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2015一轮复习课时精品提升作业之正弦、余弦、正切函数的图象与性质Word版含答案


课时提升作业(十八)
一、填空题 1.(2013·南通模拟)将函数 y ? sin(6x ? ) 的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 3 倍,纵坐标不变,再把所得函数的图象向右平行移动 个单位 长度,得到的函数图象的对称中心是
x 2.(2013 · 常 州 模 拟 ) 函 数 y ? s i n?( ? ? 3 ? 8
? 4

.
[ )? (x , ] ? 0的 2 单 )调减区间



.
? 6

3.已知函数 f ? x ? ? sin(2x ? ), 若存在 a∈(0,π ),使得 f(x+a)=f(x-a)恒 成立,则 a= .
? 4

4.函数 y=3cos(x+φ)+2 的图象关于直线 x ? 对称,则|φ|的最小值 是 . . .
? 2

5.函数 y ? 1 ? tan x 的定义域是 6.函数 y ? lg ? sin x ? ? cos x ?
? 3

2 的定义域为 2

?x 的 ) 图 象 关 于 点 P(x0,0) 对 称 , 若 x 0 ? [ ? , 0] ,则 7. 函 数 y ? 2 s i n ( 2

x0=

.
? 2

8.(能力挑战题)已知直线 y=b(b<0)与曲线 f ? x ? ? sin(2x ? ) 在 y 轴右侧 依次的三个交点的横坐标成等比数列,则 b 的值是 .

9.(2013 · 泰 州 模 拟 ) 给 出 下 列 四 个 命 题 , 其 中 不 正 确 命 题 的 序 号 是 .
? 3

①若 cos α =cos β ,则α -β =2kπ ,k∈Z;②函数 y=2cos(2x+ )的图 象关于 x=
? 对称;③函数 y=cos(sin x)(x∈R)为偶函数;④函数 12

y=sin|x|是周期函数,且周期为 2π .
-1-

10.给出如下五个结论: ①存在 ? ? (0, ), 使sin ? ? cos ? ? ; ②存在区间(a,b),使 y=cos x 为减函数而 sin x<0; ③y=tan x 在其定义域内为增函数; ④y=cos2x+sin( -x)既有最大值和最小值,又是偶函数; ⑤y=sin|2x+ |的最小正周期为π . 其中正确结论的序号是 二、解答题 11.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π <φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴 是直线 x ? . (1)求φ. (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 12.已知:f(x)=2sin(2x+ )+a+1(a∈R,a 为常数). (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期. (2)若 f(x)在[- , ]上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. (3)求在(2)的条件下 f(x)的单调减区间. 13.(能力挑战题)已知 a>0,函数 f(x)= -2asin(2x+ )+2a+b,当 x∈[0, ]时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值. (2)设 g(x)=f(x+ )且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调区间.
? 2 ? 6 ? 2 ? 6 ? 6

? 2

1 3

? 6

? 2

.

? 8

? 6

-2-

答案解析
1.【解析】将 y=sin(6x+ )的横坐标伸长 3 倍变为 y=sin(2x+ ),再向右平移 个单位长度得, y=sin[2(x- )+ ]=sin2x. 由 2x=kπ(k∈Z),得 x ? 所以对称中心为 ( 答案: (
k? (k ? Z). 2 ? 8 ? 4
? 4 ? 8

? 4

k? , 0),k ? Z 2

k? , 0),k ? Z. 2

2.【解析】y=sin(-x+ )=-sin(x- ),
? ? ? 2 3 2 ? 5? 故 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 6 6

? 3

? 3

由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z,

又 x∈[0,2π],
5? 11? 或 ≤x≤2π. 6 6 5? 11? 单调减区间是[0, ]和[ ,2π]. 6 6 5? 11? 答案:[0, ]和[ ,2π] 6 6

故 0≤x≤

3.【解析】因为函数满足 f(x+a)=f(x-a),所以函数是周期函数,且周期 为 2a, 又 a∈(0,π), 所以 2a ? 答案:
? 2 2? ? ,所以a ? . 2 2

【方法技巧】周期函数的理解 (1)周期函数定义中的等式:f(x+T)=f(x)是定义域内的恒等式,即对定 义域内的每个 x 值都成立,若只是存在个别 x 满足等式的常数 T 不是周

-3-

期. (2) 每个周期函数的定义域是一个无限集 ,其周期有无穷多个 ,对于周 期函数 y=f(x),T 是周期,则 kT(k∈Z,k≠0)也是周期,但并非所有周期 函数都有最小正周期. 【 变 式 备 选 】 已 知 函 数 f(x)=Asin( ω x+ φ )(A>0, ω >0) 满 足 条 件 f(x+ )+f(x)=0,则ω=
1 2 1 2

.
1 2

【解析】 由 f(x+ )+f(x)=0 得 f(x+ )=-f(x),所以 f(x+1)=f(x),故函 数的周期是 1,又由 答案:2π 4. 【解析】 由题意可知, +φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ- .当 k=0 时,φ=- , 此时
? 4 ? 答案: 4 ? 4 ? 4 ? 4 2? =1 得ω=2π. ?

|φ|= 为最小值.

5.【解析】由 1-tan x≥0,即 tan x≤1, 结合正切函数图象可得, k? ? ? x ? k? ? , k ? Z, 故函数的定义域是 {x | k? ? ? x ? k? ? , k ? Z}. 答案: {x | k? ? ? x ? k? ? , k ? Z}
?sin x ? 0, 6.【解析】由 ? ? 2 ? 0, ?cos x ? ? 2
?2k? ? x ? 2k? ? ?, k ? Z, 得? ? ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z, ? ? 4 4
? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4

得 2k? ? x ? 2k? ? , k ? Z.

? 4

-4-

(k ? Z) 答案: (2k?, 2k? ? ]

? 4

7.【解析】由题意可知 2x 0 ? ? k?, k ? Z,
k? ? ? ? ? , k ? Z, 故k ? 0时,x 0 ? ? ? [ ? , 0] . 2 6 6 2 ? 答案: ? 6

? 3

故 x0 ?

8.【思路点拨】化简函数式之后数形结合可解. 【解析】设三个交点的横坐标依次为 x1,x2,x3, 由图及题意有:
? f ? x ? ? sin(2x ? ) ? cos 2x. 2 ? x1 ? x 2 ? ?, ? 且 ? x 2 ? x 3 ? 2?, ? 2 ? x 2 ? x1 x 3 , 2? 2? 1 解得 x 2 ? , 所以b ? f ( ) ? ? . 3 3 2 1 答案: ? 2

9.【解析】①中若 cos α=cos β,则α=2kπ+β(k∈Z)或α=2kπ-β (k∈Z)故①错; ②当 x ?
? ? ? ? ? 时, 2x ? ? 2 ? ? ? , 此时 y=0,故②错; 12 3 12 3 2

③由 f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x),故③正确; ④由 y=sin|x|的图象可知 y=sin|x|不是周期函数,故④错. 答案:①②④ 10. 【解 析】 ①中α ∈ (0,
? ) 时 , 如 图 , 由 三角函 数线 知 2

OM+MP>1,得 sin α+cos α>1,故①错. ②由 y=cosx 的减区间为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),故 sinx>0, 因而②错.

-5-

③正切函数的单调区间是(kπ- ,kπ+ ),k∈Z. 故 y=tanx 在定义域内不单调,故③错. ④y=cos2x+sin( -x)=cos2x+cosx =2cos2x+cosx-1=2(cosx+ )2- . ymax=2,ymin=- . 故函数既有最大值和最小值,又是偶函数,故④正确. ⑤结合图象可知 y=sin|2x+ |不是周期函数,故⑤错. 答案:④ 11.【解析】(1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, ∴sin(2〓 +φ)=〒1. ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∴φ=kπ+ ,k∈Z.
3? . 4 3? (2)由(1)知 y=sin(2x- ), 4 ? 3? ? 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 ? 5? ∴kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3? ? 5? ∴函数 y=sin(2x- )的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 4 8 8 ? 12.【解析】∵f(x)=2sin(2x+ )+a+1, 6 2? (1)最小正周期 T= =π. 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 8 ? 8 ? 6 9 8 1 4 9 8
? 2

? 2

? 2

又∵-π<φ<0,∴φ=-

-6-

? ? ? ? , ] ? 2x ? [? , ] ? 6 6 3 3 ? ? ? 2x ? ? [? , ] . 6 6 2 1 ? ?? ? sin(2x ? ) ? 1. 2 6 ? ?f ? x ?max ? 2 ? a ? 1, 即? ? 2a ? 3 ? 3,a ? 0. ? ?f ? x ?min ? ?1 ? a ? 1, [? ? 2? x ?

? 3? f ? x ? ? 2sin(2x ?
当2k? ?

? ) ? 1. 6

? ? 3? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z), 2 6 2 ? 2? ? 即k? ? ? x ? k? ? (k ? Z)时,f ? x ? ? 2sin(2x ? ) ? 1为减函数. 6 3 6
? 6 2? ] (k ? Z). 3

[k? ? , k? ? 即在(2)的条件下 f(x)的单调减区间为 [0, ] , 13.【解析】(1) x ? ? 2

? ? 7? ? 2x ? ? [ , ] . 6 6 6 ? 1 ? sin(2x ? ) ? [ ? ,1] , 6 2 ? ??2asin(2x ? ) ? [ ? 2a, a] . 6 ?f ? x ? ? [b,3a ? b] . 又 ?5 ? f ? x ? ? 1,? b ? ?5,3a ? b ? 1, 因此a ? 2, b ? ?5.

? 2 ?由 ?1? 得a ? 2, b ? ?5,
? ? f ? x ? ? ?4sin(2x ? ) ? 1, 6 ? 7? g ? x ? ? f (x ? ) ? ?4sin(2x ? ) ? 1 2 6 ? ? 4sin(2x ? ) ? 1, 6

-7-

又由lg g ? x ? ? 0得g ? x ? ? 1, ? ? 4sin(2x ? ) ? 1 ? 1, 6 ? 1 ? sin(2x ? ) ? , 6 2 ? ? 5? ? 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? , k ? Z, 6 6 6
k ? 其 中 当 2 ? ? 6 ? ?2 x? 6 ? ? 2 k? 时, ? , k? 单 Z 调 递 增 , 即 g(x) 2

? k? ? x ? k? ? , k ? Z. 6

, k ? Z. ∴g(x)的单调增区间为 (k?, k? ? ] k ? 又 ∵ 当 2 ? k? ? ? 2 ? ?2 x? 6

? ? ? x ? k? ? , k ? Z. 6 3

? 6 5 ? ? 2 k? ? 时 , k ? Z 单 调 递 减 , 即 ,g(x) 6

∴g(x)的单调减区间为 (k? ? , k? ? ), k ? Z.

? 6

? 3

-8-


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