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常见递推数列通项的求法


递推数列通项公式

樊战胜

常见递推数列通项的求法
对于由递推式所确定的数列通项公式问题,往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列, 从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型,下面介绍常见递推数列求通项的基本求法。

类型 1、

an?1 ? an ? g ?n?型
1 ,求通项公式 an . n(n ? 1)

例 1、在数列{ an }中, a1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? 解:原递推式可化为: a n ?1 ? a n ?

1 1 ? n n ?1 1 1 逐项相加得: a n ? a1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . n n 例 2.在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 且 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,求通项 an . a n ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ?

解:依题意得, a1 ? 0 , a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 3,?, an ? an?1 ? 2?n ? 1? ? 1 ? 2n ? 3 ,把以上各式相加,得

?n ? 1??1 ? 2n ? 3? ? ?n ? 1?2
2

例 3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ?2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ?2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项公式评注:本题解题的关

键是把递推关系式 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 转化为 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 ,进而求出。 练习: 1、 已知 {an } 满足 a1 ? 1 ,

a n ?1 ? a n ?

1 n(n ? 1) 求 {an } 的通项公式。
n

* 2、 已知 {an } 的首项 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2n ( n ? N )求通项公式。

3、 已知 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2 ,求 an 。

类型 2.

an?1 ? f (n)an 型
an a a ? f ?n ? 1?, n?1 ? f ?n ? 2?,?, 2 ? f ?1? 各 式 相 乘 得 , an?1 an?2 a1

解 题 思 路 : 利 用 累 乘 法 , 将

an an?1 a ? ? ? ? 2 ? f ?n ? 1? ? f ?n ? 2?? f ?1? ,即得 an . an?1 an?2 a1
例 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,

a n ?1 n ,求通项 an . ? an n ?1
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递推数列通项公式

樊战胜

解:由条件等式

a n ?1 a a a n n ?1 n ? 2 1 1 得, n ? n?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? , an n ?1 an?1 an?2 a1 n n ?1 2 n

得 an ?

1 . n
2 2

例 5、设数列{ an }是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0 (n=1,2,3?) ,则它的通项公式 是 an =▁▁▁(2000 年高考 15 题). 解:原递推式可化为:

[(n ? 1)an?1 ? nan ](an?1 ? an ) =0

∵ an?1 ? an >0,

a n ?1 n ? an n ?1 an 1 1 ? ,即 an = . n a1 n



a a 2 1 a3 2 a 4 3 n ?1 ? , ? , ? , ??, n ? a1 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n
a1 ?

逐项相乘得:

练习:1、已知:

1 2n ? 1 an ? a n ?1 3, 2n ? 1 ( n ? 2 )求数列 {an } 的通项。 a n ?1 ? n an n ? 2 且 a1 ? 2 求数列通项公式。

2、已知 {an } 中,

类型 3、

an?1 ? can ? d (c ? 0, c ? 1) 型

例 6.数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an ? 1 ,a1 ? 2 ,求 an . 解:设 an?1 ? x ? 2(an ? x) ,即 an?1 ? 2an ? x, 对照原递推式,便有 x ? ?1. 故由 an?1 ? 2an ? 1, 得 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,即 2 为公比的等比数列。

an?1 ? 1 ? 2 ,得新数列 ?an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1为首项,以 an ? 1

? an ? 1 ? 2 n?1 ,即通项 an ? 2 n?1 ? 1
【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“ ? 1 ”作适当的分离,配凑成等比数列的结构,从而构造出 一个新的等比数列。 练习:1、已知 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ? 1求通项公式。 2、已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an 。 分析:构造辅助数列, an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ,则 an ? 3n ? 1

[同类变式]
1、已知数列 {a n } 满足 an?1 ? 2an ? (2n ? 1) ,且 a1 ? 2 ,求通项 a n

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递推数列通项公式

樊战胜

分析: (待定系数) ,构造数列 {an ? kn ? b} 使其为等比数列,即 an?1 ? k (n ? 1) ? b ? 2(an ? kn ? b) ,解得

k ? 2, b ? 1 求得 an ? 5 ? 2n?1 ? 2n ? 1
2、已知: a1 ? 1 , n ? 2 时,

an ?

1 a n ?1 ? 2n ? 1 2 ,求 {an } 的通项公式。

1 1 1 1 1 a n ? An ? B ? [a n ?1 ? A(n ? 1) ? B] a n ? a n ?1 ? An ? A ? B 2 2 2 2 2 解:设

? 1 ? A?2 ? ? 2 ? ?? 1 A ? 1 B ? ?1 ? 2 ∴ ? 2

? A ? ?4 ? 解得: ? B ? 6

∴ a1 ? 4 ? 6 ? 3

1 ∴ {an ? 4n ? 6} 是以 3 为首项, 2 为公比的等比数列

1 a n ? 4n ? 6 ? 3 ? ( ) n ?1 2 ∴



an ?

3 2 n ?1

? 4n ? 6

3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 n ?1 ,得 则

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 1 ? , 3 3 n ?1

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 1 ? n ?1 , 3 3



an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1)? 1 ?2 ?2 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2
a n ?1
n ?1

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 转 化 为

? ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 3 n 3 n ?1 3 3 3 的通项公式。 (

an

a n ?1

a n ?1

a n ?2

a n ?2

3 3 a1 an ? n ?3 ) +?+ ( 2 ? 1 ) ? , 即得数列 { n } 的通项公式, 最后再求数列 {a n } 3 3 3 3 3 a n ?3 a2 a1

?

an
n

?

2 1 ? ,进而求出 3 3 n ?1

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递推数列通项公式

樊战胜

类型 4. an?1 ? c ? an ? g?n? 型
例 7 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? 2n (1) 写出数列的前 3 项 a1 , a2 , a3 ;求数列 ?an ? 的通项公式. 解: (1)由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? ?2 .由 a1 ? a2 ? S 2 ? 2a2 ? 4 ,得 a2 ? ?6 , 由 a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 2a3 ? 6 ,得 a3 ? ?14 (2)当 n ? 2 时,有 an ? S n ? S n?1 ? 2?an ? an?1 ? ? 2 ,即 an ? 2an?1 ? 2 令 an ? ? ? 2?an?1 ? ? ? ,则 an ? 2an?1 ? ? ,与①比较得, ? ? ?2 ①

??an ? 2?是以 a1 ? 2 ? ?4 为首项,以 2 为公比的等比数列.

? an ? 2 ? (?4) ? 2 n?1 ? ?2 n?1 ,故 an ? ?2 n?1 ? 2

引申题目:
1、已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 ( n ? 2 )求 an
n

2、在数列{ an }中, a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 , 求通项公式 an 。 解:原递推式可化为: an?1 ? ? ? 3n ? 2(an ? ? ? 3n?1 ) 比较系数得 ? =-4,①式即是: an?1 ? 4 ? 3n ? 2(an ? 4 ? 3n?1 ) . 则数列 {an ? 4 ? 3n?1} 是一个等比数列,其首项 a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比是 2. ∴ an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2 n?1 即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2 n?1 . 3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ,得 ①

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a ?1 a n 3 3 ? ? , ,则 n 2 2 n ?1 2 n 2

故数列 {

a a an 2 3 3 ? ? 1 为首,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? ( n ? 1) ,所 } 是以 1 n 1 2 2 2n 2 2 2

以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 转化为

3 2

1 2

a n ?1
n ?1

2 2 3 直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? ( n ? 1) ,进而求出数列 {a n } 的通项公式 2 2 an

?

an
n

?

a 3 } 是等差数列,再 ,说明数列 { n 2 2n

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递推数列通项公式

樊战胜

4、若数列的递推公式为 ?

? ?a1 ? 1 ,则求这个数列的通项公式 n ?1 ? ?an ?1 ? 3an ? 2 ? 3 (n ? ? )

5、若数列的递推公式为 ?

? ?a1 ? 3 ,则求这个数列的通项公式 n ?1 ? ?an ?1 ? an ? 2 ? 3 (n ? ? )

6、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n ) ④

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n 代 入 ④ 式 , 得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n , 等 式 两 边 消 去 2a n , 得

3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2 x ,则 x=-1,代入④式,
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 n ?1 an ? 5
n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是以 a 1 ? 51 ? 1 为首项,

以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ,故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 转化为 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ,从而可知数列

{a n ? 5 n } 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 5 n } 的通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。

类型 5、取倒数
例 8、已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n?1 ? 1

解: 将 a n ?

a n ?1 1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列,首项是 ? 1 ,公 a n a n ?1 an a1 2a n?1 ? 1

差为 2,所以

1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 an

例 9、数列 {a n } 中,且 a1 ? 1 , a n ?1 ? 3 [提示] 1

2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. 2a n ? 1

a n ?1

a ? 1 1 ? 1 例 10、 a n ?1 ? n n , a1 ? 1 ,求 a n 2 an 2 an ? 1
1 ? 2 n 即 bn?1 ? bn ? 2 n an
则 bn ? b1 ?

解:

1 a n ?1

?

2 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2

?

?

? an ?

1 2 ?1
n

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递推数列通项公式

樊战胜

例 11、 数列 {an } 中,

a n ?1

2 n ?1 ? a n 2 n?1 ? an 1 ? n ?1 ? n?1 2 ? a n ,a1 ? 2 , 2 an 求 {an } 的通项。 解:an?1
1 2
n ?1

1
∴ a n ?1

?

1 1 ? n ?1 an 2



bn ?

1 an



bn ?1 ? bn ?



bn ? bn ?1 ?

1 2n
1 2
n?2



bn ? bn ?1 ?

1 2n

bn ?1 ? bn ? 2 ?

1 2
n ?1

bn ? 2 ? bn ? 3 ?

??

b3 ? b2 ?

1 23

? b2 ? b1 ?

1 22

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 1 1 2 ? 2 ? ? n 1 1 1 1 2 2 bn ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 1? 2 2 2 2
2n an ? n 2 ?1 ∴

1 1 1 2n ?1 bn ? ? n ? ? 2 2 2 2n ∴
练习: 1、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ?

an , 求 an . an ? 3

类型 6、取对数法
例 12 若数列{ an }中,a1 =3 且 an?1 ? an (n 是正整数) , 则它的通项公式是 an =▁▁▁ (2002 年上海高考题) .
2



由题意知 an > 0 ,将 an?1 ? an 两边取对数得 lg an?1 ? 2 lg an ,即
n ?1

2

lg a n ?1 ? 2 ,所以数列 {lg a n } 是以 lg a n
n ?1

lg a1 = lg 3 为首项,公比为 2 的等比数列, lg an ? lg a1 ? 2 n?1 ? lg 32

,即 an ? 32

.

例 13、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。
n 5 解 : 因 为 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n,a 1 ? 7 , 所 以 a n ? 0,a n ?1 ? 0 。 在 a n ?1 ? 2 ? 3 a n 式 两 边 取 常 用 对 数 得

lg a n ?1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2

⑩设 lg a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y)

11 ○

11 式 , 得 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ? x (n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) , 两 边 消 去 5 lg a n 并 整 理 , 得 将⑩式代入○

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5x ? 4 (lg 3 ? x )n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5y ,则 ? ,故 ? lg x ? y ? lg 2 ? 5 y ? ? y ? 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
11 式,得 lg a 代入○ n ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg a n ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4
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12 ○

递推数列通项公式

樊战胜

由 lg a 1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 式,得 lg a ? ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ n? ? ?0, n 4 16 4 4 16 4 4 16 4

lg a n ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5, lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? ?n ? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 n? ? } 是 以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 , 因 此 lg a n ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 4 16 4 4 16 4
所 以 数 列 {lg a n ?

lg a n ? (lg 7 ?
n 1

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5 n ?1 lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5 n ?1
1 1 1

1

1

1

? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5 n ?1 ? l 3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? g

(
5n ?1 ?1 ? g2 4 ) ,则 a n

?l

n 34

1 16 ?3

1 ? 24 )

?g l 7

5n ?1

5n ?1 ?n ?3 4

5n ?1 ?1 ?3 g ( 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )

?l( 7

5n ?1

5n ?4n ?1 ? 3 16

?(7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 。

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n 转 化 为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是等 (n ? 1) ? ? ? 5(lg a n ? n? ? ) ,从而可知数列 {lg a n ? 4 16 4 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 比数列,进而求出数列 {lg a n ? n? ? } 的通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。 4 16 4

lg a n ?1 ?

练习: 1、若数列的递推公式为 ?

? ?a1 ? 2 ,求这个数列的通项公式 2 ? ?an ?1 ? an (n ? ? )

类型 7、平方(开方)法
例 13、 若数列{ an }中, a1 =2 且 a n ? 解 将 an ?
2 3 ? an ,求它的通项公式是 an . ?1 (n ? 2 )

2 2 2 2 2 3 ? an ?1 两边平方整理得 an ? an?1 ? 3 。数列{ a n }是以 a1 =4 为首项,3 为公差的等差数列。

2 an ? a12 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1。因为 an >0,所以 an ? 3n ? 1 。

【评注】 求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列,使问题化陌生为熟悉.我们要根据不 同的递推关系式,采取不同的变形手段,从而达到转化的目的.

其他类型: * 1、数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an n ? N ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;
⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

1 (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 m ,使得对任意 n(12 ? a n ) m n ? N * ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 32 解: (1)由题意, an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,?{an } 为等差数列,设公差为 d ,
⑶设 bn =
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递推数列通项公式

樊战胜

由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? an ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an |

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

? S5 ? (S n ? S5 ) ? 2S5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40
n 2 ? 9n ? 40 n ? 6 1 1 1 1 1 (3)? bn ? ? ? ( ? ) n(12 ? an ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? )?( ? )] ? . ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 2(n ? 1) m n m * * ? 若 Tn ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? (n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ?m 的最大整数值是 7。 n ?1 2 16 2 m * . 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ? 32
说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。 故 Sn ?

9n ? n 2

n?5

提高相关阅读
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值,下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项 公式的方法和策略.

一、构造等差数列法
例 1.在数列{an}中, a1 ? 3,nan?1 ? (n ? 2)an ? 2n(n ? 1)(n ? 2) ,求通项公式 an。 解:对原递推式两边同除以 n(n ? 1)(n ? 2) 可得:

a n ?1 an an ? ? 2 ①令 bn ? ② (n ? 2)(n ? 1) (n ? 1)n (n ? 1)n a1 3 ? ,公差是 bn ?1 ? bn ? 2 的等差数列,因而 (1 ? 1) ×1 2

则①即为 bn ?1 ? bn ? 2 ,则数列{bn}为首项是 b1 ?

bn ?

3 1 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? ,代入②式中得 a n ? n(n ? 1)(4n ? 1) 。故所求的通项公式是 2 2 2 1 n(n ? 1)(4n ? 1) 2

an ?

二、构造等比数列法 1.定义构造法利用等比数列的定义 q ?

a n ?1 ,通过变换,构造等比数列的方法。 an

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递推数列通项公式

樊战胜

例 2.设在数列{an}中, a1 ? 2 ,an ?1 解:将原递推式变形为

2 an ?2 ,求{an}的通项公式。 ? 2an

an?1 ? 2 ?

(a n ? 2 ) 2 (a ? 2 ) 2 ① an?1 ? 2 ? n ② 2an 2an

①/②得:

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2

?[

an ? 2 an ? 2

]2 ,即 lg

a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2

? 2 lg[

an ? 2 an ? 2

] ③设 bn ? lg[

an ? 2 an ? 2

]④

③式可化为

a n ?1 a ? 2 2? 2 ? 2 ,则数列{bn}是以 b1= lg[ 1 ] ? lg ? 2 lg( 2 ? 1) 为首项,公比为 2 的等 an a1 ? 2 2? 2
an ? 2 an ? 2
= ( 2 ? 1) 2 ,解得
n

比数列,于是 bn ? 2 lg( 2 ? 1) ×2 n?1 ? 2 n lg( 2 ? 1) ,代入④式得:
n

2[( 2 ? 1) 2 ? 1] 为所求。2. an?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型递推式 an ? ( 2 ? 1) 2n ? 1
可构造为形如 an?1 ? ? ? A(an ? ? ) 的等比数列。 例 3.已知数列 {a n } ,其中 a1 ? 1,an?1 ? 3an ? 2 ,求通项公式 an 。 解:原递推式可化为: an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ,则数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,公比为 3 的等比数列, 于是 an ? 1 ? (a1 ? 1) ×3
n?1

? 2×3n?1 ,故 an ? 2×3n?1 ? 1 。

3. an?1 ? Aan ? B·C (A、B、C 为常数,下同)型递推式
n

可构造为形如 an?1 ? ?·C

n?1

? A(an ? ?·C n ) 的等比数列。
an ,求通项公式 an。 2 ·an ? 3
n

例 4.已知数列 {a n } ,其中 a1 ? 1 ,且 a n ?1 ?

解:将原递推变形为

1 a n?1

??

3 1 ? 2 n ,设 bn= 。①得 bn?1 ? ?3bn ? 2 n ② an an

设②式可化为 bn?1 ? ?·2

n?1

1 ? ?3(bn ? ?·2 n ) ,比较得 ? ? ? 于是有 5

1 1 bn ?1 ? · 2 n ?1 ? ?3(bn ? · 2 n ) 5 5
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递推数列通项公式

樊战胜

数列 {bn ?

1 1 2 3 · 2 n } 是一个以 b1 ? · 2 1 ? 1 ? ? 为首项,公比是-3 的等比数列。 5 5 5 5

所以 bn ?

1 3 1 1 5 · 2 n ? ( ?3) n ?1 ,即 bn ? · 2 n ? ( ?3) n ,代入①式中得: a n ? n 为所求。 5 5 5 5 2 ? ( ?3) n

4. an?1 ? Aan ? Bn ? C 型递推式 可构造为形如 an?1 ? ? 1n ? ? 2 ? A[an ? ? 1 (n ? 1) ? ? 2 ] 的等比数列。 例 5.在数列 {a n } 中, a1 ?

3 , 2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 ,求通项公式 an 。 2

解:原递推式可化为 2(an ? ? 1n ? ? 2 ) ? an?1 ? ? 1 (n ? 1) ? ? 2 ,比较系数可得: ? 1 ? ?6 , ? 2 ? 9 ,上式 即为 2bn ? bn?1 ,{bn } 是一个等比数列,首项 b1 ? a1 ? 6n

?9 ?

9 1 9 1 n ?1 1 n 1 n ,公比为 。所以 bn ? ( ) 。即 a n ? 6n ? 9 ? 9 · ( ) ,故 a n ? 9 · ( ) ? 6n ? 9 为所求。 2 2 2 2 2 2

三、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式,通过分析结构,联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数,再构造“桥 函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。 例 6.在数列 {a n } 中, a1 ? 1,an?1 ? an ? 3an ,求通项公式 an。
3

分析:首先考虑所给递推式与公式 (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 的联系。
3 3 2 2 3

解:设 a1 ? x ? x ,则 a2 ? a1 ? 3a1 ? ( x ? x ) ? 3( x ? x ) ? x ? x 同理 a3 ? x ? x
3 3 9

?1

?1 3

?1

?3

?9



a4 ? x 27 ? x ?27 ,?。
即 a1 ? x 3 ? x ?3 ,a2 ? x 3 ? x ?3 ,a3 ? x 3 ? x ?3 ,x4 ? x 3 ? x ?3 ? ,猜想 an ? x 3 用数学归纳法加以证明(证明略) 。
?1
0 0 1 1 2 2 3 3 n ?1

? x ?3 。下面

n ?1

由于 a1 ? 1, 即 x ? x

? 1 ,解得 x ?

3± 5 3± 5 3n ?1 3± 5 ?3n ?1 ,于是 a n ? ( 为所求。 ) ?( ) 2 2 2

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