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2014年全国高中数学青年教师展评课:直线的倾斜角和斜率课件(江西萍乡中学黄贤锋)


回忆一下,平面内一条直线由哪些条 件确定呢? 答:两点确定一条直线。

y

l
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

x

o

在如图所示的平面直角坐标系中,画出满足下列 条件的直线,并探究这样的直线有多少条。

1.经过定点A; 2.直线的向上方向与x轴正方向成30°; 3.经过定点A的直线,且直线的向上方向与x轴正 方向成30°。

在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l , 把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 常用字母? 表示。 重合所成的角,叫做直线l的倾斜角。 规定:当直线与x轴平行或重合时,倾斜角? ? 0
直线的倾斜角的范围: 0 ? ? ? 180

(1),(4) 例1,下图中直线的倾斜角表示正确的图形的序号为:

回忆一下,在初中,我们用什么量,去衡量坡面、屋顶、楼梯 的陡峭程度?

铅直高度 坡度 = = tan ? 水平长度
| BD |? 1 坡度= tan ? ?
| DE | ?| DE | | BD |

坡度即水平方向移动一个单位时 铅直方向上升(下降)的数值

1.过原点、倾斜角为?的直线的斜率 (1)0 ? ? ? 90 的直线的斜率
观察图中直线上的点O(0, 0), P(1, k ), 当横坐标x 从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0变化到k , 我们称k为这条直线的斜率。

(2)90 ? ? ? 180 的直线的斜率 观察图中直线上的点O(0, 0), P(1, k ), 当横坐标x
从0到1增加一个单位时,纵坐标y从0变化到k , 我们称k为这条直线的斜率。 (3)规定:? =90 时,直线的斜率不存在。 倾斜角? ? 90 且过原点的直线的

斜率即为直线上横坐标为1的点 的纵坐标值。

当倾斜角0o ? ? ? 90o 时, 请确定斜率k的取值范围。 并探究斜率k随倾斜角? 变化而变化的规律。

当倾斜角0 ? ? ? 90 时, 斜率k ? [0, ??),k随倾 斜角?的增大而增大。

当倾斜角0 ? ? ? 90 时, 斜率k ? [0, ??),k随倾

斜角?的增大而增大。 当倾斜角90 ? ? ? 180 时,
斜率k ? (??, 0),k随倾斜 角?的增大而增大。

直线的斜率k的范围:

k?R

2.不过原点的直线的斜率

对于不过原点的直线l, 我们总可以作一条过原 点并且与l平行的直线l1, 斜角相等,于是可以 用l1的斜率来表示l的斜率。

由于两直线平行,倾

结合下图,当? ? 90 时,计算 tan ?的值,并探究 直线斜率k与倾斜角?的正切值 tan ? 是否相等?

k ? tan ? (? ? 90 )

对于倾斜角为?的任意直线
(1)当? ? 90 时,直线的斜率不存在;

(2)当? ? 90 时,直线的斜率k ? tan ?.
练习1 已知直线l1, l2, l3的倾斜角分别为30°, 45°,60°,请分别说出它们的斜率。

例2 判断下列命题的对错
(1)每一条直线都有唯一确定的倾斜角.( 对 )
(2)每一条直线都有斜率.( 错 ) (3)直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为tan ? .( 错 ) (4)直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大.( 错 )

已知p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 )是直线l上任意两个不同的点(其中x1 ? x2 ), 则直线l的斜率k如何表示呢? k ? y2 ? y1 ? y1 ? y2 ( x ? x ) 1 2 x2 ? x1 x1 ? x2
用?x(?y )表示当点p1变到点p2 时x( y )的改变量,即 ?x =x2 ? x1 , ?y ? y2 ? y1

1.已知直线的倾斜角? (1)当? ? 90 时,直线的斜率不存在;
(2)当? ? 90 时,直线的斜率k ? tan ?.

2.已知直线上两点p1 ( x1, y1 ), p2 ( x2 , y2 )
(1)当x1 ? x2时,直线斜率不存在;
(2)当x1 ? x2时,k ? y2 ? y1 y1 ? y2 ? . x2 ? x1 x1 ? x2

例3. 已知直线PQ过点P(2,3), Q(6,5),求它的斜率.

变式 已知m为任意实数,直线PQ过点P(?1, 2), Q(m, 4), 直线PQ的斜率存在吗?如果存在求出它的斜率 (用含m的式子表达) .

1.直线的倾斜角 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线 l ,把x轴( 正方向) 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角,叫做直线l 的倾 ?表示 斜角,常用字母 直线倾斜角的范围: 0 ? ? ? 180 2.直线的斜率 (1)直线斜率的定义 (2)斜率随倾斜角变化的变化规律 当倾斜角0 ? ? ? 90 时,斜率k ? 0 ,斜率随倾斜角的增大而增大 . 当倾斜角90 ? ? ? 180 时,斜率k < 0 ,斜率随倾斜角的增大而增大 . (3)直线斜率的计算 已知直线的倾斜角计算直线的斜率: k ? tan ? (? ? 90 )

y2 ? y1 y1 ? y2 已知直线上的两点坐标计算直线的斜率: k? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 ? x2

(1)完成当倾斜角为零度角,钝角时 两点斜率公式的推导。 (2)P64 4;5.


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