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江苏省宿迁市马陵中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省宿迁市马陵中学高一(上)期中数学试卷
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. ) 1. (5 分)设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B=. 2. (5 分)若 A=[﹣1,3],则 A∩Z=. 3. (5 分)如图所示,已知 A,B 均为集合 U={1,2,5,7,11}的子集,且 A∩B={2}, (?UB) ∩A={11},则集合 A 等于.

4. (5 分)函数

的定义域是.

5. (5 分)已知 a=2 ,b=2 ,

0.8

0.3

,则 a,b,c 三者由小到大的顺序为.

6. (5 分)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是. (填序号) ①y=﹣x+1;②y= ;③y=x ﹣4x+5;④y= .
2 2

7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x.则 f(1)=. 8. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是. (填图象编号)
x

9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,则实数 a 的取 值范围是. 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为最小正周期是 6 的周期函数,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x) 2 =﹣(x+2) ;当﹣1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=.

2

11. (5 分)为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文 密文
x

密文→明文

已知加密为 y=a (x 为明文、y 为密文) ,如果明文“3”通过加密后得到密文为“8”,再发送, 接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“16”,则原发的明文是.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是.

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点,

13. (5 分) 已知函数 ( f x) =a +logax (a>0 且 a≠1) 在[1, 2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6, 则 a=.

x

14. (5 分)已知函数 =f(c) ,则 abc 的取值范围是.

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)

二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分) (1)计算: (2 ) (2)解方程:log3(6 ﹣9)=3. 16. (14 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|ax+1=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 B?A,求实数 a 的值.
2 x

+(lg5) +(

0





17. (14 分)讨论函数 f(x)=

(a≠0)在区间(﹣1,1)上的单调性.

18. (16 分)设函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域;



(2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f( )+f(x)=0.

19. (16 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

20. (16 分)已知函数 f(x)=

,x∈[1,+∞) .

(1)当 a= 时,判断证明 f(x)的单调性并求 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞) ,f(x)>1 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年江苏省宿迁市马陵中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. ) 1. (5 分)设集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B={1,2,3,4}. 考点: 专题: 分析: 解答: 并集及其运算. 集合. 直接利用并集的运算法则,求出两个集合的所有元素的集合即可. 解:集合 A={ 1,2,3},B={ 2,4},则 A∪B={1,2,3,4}.

故答案为:{1,2,3,4}. 点评: 本题考查集合的基本运算,并集的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)若 A=[﹣1,3],则 A∩Z={﹣1,0,1,2,3}. . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接由交集的运算得答案. 解答: 解:∵A=[﹣1,3],Z 是整数集, ∴A∩Z=[﹣1,3]∩Z={﹣1,0,1,2,3}. 故答案为:{﹣1,0,1,2,3}. 点评: 本题考查了交集及其运算,是基础题. 3. (5 分)如图所示,已知 A,B 均为集合 U={1,2,5,7,11}的子集,且 A∩B={2}, (?UB) ∩A={11},则集合 A 等于{2,11}.

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 由韦恩图可知,集合 A=(A∩B)∪(CUB∩A) ,直接写出结果即可. 解答: 解: 用 Venn 图的表示, 因为 A∩B={2}, 所以 2∈A, 又因为 CUB∩A={11}, 所以 11∈A, 则集合 A 等于{2,11}. 故答案为:{2,11}. 点评: 本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算,考查了同学们借助于 Venn 图解决集合问题的能力. 4. (5 分)函数 的定义域是{x|x>﹣1 且 x≠1}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 欲求此函数的定义域,可由 x+1>0,且 1﹣x≠0,解出 x 的取值范围,最终得出答案. 解答: 解:∵x+1>0,且 1﹣x≠0,∴x>﹣1 且 x≠1, 故答案为:{x|x>﹣1 且 x≠1}. 点评: 本题考查的是求定义域时要注意对数函数的真数大于 0,并且分母不能是 0 的问题. 5. (5 分)已知 a=2 ,b=2 ,
0.8 0.3

,则 a,b,c 三者由小到大的顺序为 c<b<a.

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: a=2 >b=2 >2 =1,c=ln <ln1=0,由此能比较 a,b,c 三者的大小关系. 解答: 解:∵y=2 为增函数, 0.8 0.3 0 ∴a=2 >b=2 >2 =1, ∵y=lnx 为增函数, ∴c=ln <ln1=0, ∴c<b<a. 故答案为:c<b<a 点评: 本题考查对数值大小的比较,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化. 6. (5 分)下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是②. (填序号) ①y=﹣x+1;②y= ;③y=x ﹣4x+5;④y= .
2 x 0.8 0.3 0

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数,幂函数,二次函数,反比例函数的单调性即可找出在(0,2)上递 增的函数. 解答: 解: y=﹣x+1 在 R 上为减函数; y= 在(0,2)上为增函数; 2 y=x ﹣4x+5 在(0,2)上为减函数; y= 在(0,2)上为减函数. 故答案为:②. 点评: 考查一次函数、幂函数、二次函数、以及反比例函数的单调性. 7. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x.则 f(1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 将 x≤0 的解析式中的 x 用﹣1 代替,求出 f(﹣1) ;利用奇函数的定义得到 f(﹣1) 与 f(1)的关系,求出 f(1) . 解答: 解:∵f(﹣1)=2+1=3 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴f(﹣1)=﹣f(1) ∴f(1)=﹣3 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查奇函数的定义:对任意的 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x) . 8. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是②. (填图象编号)
x 2

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据图象的平移和翻折即可得到 x x 解答: 解:f(x)=2 ﹣2 的图象由 y=2 图象向下平移一个单位, 而 y=|f(x)|的图象是由 f(x)的图象横坐标不变,在 x 轴上方的图象不变,在 x 轴下方图象 折到 x 轴上方, 故函数 y=|f(x)|的图象可能是② 故答案为:② 点评: 本题考查了图象的平移和翻折,属于基础题 9. (5 分)若函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,则实数 a 的取 值范围是{a| 或 }.
2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出二次函数的对称轴,由题意知,区间(1,2)在对称轴的左侧或者右侧,列 出不等式解出实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵二次函数 f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 的对称轴为 x=a﹣ , f(x)=x ﹣(2a﹣1)x+a+1 是区间(1,2)上的单调函数,∴区间(1,2)在对称轴的左侧 或者右侧, ∴a﹣ ≥2,或 a﹣ ≤1,∴a≥ ,或 a≤ , 故答案为:{a|a≥ ,或 a≤ }. 点评: 本题考查二次函数的性质,体现了分类讨论的数学思想. 10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为最小正周期是 6 的周期函数,当﹣3≤x<﹣1 时,f(x) 2 =﹣(x+2) ;当﹣1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f=337. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(﹣3)=﹣1,f(﹣2)=0,f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1,f(2) =2,再由定义在 R 上的函数 f(x)为最小正周期是 6 的周期函数,能求出 f(1)+f(2)+f (3)+…+f 的值.
2 2

解答: 解:由已知得 f(﹣3)=﹣1,f(﹣2)=0,f(﹣1)=﹣1,f(0)=0,f(1)=1,f (2)=2, 定义在 R 上的函数 f(x)为最小正周期是 6 的周期函数, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f=335(﹣1+0﹣1+0+1+2)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =335+1+2﹣1+0 =337. 故答案为:337. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的周期性的合理 运用. 11. (5 分)为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下: 明文 密文
x

密文→明文

已知加密为 y=a (x 为明文、y 为密文) ,如果明文“3”通过加密后得到密文为“8”,再发送, 接受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为“16”,则原发的明文是 4. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 计算题;推理和证明. x 分析: 明文“3”,即 x 的值,得到密文为“6”,即 y 的值,求得 a=2,密码对应关系为:y=2 , 按此规则可求出原发的明文. 解答: 解:依题意可知明文“3”,即 x=3,得到密文为“6”,即 y=6,求得 a=2,密码对应关 x 系为:y=2 , 接受方接到密文为“14”,即 y=14,则原发的明文是 x=4. 故答案为:4 点评: 本题考查求指数函数解析式,仔细分析题意,是解好题目的关键,是基础题.

12. (5 分)已知函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是(0,1) .

,若函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点,

考点: 函数的零点. 专题: 数形结合法. 分析: 先把原函数转化为函数 f(x)= 合图象进行求解. ,再作出其图象,然后结

解答: 解:函数 f(x)=

=



得到图象为: 又函数 g(x)=f(x)﹣m 有 3 个零点, 知 f(x)=m 有三个零点, 则实数 m 的取值范围是(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查函数的零点及其应用,解题时要注意数形结合思想的合理运用, 13. (5 分) 已知函数 ( f x) =a +logax (a>0 且 a≠1) 在[1, 2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6, 则 a=2. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据函数解析式判断当 a>1 时,函数 f(x)=a +logax,单调递增,当 0<a<1 时, x 2 函数 f(x)=a +logax 单调递减,可得出 f(1)=a,f(2)=a +loga2, 2 其中有一个最大值,一个最小值,即可得出 a+a +loga2=loga2+6,求出 a 即可. x 解答: 解:∵函数 f(x)=a +logax(a>0 且 a≠1) 2 f(1)=a,f(2)=a +loga2, x ∴当 a>1 时,函数 f(x)=a +logax,单调递增, x 当 0<a<1 时,函数 f(x)=a +logax 单调递减, 2 ∴在[1,2]上的最大值与最小值之和为:a+a +loga2=loga2+6, 2 ∴a +a=6,a=2,a=﹣3(舍去) 故答案为:2 点评: 本题考查了指数函数,对数函数的单调性,解决最值问题,属于容易题.
x

14. (5 分)已知函数 =f(c) ,则 abc 的取值范围是(10,12) . 考点: 专题: 分析: 解答:

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)

分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 计算题;数形结合. 画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,不妨 a<b<c,求出 abc 的范围即可. 解:作出函数 f(x)的图象如图,

不妨设 a<b<c,则﹣lga=lgb=﹣ c+6∈(0,1) ab=1,0<﹣ c+6<1 则 abc=c∈(10,12) . 故答案为: (10,12)

点评: 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力. 二.解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分) (1)计算: (2 ) (2)解方程:log3(6 ﹣9)=3. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)化带分数为假分数后直接进行有理指数幂的化简运算; (2)化对数式为指数式,然后求解指数方程,得到 x 的值后进行验根. 解答: 解: (1)
x

+(lg5) +(

0





=(



+(lg5) +[( ) ]

0

3

= +1+ =4. (2)由方程 log3(6 ﹣9)=3 得 x 3 6 ﹣9=3 =27, x 2 ∴6 =36=6 ,∴x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. ∴原方程的解为 x=2. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了对数方程的解法,解答对数方程时不 要忘记验根,此题是基础题. 16. (14 分)设集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|ax+1=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 B?A,求实数 a 的值. 考点: 交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)由 A∩B={2}得 2∈B,把 2 代入 ax+1=0 代入求出 a 的值; 2 (2)由 x ﹣3x+2=0 求出集合 A,由子集的定义和 B?A 求出 B 所有的情况,再依次代入求出 a 的值.
2 x

解答: 解: (1)因为 A∩B={2},所以 2∈B, 则 2a+1=0,解得 a=
2



(2)由 x ﹣3x+2=0 得,x=1 或 x=2,则 A={1,2}, 因为 B?A,所以 B=?或{1}或{2}, 当 B=?时,则 a=0, 当 B={1}时,则 a+1=0,得 a=﹣1, 当 B={2}时,则 2a+1=0,得 a= 综上得,实数 a 的值是 0 或﹣1 或 , .

点评: 本题考查交集及其运算,子集的定义,以及一元二次方程的解法,属于基础题.

17. (14 分)讨论函数 f(x)=

(a≠0)在区间(﹣1,1)上的单调性.

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求 f′(x) ,讨论 a 的取值,从而判断出 f′(x)的符号,从而判断出 f(x)在(﹣1, 1)上的单调性. 解答: 解:f′(x)= ;

∴a>0 时,f′(x)>0; ∴f(x)在(﹣1,1)上单调递增; a<0 时,f′(x)<0; ∴f(x)在(﹣1,1)上单调递减. 点评: 考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法,要正确求导.

18. (16 分)设函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f( )+f(x)=0.



考点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由分式的分母不为 0,解不等式,即可得到定义域; (2)先判断定义域是否关于原点对称,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到奇偶性; (3)计算 f( ) ,再与 f(x)求和,即可得证.

解答: (1)解:由解析式知,函数应满足 1﹣x ≠0,即 x≠1 且 x≠﹣1, ∴函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠1 且 x≠﹣1}; (2 )解:由(1)知定义域关于原点对称, f(﹣x)= ∴f(x)为偶函数; = =f(x) ,

2

(3)证明:∵f( )=

=

,f(x)=



∴f( )+f (x)=

+

=



=0.

点评: 本题考查函数的定义域的求法,及函数的奇偶性的判断,以及函数值的计算,考查 运算能力,属于基础题. 19. (16 分)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t, P) ,点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万 股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系 式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少?

考点: 根据实际问题选择函数类型;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 应用题. 分析: (1)根据图象可知此函数为分段函数,在(0,20]和因为 Q 与 t 成一次函数关系, 根据表格中的数据,取出两组即可确定出 Q 的解析式; (3)根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知 y=PQ,可得 y 的解析式,分别在各段上 利用二次函数求最值的方法求出即可.

解答: 解: (1)

(2)设 Q=at+b(a,b 为常数) ,将(4,36)与(10,30)的坐标代入, 得 .
*

日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q=40﹣t,0<t≤30,t∈N .

(3)由(1) (2)可得



当 0<t≤20 时,当 t=15 时,ymax=125; 当 上是减函数,y<y<y(15)=125.

所以,第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元. 点评: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,理解分段函数的能力.

20. (16 分)已知函数 f(x)=

,x∈[1,+∞) .

(1)当 a= 时,判断证明 f(x)的单调性并求 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞) ,f(x)>1 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a= 时,可求得 f(x) ,在[1,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2.通过作差比 较 f(x1)与 f(x2)的大小,根据增减函数的定义可判断单调性,进而可求得函数的最小值; (2)在区间[1,+∞)上,f(x)= >1 等价于 x +x+a>0,令 g(x)=x +x+a,根据
2 2

单调性可求得 g(x)的最小值,则最小值大于 0; 解答: 解: (1)当 a= 时,f(x)=x+ 在[1,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2. 则 f(x1)﹣f(x2)=( ∵1<x1<x2,∴x1﹣x2<0,1﹣ +2)﹣( >0, +2)=(x1﹣x2) +2,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,

∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)的最小值为 f(1)= ; (2)在区间[1,+∞)上,f(x)= 而 g(x)=x +x+a=
2

>1 等价于 x +x+a>0,

2

+a﹣ 在[1,+∞)上递增,

∴当 x=1 时,g(x)min=2+a,当且仅当 2+a>0 时,恒有 f(x)>1,即实数 a 的取值范围为 a>﹣2. 点评: 本题考查函数的单调性及其应用,考查恒成立问题,考查转化思想,解决(2)问的 关键是对不等式化简后转化为函数的最值解决.


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