,BW=BP,所以 S(△QCV)/S(△QBW)=(CP· CQ)/(BP· BQ) 同理 S(△QAW)/S(△QCU)=(AP· AQ)/(CP· CQ) S(△QBU)/S(△QAV)=(BP· BQ)/(AP· AQ) 于 是 ( BD/DC)· CE/EA)· ( (AF/FB) =[S( △QBU) /S( △QCU) ]· [S( △QCV) /S (△QAV) [S ]· (△QAW) (△QBW) =[S /S ] (△QBU) (△QAV) [S /S ]· (△QCV) (△QBW) [S /S ]· (△QAW)/S(△QCU)] =[(BP· BQ)/(AP· AQ)]· [(CP· CQ)/(BP· BQ)]· (CP· CQ)] =1 根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F 三点在同一直线上 [(AP· AQ)/

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