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专题二利用导数研究函数的性质


专题二利用导数研究函数的性质

绍兴市稽山中学高三备课组

题型一 利用导数求函数的单调区间
【例 1】 已知函数 f(x)=x +ax -x+c,
3 2



?2? ? ? a=f′?3?. ? ?

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调

区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x )· e 在 x∈[-3, 2]上单调递增,求实数 c 的取值范围.
3 x

变式训练 1 设函数 f(x)=x(e -1)-ax . 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

x

2

题型二 已知单调区间求参数范围
【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x
x 2

+ax)e (x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的 取值范围.

ax 变式训练 2 已知函数 f(x)= 2 在 x=1 处取 x +b 得极值 2. (1)求函数 f(x)的表达式; (2) 当 m 满足什么条件时,函数 f(x) 在区间 (m,2m+1)上单调递增?

题型三 函数的极值、最值的应用
【例 3 】 设函数 f(x) = x + ax + 2x +
4 3 2

b(x∈R),其中 a,b∈R. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x)的单调性; 3 (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极值,求 a 的 取值范围; (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不等式 f(x)≤1 在[-1,0]上恒成立,求 b 的取值范围.

变式训练 3 已知 f(x)=ax (a∈R),g(x)=2ln x.

2

(1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调性; (2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2,e]上有两个不 等解,求 a 的取值范围.

典例:(14 分)已知 f(x)=x -ax -3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a] 上的最小值和最大值.

3

2

1.利用导数证明不等式,就是把不等式恒成立的问题,通过

方 法 与 技 巧

构造函数,转化为利用导数求函数最值的问题.应用这种 方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目 证明目标的要求,构造出相应的函数关系式.

2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴(或某直线) 的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中 参数的取值范围, 这类问题的实质就是函数的单调性与函 数的极(最)值的应用.

失 误 与 防 范

1.研究函数的有关性质,首先要求出函数的定义域.
2.利用单调性求最值时不要忽视 f′(x)=0 的情况.

3.“f′(x0)=0”是“函数 f(x)在 x0 取到极值”的必要条件.


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