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第二轮复习五新情境应用问题


第二轮复习五 新情境应用问题
Ⅰ、综合问题精讲: 以现实生活问题为背景的应用问题,是中考的热点,这类问题取材新颖,立意巧妙,有利于对考生应用能力、阅 读理解能力。问题转化能力的考查,让考生在变化的情境中解题,既没有现成的模式可套用,也不可能靠知识的简单 重复来实现,更多的是需要思考和分析,新情境应用问题有以下特点: (1)提供的背景材料新,提出的问题新; (2) 注重考

查阅读理解能力,许多中考试题中涉及的数学知识并不难,但是读懂和理解背景材料成了一道“关”(3)注重 ; 考查问题的转化能力.解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题,这也是应用能力的核心. Ⅱ、典型例题剖析 【例 1】如图(8) ,在某海滨城市 O 附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的东偏南 70°方向 200 千米的海面 P 处,并以 20 千米/ 时的速度向西偏北 25°的 PQ 的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前 半径为 60 千米,且圆的半径以 10 千米/ 时速度不断扩张. (1)当台风中心移动 4 小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米;又台风中心移动 t 小时时,受台 风侵袭的圆形区域半径增大到 千米. (2)当台风中心移动到与城市 O 距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由(参考数据 2 ? 1.41 , 3 ? 1.73 ).

解:(1)100; (2) (60 ? 10t ) ; ⑶作 OH ? PQ 于点 H,可算得 OH ? 100 2 ? 141 (千米) ,设经过 t 小时时,台风中心从 P 移动到 H,则 ,此时,受台风侵袭地区的圆的半径为: PH ? 20t ? 100 2 ,算得 t ? 5 2 (小时) 60 ? 10 ? 5 2 ? 130.5 (千米)<141(千米) ∴城市 O 不会受到侵袭。 点拨:对于此类问题常常要构造直角三角形.利用三角函数知识来解决,也可借助于 方程. 【例 2】如图 2-1-5 所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现 在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里外的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/时的 速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以 26 海里/时的速度追赶, 在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问: ⑴需要几小时才能追上(点 B 为追上时的位置) ⑵确定巡逻艇的追赶方向(精确到 0.1°) . 解:设需要 t 小时才能追上,则 A B=24 t,OB=26t. (l)在 Rt△AOB 中,OB2= OA2+ A B2, 即(26t)2=102 +(24 t)2 解得 t=±l,t=-1 不合题意,舍去,t=l, 即需要 1 小时才能追上. AB 24t 12 (2)在 Rt△AOB 中,因为 sin∠AOB= = = ≈0.9231 ,所以∠AOB≈6 7.4°, OB 26t 13 即巡逻艇的追赶方向为北偏东 67.4°.
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点拨:几何型应用题是近几年中考热点,解此类问题的关键是准确读图. 【例 3】某公司为了扩大经营,决定购进 6 台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价 格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过 34 万元。

⑴按该公司要求可以有几种购买方案? ⑵若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,那么为了节约资金应选择哪种方案? 解: (1)设购买甲种机器 x 台,则购买乙种机器(6-x)台。 由题意,得 7 x ? 5(6 ? x) ? 34 , 解这个不等式,得 x ? 2 ,即 x 可以取 0、1、2 三个值, 所以,该公司按要求可以有以下三种购买方案: 方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器 6 台; 方案二:购买甲种机器 1 台,购买乙种机器 5 台; 方案三:购买甲种机器 2 台,购买乙种机器 4 台; (2)按方案一购买机器,所耗资金为 30 万元,新购买机器日生产量为 360 个;按方案二购买机器,所耗资金为 1 ×7+5×5=32 万元; ,新购买机器日生产量为 1×100+5×60=400 个;按方案三购买机器,所耗资金为 2×7+4× 5=34 万元;新购买机器日生产量为 2×100+4×60=440 个。因此,选择方案二既能达到生产能力不低于 380 个的 要求,又比方案三节约 2 万元资金,故应选择方案二。 【例 4】 某家庭装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖, 装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、 小两种包装, 大包装每包 50 片,价格为 30 元;小包装每包 30 片,价格为 20 元,若大、小包装均不拆开零售,那么怎样制定购 买方案才能使所付费用最少? 解:根据题意,可有三种购买方案; 方案一:只买大包装,则需买包数为: 50 ? 5 ; 由于不拆包零卖.所以需买 10 包.所付费用为 30×10=300(元) 方案二:只买小包装.则需买包数为:
480 ? 16 30

480

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所以需买 1 6 包,所付费用为 1 6×20=320(元) 方案三:既买大包装.又买小包装,并设买大包装 x 包.小包装 y 包.所需费用为 W 元。 ?50 x ? 30 y ? 480 10 则? W ? ? x ? 320 ?W ? 30 x ? 20 3 ∵ 0 ? 50 x ? 480 ,且 x 为正整数, ∴ x ? 9 时, W最小 ? 290(元). ∴购买 9 包大包装瓷砖和 l 包小包装瓷砖时,所付费用最少.为 290 元。 答:购买 9 包大包装瓷砖和 l 包小包装瓷砖时,所付费用最少为 290 元。 点拨:数学知识来源于生活,服务于生活,对于实际问题,要富有创新精神和初中能力,借助于方程或不等式 来求解。 【例 5】如图 2-2-4 所示,是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图,在有 O、A 两个观测 3 2 点,分别测得目标点火炬 C 的仰角分别为α ,β ,OA=2 米,tanα = , tanβ = ,位于点 O 正上方 2 米处的点 D 的 5 3 发身装置可以向目标 C 同身一个火球点燃火炬,该火球运行地轨迹为一抛物线,当火球运行到距地面最大高度 20 米 时,相应的水平距离为 12 米(图中 E 点)。
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⑴求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式; ⑵说明按⑴中轨迹运行的火球能否点燃目标 C? 解:⑴由题意可知:抛物线顶点坐标为(12,20),D 点的坐标为(0,2),所以抛物线解析式为 y ? a( x ? h)2 ? k, 即
y ? x( x ? 12)2 ? 20
2 ∵点 D 在抛物线上,所以 2= a(?12) ? 20, 即a ? ? 8

1

∴抛物线解析式为: y ? ? 1 x 2 ? 3x ? 2(0 ? x ? 12 ? 4 10)
8

⑵过点 C 作 CF 丄 x 轴于 F 点,设 CF=b,AF=a,则
b 2 ? ?a ? 18. ? tan ? ? a ? 3 解得: ? ? ? ? ? ? 12. ? tan a ? b ? 3 , ? a?2 5 ?

则点 C 的坐标为(20,12),当 x=20 时,函数值 y=
? 1 所以能点燃目标 C. ?2 02 ? 3 ? 2 0 ? 2 ? 1 2 , 8

点拨:本题是三角函数和抛物线的综合应用题,解本题的关键是建立数学模型,即将实际问题转化为数学问题 来解决. Ⅲ、综合巩固练习: (100 分 90 分钟) 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.某研究结果显示,由父母的身高预测子女身高的公式为:若父亲的身高为 a 米,母亲的身高为 b 米,则儿子成年后 a+b 0.923a+b 的身高约为 ×1.08 米,女儿成年后身高约为 米,初一女学生赵楠的父亲身高为 1.75 米,母亲身高 2 2 为 1.62 米,请同学们根据公式预测一下赵楠成年后的身高约为( ) A.1.65 米 B.1.62 米 C.1.7 5 米 D.l.6 0 米 2.小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场地,现共有。米长的篱笆材料,他设计了两种方案,一种是围成正方形的场 地,另一种是围成圆形的场地,那么选用哪一种方案围成场地的面积较大( ) A、围成正方形 B.围成圆形 C、两者一样大 D.不能确定 3、将一张矩形白纸对折,再沿着与折痕方向平行的方向反复对折,问经过 n(1≤n≤7)次后,将纸展开共可得到的折 痕条数为( ) A、2 n -1 B.2 n C、 2 n-1 D.2 n 4、在昆明“世博会”期间,为方便游客参观,铁道部门临时加开了南宁至昆明的直达列车.已知南宁至昆明的路程为 828km,普快列车与直快列车由昆明到南宁时,直快列车平均速度是普快 的 1.5 倍,若直快列车比普快列车晚出发 2 h 而先到 4h,求两列车的平均速度分别是多少?设普快列车的速度为 x Km/h,则直快列车的速度为 1.5xkm/h.依题意,所列方程正确的是( )

828 828 ? 2? 4 ? x 1.5 x 828 828 C. ? 2? 4 ? ; x 1.5 x A.

828 828 ?2?4 ? ; x 1.5 x 828 828 D. ?2?4 ? x 1.5 x B.

5、某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数数关系,其图象如图 2-2-5 所示,由图给出息可知,营销人员没有销售时的收入是( ) A.310 元 B.300 元 C.290 元 D.280 元 6.小美开了一家服装店,有一次去批发市场进货,发现一款牛仔裤,预想能畅销,就用 4000 元购买了一个批发商的 所有这种裤子,还想买二倍数量的这种牛仔裤,又到另一个批发商处用 88 00 元购进,只是单价比前面购进的贵 5 元. 回来后小美按每件 89 元销售, 销路很好, 最后剩下 10 件, 按七五折销售, 很快售完, 则小美这笔生意盈利 ( ) A.8335 元; B.8337.5 元; C.8340 元; D.8342.5 元
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7.某产品的生产流水线每小时可生产 100 件产品,生产前无产品积压,生产 3 小时后安排工人装箱,若每小时装产品 150 件.未装箱的产品数量 y 是时间 t 的函数,那么这个函数的大致图象(如图 2-2-6 所示)只能是( )

8.60 名初三学生在毕业典礼晚会上,男女生各自相互握手道别已知男生比女生多 2 人,班长是一名女生,她与所有男 生握过手.那么在这次晚会上,全班学生共握手的次数为( ) A.1770 B.902 C.899 D.886 9.随着通讯市场竞争日异激烈,某通讯公司的手机市话收费标拍每分钟降低了 a 元后,再次下调了 25%,现在的收费 标准是每分钟 b 元,则原收费标准每分钟为( ) A. ( b ? a ) ;B. ( b ? a ) ; C. ( b ? a ) ; D. ( b +a ) 10 某公司员工分别住在 A、B、C 三个住宅区,A 区有 30 人,B 区有 15 人,C 区有 10 人,三个区在同一条直线上, 位置如 2-2-7 所示,该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小, 那么停靠点的位置应设在( ) A.A 区 B.B 区 C.C 区 D.A、B 两区之间 二、填空题(每题 3 分,共 15 分) 11 经测算,某林场现有生长着的木材存量为 a 立方米,已知木材生长的年增长率为 25%,为满足生产、生活的需要, 该林场每年需采伐加工 x 立方米木材. ⑴ 用含 a 与 x 的代数式表示一年后该林场的木材存量为_______立方米; ⑵ 用含 a 与 x 的代数式表示二年后该林场的木材存量为_______立方米; ⑶ 若条件中的 a=122 万,要保证三年后该林场的木材存量至少达到 1.5 a 立方米,则该林场每年采伐加工的木材最 多是__________立方米. 12 有一群猴子,在小树林中玩耍,总数的 8 的平方只猴子在欢乐地蹦跳,还有 12 只猴子愉快地啼叫,则小树林中的 猴子总数为_______只. 13 1 平方千米的土地,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 1.3 ×105 吨煤所产生的能量.已知,我国西部的广大地区 约有 6.4×106 平方千米的广阔面积,那么,我国西部地区一年内从太阳得到的能量相当于燃烧__________吨煤所 产生的能量. 14 某小区规划在一个长 40 米,宽 26 米的矩形场地上修建三条同样宽的两路,使其中两条与短边平行,另一条与长边 平行,其余部分种草.若使每块草坪的面积都是 144 平方米,则两路宽_________米. 15 某居民小区按照分期付款形式福利分房, 小明家购得一套现价为 120000 元的住房, 购房时首期 (第一年) 付款 30000 元,从第二年起,以后每年应付的房款为 5000 元与上一年剩余欠款的利息之和,设剩余欠款的年利率为 0.4%, 若第 x 年小明家交房款 y 元,则 y 与 x 的函数解析式为__________. 三、解答题(16~20 题各 9 分,21 题 10 分,共 55 分) 16 .某公司欲招聘甲、乙、丙三个工种的工人,这三个工种每人的月工资分别为 800 元、1000 元、1500 元.已知甲、 乙两工种合计需聘 30 人,乙、丙两种工种合计需聘 20 人,且甲工种的人 数不少于乙工种人数的 2 倍,丙工种人 数不少于 12 人.问甲、乙、两三个工种各招聘多少人,可使每月所付的工资总额最少?

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17. 如图 2-2-8 所示,大江的一侧有甲、乙两个工厂,它们都有垂直于江边的小路,长度分别为 m 千米及 n 千米, 设两条小路相距 l 千米,现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲、乙两厂去,欲使供水管路最短.抽水站应建 在哪里?

18 .某商场有一座自下向上运动着的电动扶梯,李明到商场买东西,他从电动扶梯底部走到顶,共走了 75 级,而当他 买完东西向下走时,他的行走速度(以单位时间走多少级计算)是上行时速度的 3 倍.结果他走了 150 级到达底部, 那么这个电动扶梯露在外面能够看到的有多少级?

19.如图 2-2-9 所示:这是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图,在地面 O、A 两个观测点测得 9 3 5 空中固定目标的仰角分别为α 和β ,OA=1 千米,tanα = ,tanβ = ,于 O 点正上方 km 的 D 点处的直升飞机向 28 8 3 目标 C 发射防空导弹,该导弹运行达到距地面最大高度 3km 时,相应的水平距离为 4km (即图中 E 点). ⑴若导弹运行轨道为一抛物线,求该抛物线的解析式; ⑵说明问)中轨道运行的导弹能否击中目标 C 的理由.

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21.某园林门票每张 10 元,只供一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多游客,该园林除保留原有的售票方 法外,还推出一种“购个人年票”的售票方法(个人年票从购买之日起,可供持票者使用一年八年票分 A、B、C 三类;A 类年票每张 120 元,持票者进人园林时无需再购买门票出类年票每张 60 元,持票者进入园林时,需再购 买门票,每次 2 元几类年票每张 440 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 3 元. ⑴ 如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进 人该园林的次数最多的购票方式; ⑵ 求一年中进人该园林至少超过多少次时,购买 A 类票比较合算.

21.阅读下列材料: 十六大提出全面建设小康社会,国际上常用恩格尔系数(记作 n) 来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它 的计算公式为: n= 食品消费支出总额 ? 100%
消费支出总额

各类家庭的恩格尔系数如下表所示:

根据以上材料,解答下列问题: 小明对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查,从 1998 年至 2003 年间,该乡每户家庭消费支出总额每年平均增 加 500 元;其中食品消费支出总额平均每年增加 200 元.1998 年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平,已知该年每 户家庭消费支出总额平均为 8000 元. ⑴ 1998 年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? ⑵ 设从 1998 年起 m 年后该乡平均每户的恩格尔系数 nm(m 为正整数), 请用 m 的代数式表示该乡平均每户当年恩格尔 系数 nm ,则并利用这个公式计算 2004 年该乡平均每户以恩格尔系数(百分号前保留整数) ⑶ 按这样的发展,该乡农民能否实现十六大提出的 2020 年我国全面进人小康社会的目标?

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