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2013-2014学年高一人教A版数学必修一课后作业 1.3.2.2 函数奇偶性的应用(教师版)精校电子版含解析]


(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数, 在区间[0,5]上是单调函数, 且 f(3)<f(1), 则( ) A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(-1) C.f(-1)<f(1) D.f(-3)>f(-5) 解析: 函数 f(x)在区间

[0,5]上是单调函数,又 3>1,且 f(3)<f (1),故此函数在区间[0,5] 上是减函数. 由已知条件及奇函数性质知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 在选项 A 中,-3<-1, 故 f(-3)>f(-1),选项 A 正确. 在选项 B 中,0>-1, 故 f(0)<f(-1),选项 B 错. 同理选项 C、D 也错.故选 A. 答案: A 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)· (f(x2) -f(x1))>0,则当 n∈N+时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析: 由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0 得 f(x)在 x∈(-∞,0]为增函数. 又 f(x)为偶函数, 所以 f(x)在 x∈[0,+∞)为减函数. 又 f(-n)=f(n)且 0≤n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1), 即 f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案: C 3.

设函数 f(x)=ax3+bx+c 的图象如图所示,则 f(a)+f(-a)( ) A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0 D.以上结论都不对 解析: 由图象知 f(x)是奇函数 f(-a)=-f(a) ∴f(a)+f(-a)=0,故选 B. 答案: B 4.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且 f(2)=0,则使 f(x) <0 的 x 的取值范围是( ) A.-2<x<2 B.x<-2 C.x<-2 或 x>2 D.x>2 解析: ∵f(x)是 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数 ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数, 又∵f(2)=0 f(|x|)<0=f(2) ∴|x|>2,∴x>2 或 x<-2,故选 C. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间为________.

解析: 由偶函数的定义知 k=3,f(x)=x2+3, 其图象开口向上, ∴f(x)的递减区间是(-∞,0]. 答案: (-∞,0] 6. 已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间(0,+∞)上有最大值 5,那么 h(x)在(-∞,0)上的最小值为________. 解析: 方法一:令 F (x)=h(x)-2=af(x)+bg(x), 则 F(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,h(x)≤5, ∴x∈(0,+∞)时,F(x)=h(x)-2≤3. 又 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∴F(-x)≤3?-F(x)≤3?F(x)≥-3. ∴h(x)≥-3+2=-1, 方法二:由题意知 af(x)+bg(x)在(0,+∞)上有最大值 3,根据奇函数图象关于原点的对 称性,知 af(x)+bg(x)在(-∞,0)上有最小值-3, ∴af(x)+bg(x)+2 在(-∞,0)上有最小值-1. 答案: -1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) ax2+2 5 7.已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)= .求实数 a,b 的值; 3 3x+b 解析: 由已知 f(x)是奇函数, ∴对定义域内任意 x,都有 f(-x)=-f(x), a?-x?2+2 ax2+2 即 =- , 3?-x?+b 3x+b ∴(ax2+2)(3x+b)=(-3x+b)(-ax2-2), ∴3ax3+abx2+6x+2b=3ax3-abx2+6x-2b, ? ?ab=-ab 由恒等式的性质,得? . ?2b=-2b ? ∴b=0. a×22+2 5 5 ∵f(2)= ,∴ = ,∴a=2. 3 3 3×2 2x2+2 即 a=2,b=0,此时 f(x)= . 3x 1 8.已知 y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0,试问 F(x)= 在(-∞, f?x? 0)上是增函数还是减函数?证明你的结论. 解析: F(x)在(-∞,0)上是减函数. 证明如下: 任取 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,则有-x1>-x2>0. ∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0, ∴f(-x2)<f(-x1)<0① 又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1)② 由①②得 f(x2)>f(x1)>0. f?x2?-f?x1? 于是 F(x1)-F(x2)= >0, f?x1?· f?x2? 即 F(x1)>F(x2), 1 所以 F(x)= 在(-∞,0)上是减函数. f?x? 尖子生题库 ☆☆☆

9.(10 分)已知函数 f(x)的定义域为(-2,2),函数 g(x)=f(x-1)+f(3-2x). (1)求函数 g(x)的定义域; (2)若 f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式 g(x)≤0 的解集. ?-2<x-1<2, ? 解析: (1)由题意可知? ?-2<3-2x<2, ? -1<x<3, ? ? 1 5 所以?1 .解得 <x< . 5 2 2 < x < ? ?2 2 1 5? 故函数 g(x)的定义域为? ?2,2?. (2)由 f(x)是奇函数可得 f(-x)=-f(x). 因为 g(x)≤0,所以 f(x-1)+f(3-2x)≤0, 即 f(x-1)≤-f(3-2x), 所以 f(x-1)≤f(2x-3). 又因为 f(x)在定义域内单调递减, 所以 x-1≥2x-3,解得 x≤2. 1 5? 由(1)可知函数 g(x)的定义域为? ?2,2?, 1 ? 所以不等式 g(x)≤0 的解集为? ?2,2?.


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