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实验测量不确定度与数据处理


普 物 实 验 理 论 实 验 不 确 定 度 与 数 据 处 理

普通物理实验_绪论

实验测量 不确定度与数据处理
物理实验室
2012年9月
1

——

普 物 实 验 理 论 实 验 不 确 定 度 与 数 据 处 理

普通物理学实验

学时数:38 学分: 1 一、课程性质和目的
本课程为大学本科理科非物理类学生设置的通识必修课程, 是系统学习基本实验知识、实验方法和实验技能的开端,是整个 自然科学和工程技术科学的基础。 不仅是理科各专业学生继续学习专业课程和其他科学技术的 知识基础,而且也是一门培养和提高学生科学素质、科学思维方 法和科学研究能力的重要课程。

——

二、教学基本要求及基本内容
《普通物理学实验(B)》内容涵盖了力、热、电、光学等物理学主 要课程的基本原理和基本概念。
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主要内容及学时安排

——
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实验课基本要求
实验报告与预习报告的基本区别
预习报告 实验报告

——

完成时间

实验前

实验后

实验目的、仪 实验目的、仪器、 完成内容 器、步骤、数 原理、数据处理、 据表格 结果讨论 实验报告+预习报告(原始数据需 交报告时间 教师签名)合成一份于下次实验时 上交

注:实验中的图一律用坐标纸画,禁止用白纸画 4

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三、考核方式
课程考核最终成绩采用百分制,具体由以下两部分组成: 课程成绩 = 平时成绩 ? 60%+期末操作考试? 40% 平时成绩: 实验预习报告、实验操作、实验报告完成情况及出勤情况, 占总成绩60%; 期末操作考试: 期末现场实验操作考试成绩,占总成绩40%。 所有学生总评成绩必须达到60分以上才能取得本门课程学分。

——

地点:主楼1号楼1—3层(具体实验室见轮值表) 5

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主要内容
§1-1 测量与仪器

——

§1-2 实验测量的不确定度 §1-3 实验数据处理——有效数字及其运算

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§1-1 测量与仪器
一.测量
1 .测量的含义
◆待测物理量与同类标准物理量相比较得出的倍数关系

——

◆包含四要素:对象,单位,方法,准确度

2 .测量的分类
◆按获得结果的方法分类: 直接测量、间接测量
◆按测量条件分类: 等精度测量、非等精度测量

◆按测量次数分类:

单次测量、多次测量
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二、误差
1 .真值
★物理量客观存在的固有大小,用

x0 表示。

★是不可能通过实际测量获得的,任何测量都存在误差。

——

2 .误差的定义
误差 = 测量值-真值

?x ? x ? x0

3、绝对误差和相对误差
①.绝对误差 ?x

②.相对误差

?x E? ? 100% x
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4、误差的分类
A ---系统误差: ★定 义:在相同条件下,对同一待测量的多次测量过程 中,保持恒定变化(大小、正负不变)或按特定规律变化 的误差。一般在测量前就应该知道的。 ★产生原因:仪器、方法、环境、人 ★解决办法:代替法、交换法、修正法

——

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B---偶然误差: ★定 义:在相同条件下,对同一待测量的多次测量过程 中,绝对值和符号以不可预知方式变化的误差分量。 ★产生原因:随机的、不可预见的 ★发现方法:从大量重复测量结果进行观察 ★解决办法:多次重复测量时符合统计分布规律-- 正态分布规律

——

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5、测量精度: 反映测量结果与真值的接近程度。
①.精密度:测量数据的集中和分散程度。
——反映偶然误差的大小 ②.准确度:测量的平均值偏离真值的程度。 ——反映系统误差的大小 ③.精确度:测量数据集中在真值附近 ——综合反映系统误差和偶然误差

——

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精密度高 准确度低

精密度低 准确度高

精确度高

——
图(A) 图(B) 图 (C)
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总结
1、直接测量与间接测量是相对的。随着科学技 术的发展,测量仪器的改进,原来只能间接测量 的量,现在可以直接测量。 2、间接测量是从直接测量通过公式计算来得 到,因此直接测量是测量的基础 三、仪器的准确度等级(仪器的额定误差?仪即 仪器的公差) 测量时是以仪器为标准进行比较,因此要求仪 器准确(即满足测量范围,又要满足仪器准确 度等级),但是测量的目的不同对仪器准确度 的要求也不同

——

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表1-1常用仪器的主要技术条件和仪 器的最大公差
量具(仪器) 米尺(竹尺) 量程 30-50cm 60-100cm 150mm 500mm 1000mm 1m 2m 125mm 300mm 最小分度值 1mm 1mm 1mm 1mm 1mm 1mm 1mm 0.02mm 0.05mm 出厂公差













游标卡尺

±1.0mm ±1.5mm ±1.0mm ±1.5mm ±2.0mm ±0.8mm ±1.2mm ±0.02mm ±0.05mm ±0.004mm14

——

螺旋测微器(千分 0-25mm 尺)

0.01mm

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表1-1常用仪器的主要技术条件和仪 器的最大公差(续)
量具(仪器) 量程 最小分度值 出厂公差 0.08g(接近滿量程) 0.06g(1/2量程附近) 0.04g (1/3量程和以下) 1.3mg (接近滿量程) 1.0mg (1/2量程附近) 0.7mg (1/3量程和以下) ± 10 C ± 0.20C AmK%
返回
15

——

七级天平(物 500g 理天平) 三级天平(分 200g 析天平)

0.05g

0.1mg

普通温度计 (水银或有机 0-1000C 10C 溶剂)

精密温度计 (水银)
电 表

0-1000C 0.10C

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§1-2 实验测量不确定度的评定
一、不确定度的定义与物理意义 1、定义: 由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度, 称为不确定度,它是与测量结果相联系的一个参数

——

测量结果 ? x ? u ? p ?
测量值 测量不确定度(包含真值的概率)

用测量的算术平均值来表示

x1 ? x2 ? ? xn x? n

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测量结果 ? x ? u ? p ?

表示真值在量值 x ? u , x ? u 之中,显然量 值范围越窄,则测量不确定度越小,用测量值 表示真值的可靠性就越高
2、分类(把可修正的系统误差修正后) 可用概率统计法计算的A类评定 用其它非统计方法估算的B类评定 3、物理意义:更科学地表示了测量结果的可靠性
17

?

?

——

普 物 二、不确定度的评定(计算) 实 验 1、直接测量量的标准不确定度 理 论 (1)A类评定(uA) 1)用贝塞尔公式求标准偏差 实 验 不 确 定 度 与 数 据 处 理
偏差(测量列的偏差):每次测量值与平均值 之差。 用符号 Vi 表示

——

Vi ? xi ? x
其中i ? 1,2,3? n
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贝塞尔公式:测量列标准偏差

?x ?

? ?x
i ?1

n

i

? x?

2

?n ? 1?

?

?V
i ?1

n

2

i

——

?n ? 1?

根据高斯误差理论:测量列平均值的标准偏差

?x ?

? ?x ? x ?
i ?1 i

n

2

n?n ? 1?

?

?x
n
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当测量次数足够多时,测量值分布满足正态分布

——
间内的可信程度

置信概率68.3%

?置信度:或称置信概率,表示被测量在给定区
在等精度条件下对同一测量量的A类不确定度 可用算术平均值的标准偏差来衡量 20

?? x ?? x

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但实验测量中,次数有限所以测量值不满足正态 分布,而是遵循t分布。

——

? tvp ? ? x ? ? x ? ? x ? tvp ? ? x
因此为达到同样的置信水平,应把测量偏差范 围扩大,乘上一个t因子,即:

tvp ? ? x

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三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1) t v 2 p 0.68 1.32 0.95 0.99 4.30 9.93

3
1.20 3.18 5.84

4
1.14 2.78 4.60

5
1.11 2.57 4.03

6
1.09 2.46 3.71

7
1.08 2.37 3.50

——

t v 8 p 0.68 1.07 0.95 2.31 0.99 3.36

9 1.06 2.26
3.25

14 1.04 2.15
2.98

19 1.03 2.09
2.86

? 1 1.96
2.58
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所以直接测量量不确定度A类评定为:

u A ? tvp ? ? x ? tvp ?

?x

n

——

对于不同的置信概率P,具不有同的A类不确定度 (2)B类评定(uB) 1)不确定度是正态分布或近似高斯分布

uB ?

?仪 3

当在[-uB,uB]内的置信概率为68.3% 当在[-uB,uB]内的置信概率为99.7%
23

uB ? ?仪

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2)测量值在[a-,a+]的概率为1,在此范围外为 0,且测量值在[a-,a+]范围内均匀分布

uB ?

?仪 3 ?仪 6
当在[-uB,uB]内的置信概率为58%

——

3)测量值在[a-,a+]的中点处出现概率最大,并 呈三角形分布

uB ?

当在[-uB,uB]内的置信概率为74%

一般(正态分布)测量值的B类不确定度可表示为:

uB ? k p

?仪 C
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置信概率p与置信因子kp的关系表 0.99 p 0.500 0.683 0.900 0.950 0.955 0.997 0

——

kp 0.675

1

1.65

1.96

2

2.58

3

误差分布与置信系数C的关系
仪器名称 米尺 游标 卡尺 均匀 分布 千分 尺 正态 分布 物理天平 正态分布 秒表 正态分 布

误差分布 正态分布

C

3

3

3

3

3
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(3)不确定度的合成——总不确定度u

u ? u ?u
2 A

2 B

当置信概率为68.3%时,测量值可写为

——

特例

x ? x ?u
u ? uA u ? uB
略去B类不确定度

1)对于偶然误差为主的测量情况

2)对于系统误差为主的测量情况 略去A类不确定度
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(4)不确定度的展伸 1、定义:
扩大置信度(概率)的不确定度测量称为展伸不确定度

2、数学表达式

——

如:

u? ? k p ? u
x ? x ?u x ? x ? 1.96u
x ? x ? 2.58u
(p=68.3%) (p=95%)

(p=99%)
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(5)直接测量结果不确定度书写表示注意事项

?不确定度、测量值应保持一致。

?测量不确定度用一位或二位数表示均可。如果
作为间接测量的一个中间结果(中间过程)不确 定度最好用二位。(首位逢一、二用二位),对 不保留数字一律“只进不舍”,如ux=0.32,取 0.4。 ?测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对 保留数字末位采用“4舍6入,5凑偶”规则。
如:

——

测量结果平均值为2.1445cm,其标准不确定度计算为 0.0124cm, 则测量结果为2.144±0.013cm 28

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(6)不确定度的其它表示

相对不确定度:没有单位,用百分数表示,它 更能反映测量的准确程度
定义:表示不确定度ux在整个测量值 占百分比,用符号“E”来表示

——

x

中所

ux E ? ?100% x
位数用1-2位 10%-100%取2位
29

0-10%取1位,首位“1”或“2”取二位

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2、间接测量量不确定度的估算
表示间接测量量与直接测量量之间不确定关系的关 系式称为不确定度传递公式 对于间接测量值

——

N ? f ?x1 , x2 , x3 ,?, xn ?
当x1、x2、x3……xn有微小变化dx1、dx2、dx3……dxn 时会引起间接测量量N的微小变化dN

因此必需从直接测量量的不确定度

间接测量量的不确定度

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3)基本运算的不确定度传递公式

?加法运算 N ? A ? B
?N ? ?A ? ?B
?N ?A ? ?B ? N A? B

——

?减法运算 N ? A ? B
?N ? ?A ? ?B
?N ?A ? ?B ? N A? B

结论:几个量相加、相减后结果的不确定度, 等于各量的不确定度之和 31

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?乘法运算 N ? A ? B
?N ? B ? ?A ? A ? ?B ?N B ? ?A ? A ? ?B ?A ?B ? ? ? N A? B A B A ?除法运算 N ? B ?N ?A ?B B ? ?A ? A ? ?B ? ? ?N ? 2 N A B B
结论:几个量相乘、除时,运算结果的相对不 确定度为 ?N ?x n ?A ?B

——

N

?

A

?

B

??

x

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4)不确定度运算顺序的选择

?函数为和与差关系------先计算绝对不确定度,
后计算相对不确定度

N ? 3x ? 2 y ? ?N ? 3?x ? 2?y

——

?函数为积与商关系------先计算相对不确定度,
后计算绝对不确定度
2

?N 3?x ? 2?y ? N 3x ? 2 y

?g ?L ?T L ? ?2 g ? 4? 2 ? E ? g L T T

?g ? E ? g

33

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?函数为先和差后积商关系------先计算相对不确
定度,后计算绝对不确定度

1 2 V ? ? d 2 ? d12 H 4
?V ? d ? d E? ? V d ?d
2 2 2 2

?

?

——

?

2 1 2 1

? ? ?H
H

2d 2 ?d 2 ? 2d1?d1 ?H ? ? 2 2 d 2 ? d1 H

?V ? E ?V

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?函数为先积商后和差关系------先计算绝对不确
定度,后计算相对不确定度

?w ? m??t0 ? t ? ? t T?

——

?w ? m??t0 ? t ? 令A ?
M

M

则?T ? ?A ? ?t

?A ??w ? m ? ??t0 ? t ? ?M E1 ? ? ? ? A w?m t0 ? t M

?w ? ?m ?t0 ? ?t ?M ? ? ? w? m t0 ? t M

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? ?A ? A ? E1

?T ?A ? ?t ?E ? ? T A?t
一般地,求不确定度传递公式的步骤:

——

1)对函数求全微分(乘除时可先对函数取对数, 再求全微分) 2)合并同一变量的系数
3)将微分号改为不确定度符号,求各项的平方 和再开方(几何合成)或求各项的绝对值(算术 合成)
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5、不确定度计算实例
1)用量程0~25mm,最小分度值为0.01mm,最大允差 为?0.004mm的螺旋测微器测量钢丝的直径10次,数据如 下: d(mm):2.006,2.008,2.002,2.001,1.998,2.010,1.993,1.995,1.99 0,1.997,求直径的标准偏差,并完整表示不确定度测量结 果。

——

1 n 1 10 解: d ? ? di ? 10 ? di ?2.000 mm n i ?1 i ?1
平均值标准偏差

?d ?

? ?d
n i ?1

i

?d?

n?n ? 1?

?

? ?d
i ?1

10

i

? 2.000 ? ? 0.002 mm
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10 ?10 ? 1?

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因测量次数为10次,查表得t0.68=1.06,

? u A ? t p? d ? 1.06 ? 0.002 ? 0.002 mm
螺旋测微器的误差为正态分布,C=3,所以

——

0.004 uB ? ? ? 0.001 3 3
总不确定度

?仪

u ? u ? u ? 0.002 mm
2 A 2 B

结果的不确定度表示

d ? d ? u ? 2.000 ? 0.002 mm u ?100 % ? 0.1% 结果的相对不确定度表示 Ed ? d 可详细阅读书上的例题 返回 38

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§1-3 有效数字及其表示
一、有效数字的意义 定义:测量数据中所有可靠数字加上一位可疑 数字统称为有效数字 特点: 是误差所在的位。它在一定程度上反映客观实际, 因此它是有效的。

——

?有效数字的最后一位为可疑数字,是不准确的,

?在读数时一般为估读,估读那一位为可疑数字。

?估读位前的几位数字都为可靠数字
39

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有郊数字的认定
1)在测量数据中1、2、……9九个数字,每个数 字都为有效数字 2)“0”是特殊数字,其认定应注意以下几种情况

——

?数字间的“0”为有效数字 ?数字后的“0”为有效数字 ?数字前的“0”不是有效数字,它只表示
数量级的大小
注意: 在测量时,数据不能任意多写或少写,即便 是“0”也一样
40

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总结
1、有效数字的位数计算,从第一位不是“0”的 数字至最后一位
2、在十进制单位中,有效数字的位数与十进制 单位的变化无关 例如:某长为1.34cm,有效数字为3位 1.34cm=13.4mm=0.0134m(只是单位在变)

——

41

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二、科学记数法--标准式 为计算的方便,对较大或较小的数值,常用 ×10±n的形式来书写(n为正整数),通常在小 数点前面只写一位数字。
如: 321000±1000m采用科学记数为(3.21±0.01)×105m 0.0001560±0.0000001m=(1.560±0.001) × 10-4m

——

三、有效数字的位数多少,在一定程度上反映 测量结果的准确度

?有效数字位数越多-相对误差越小,准确度越大 ?有效数字位数越少-相对误差越大,准确度越小

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三、运算后的有效数字--判断运算后有效数 字位数的一般规则 1)实验后计算不确定度,不确定度只取一位 或两位有效数字。测量值的有效数字的末位和 不确定度末位对齐。

——

例如:
单摆测重力加速度g测量值为981.24cm/s2, 不确定度为1.8cm/s2 则正确表示为 g= (981.2±1.8)cm/s2
43

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2)实验后计算不确定度,测量结果有效数字按 下列规则确定

?加减法则:加减运算所得结果的最后一位,
保留到所有参加运算的数中末位数数量级最大 的那一位为止 例: 71.32-0.8+6.3+271=347.82

——

分析:末位数数量级最大的是第四项,它在小 数点前一位,因此正确表示为 71.32-0.8+6.3+271=348(四舍五入)
44

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?乘除法则:积和商的位数与参与运算诸项中
有效数字位数最少的那一项相同 特殊情况:位数最少的数字,首位是“8”或 “9”时,其积或商有效数字位数可多取一位 例:

——

799 ? 6.5 ? 5193.5,由6.5 ? 保留两位有效数字 ? 799 ? 6.5 ? 5.2 ? 103
9.28 ? 6.2537 ? 58.034336,由9.28 ? 可多加一位有效数字 ? 9.28 ? 6.2537 ? 58.03

2598 ? 10170.3,由1.30 ? 有效数字3位 0.1965 ?1.30 2598 ? ? 1.02 ? 10 4 0.1965 ? 1.30

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?综合运算:根据计算原则,从左到右,先
“加、减”后“乘、除”进行,加、减按加、 减运算原则,乘除按乘除运算原则 例: 说明:

——

6.0432 ? 21.863 5.0136 ? 5.0134 6.0432 ? ? 21.863 0.0002 4 ? 3 ?10 ? 21.863 ? 3 ?10
4

1)先算分母(加减) 2)再算除法,保 留一位有效数字, 结果用科学记数法。 3)在求和两项中相 比,21.863太小可 略去,结果保留到 46 整数。

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?平均值原则:计算重复测量4次以上的数据
平均值时,有效数字多取一位

1.234 ? 1.235 ? 1.238 ? 1.230 ? 1.239 ? 1.2352 5

——

?无理数运算原则:取无理数的位数比参与运
算中有效数字位数最少的那一位多一位(其中, 常数不参与有效数字的运算)

4 3 4 V ? ?R ,若R ? 2.56 因为 为常数,此时?取4位 3 3
4 3 4 3 V ? ?R ? ? 3.142 ? ?2.56? ? 70.285 3 3 4 3 V ? ?R ? 70.3 结果取三位有效数字 3

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?乘方、开方原则:乘方、开方运算中,最
后结果的有效数字位数与自变量的有效数字位 数相同

4.405 2 ? 19.40

4.405 ? 2.099

——

?对数运算原则:自然对数的有效数字的位数
与真数有效数字的位数相同

?函数运算原则:详细参见课本

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四、数值的修约规则——尾数的舍入法则 通常“小于5则舍”,“大于5则入”,“等于5 则凑偶”即前一位为偶数则不进 例:

——

0.35 ? 0.4

0.45 ? 0.4

2.51取一位有效数字,因为5后有一位1,满足 大于5法则,则进

2.51 ? 3
本次作业:P30页, 第2题1、3,第3题3、4,第5题1、3、5,第6 题,第8题,第10题2、3,第11题
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普 物 实 验 理 论 实 验 不 确 定 度 与 数 据 处 理

实验课基本要求
实验报告与预习报告的基本区别
预习报告 实验报告

——

完成时间

实验前

实验后

实验目的、仪 实验目的、仪器、 完成内容 器、步骤、数 原理、数据处理、 据表格 结果讨论 实验报告+预习报告(原始数据需 交报告时间 教师签名)合成一份于下次实验时 上交

注:实验中的图一律用坐标纸画,禁止用白纸画


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