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2014年全国高中数学联赛湖北省预赛试题+答案(高一)


2014 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级)
一、填空题(本题满分 90 分,每小题 9 分。直接将答案写在横线上。 ) 1. 若非空集合 A ? {x | 3a ? 2 ? x ? 5a ? 4} ,B ? {x | 5 ? x ? 31} , 则能使 A ? A ? B 成立的所有 a 的 集合是

{a | 3 ? a

? 7}

.

2. 在四边形 ABCD 中, CB ? 2 AC ? 3 AD ,则△ ADC 与△ ABC 的面积之比为

1 3



3. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 2 ,且对任意的 x ? R 都有 f ( x ? 5) ? f ( x) + 5 ,

f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 .则 f (2014) ?

2015


2

4.在△ ABC 中, A ? 30? , 2 AB ? AC ? 3BC ,则△ ABC 的最大角的余弦值为 5.在直角坐标平面内,曲线 | x ? 1 | ? | x ? 1 | ? | y |? 3 围成的图形的面积是 5 .

?

1 2



6. 在单调递增数列 {a n } 中, 已知: 且 a 2 n?1 , a 2 n , a 2 n?1 成等差数列, a2 ? 4 , a2n , a2n?1 , a2n? 2 a1 ? 2 , 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?.那么, a100 ?
*

2601

.

7.去掉集合 A ? {n | n ? 10000, n ? N } 中所有的完全平方数和完全立方数后,将剩下的元素按从小 到大的顺序排成一个数列,则 2014 是这个数列的第
2

1961

项.

8. 若函数 f ( x) ? log a (ax ? x ? ) 在区间 [1,2] 上递增,则 a 的取值范围是 ( , ] ? (1, ??) . 9.若 a ? A 且 a ? 1 ? A, a ? 1 ? A ,则称 a 为集合 A 的孤立元素.那么,集合 M ? { 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 } 的无孤立元素的 4 元子集有 10. 已知 0 ? 21 个.

3 2

1 1 8 4

? ?? ?

?
2

,且 tan ? ? 3 tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为

?
6



二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。 ) 11. 求函数 y ?

x x 2 ? 3x ? 2

的值域.



函数的定义域为 {x | x ? 2 或 x ? 1} ,当 x ? 0 时 y ? 0 .

当 x ? 0 时,令 t ?

x 2 ? 3x ? 2 3 1 1 ? 1 ? 3t ? 2t 2 ? 2(t ? ) 2 ? . ,记 u ? 2 x 4 8 x

………………5 分

若 x ? 2 ,则 0 ? t ?

1 1 ,故 u ? (0,1) ,从而可得 y ? ? (1,??) ; u 2 1 ? (0,??) ; u 1 ? (?1,0) . u

……………… 10 分

若 0 ? x ? 1 ,则 t ? 1 ,故 u ? (0,??) ,从而可得 y ?

………………15 分

若 x ? 0 ,则 t ? 0 ,故 u ? (1,??) ,从而可得 y ? ?

综合可知: y ? (?1,??) ,即函数的值域为 (?1,??) .

………………20 分

12. 已知数列 {a n } 满足: a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 3n 2 ? 3n ? 2 ? (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)证明:

1 , n ? N* . n(n ? 1)

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2
2

解 (1)因为 a n?1 ? a n ? 3n ? 3n ? 2 ? (

1 1 ? ) ,所以 n n ?1

n?1 n?1 n?1 1 1 an ? a1 ? ? (a k ?1 ? ak ) ? 3 ? ? (3k 2 ? 3k ? 2) ?? ( ? ) k k ? 1 k ?1 k ?1 k ?1

1 n(n ? 1) 1 1 ? 3 ? 3 ? (n ? 1)n(2n ? 1) ? 3 ? ? 2(n ? 1) ? (1 ? ) ? n 3 ? n ? .…………………10 分 6 2 n n
(2)因为

1 1 1 1 n n n ? 4 ? 2 ? 2 ? ( 2 ? 2 ), 2 2 2 2 an n ? n ? 1 (n ? 1) ? n (n ? n ? 1)(n ? n ? 1) 2 n ? n ? 1 n ? n ? 1
所以

1 1 n 1 1 1 1 1 ? ?( 2 ? 2 ) ? [1 ? ]? . ? 2 k ?1 k ? k ? 1 k ? k ? 1 2 n(n ? 1) ? 1 2 k ?1 ak

n

…………………20 分

13. 已知函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ? sin 2 x ? 1 , (1)求函数 f ( x) 的最值; (2)如果函数 f ( x) 在 (0, M? ) 上恰有 2014 个零点,求 M 的取值范围. 解 (1)因为 f ( x ? ? ) ? f ( x) ,所以 f ( x) 是以 ? 为周期的函数,故只需考虑 f ( x) 在 [0, ? ] 上的最 大值. ①当 x ? [0,

?

] 时,令 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ,则 t ?[1, 2] , f ( x) ? ?t 2 ? t ? u(t ) ,易知 2 4

?

u (t ) 在区间 [1, 2] 上单调递减,所以, f ( x) 的最大值为 u(1) ? 0 ,最小值为 u( 2) ? 2 ? 2 .
②当 x ? (

?

, ? ] 时,令 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ,则 t ?[ 1 , 2] , f ( x) ? t 2 ? t ? 2 ? v(t ) ,易 2 4

?

知 v(t ) 在区间 [1, 2] 上单调递增,所以, f ( x) 的最大值为 v( 2) ? 综合可知:函数 f ( x) 的最大值为 2 ,最小值为 2 ? 2 .

2 ,最小值为 v(1) ? 0 .
…………………10 分

(2)因为 f ( x) 是以 ? 为周期的函数,可以先研究函数 f ( x) 在 (0, ? ] 上的零点个数,易知 f (? ) ? 0 . 当 x ? (0,

?

2 令 f ( x) ? u (t ) ? ?t ? t =0, 解得 t ? 0 或 1. t ? 2 sin( x ? ) ? 0 在 (0, ] 上无解, ] 时, 2 4 2

?

?

t ? 2 sin( x ? ) ? 1 在 (0, ] 上仅有一解 x ? . 4 2 2
当 x?(

?

?

?

?

, ? ) 时,令 f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解得 t ? ?2 或 1. t ? 2 sin( x ? ) ? ?2 在 ( , ? ) 2 4 2 2 sin( x ? ) ? 1 在 ( , ? ) 上也无解. 4 2

?

?

上无解, t ?

?

?

综合可知:函数 f ( x) 在 (0, ? ] 上有两个零点,分别为 x ?
*

?
2

和 x ?? .

又因为 f ( x) 是以 ? 为周期的函数,所以,若 n ? N ,则 f ( x) 在 (0, n? ] 上恰有 2n 个零点. 又已知函数 f ( x) 在 (0, M ? ) 上恰有 2014 个零点,所以 1007 ? M ? 1007.5 . …………………20 分


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