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高中数学竞赛讲座 27函数


竞赛讲座 27 -函 数
1.函数的基本概念 一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定,并由此确定 了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素. (1)求函数的定义域 例 1(1982 年西安初中竞赛题)已知函数 求自变量取值范围. 解 -2<x<-1,或-1<x<0,或 0<x<2,或 2<x≤3.或者写成-2<x≤3,

且 x≠0,2. 例 2(1982 年大连海运学院研究生招考题)设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] ,试求 f(x+a)+f(x-a)的定义域(a>0). 解 由 若 0<a<时,x∈[a,1-a]; 若 a>时,函数关系不存在. (2)关于对应法则 若把自变量比作将要加工的原料, 那么对应法则 f 就是加工手段和规则.正确认识对 应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面. 例 3(美国 34 届中学生邀请赛题)设 f 是一个多项式, 对所有实数 x, f(x2+1)=x4+5x2+3. 对所有实数 x,求 f(x2-1). 分析 若能找到函数的对应法则 f,即自变量是怎样“加工处理”的,此题易解,下面 给出两种解法. ①配凑法:f(x2+1)=x4+5x2+3 =(x2+1)2+3(x2+1)-1, ∴f(x)=x2+3x-1, ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. ②换元法 令 x2+1=t,则 x2=t-1. 由 f(x2+1)=x4+5x2+3 有 f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1 ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1 =x4+x2-3. 例 4 (1984 年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数 f(x)=2x(ax2+bx+c)满足 等式 f(x+1)-f(x)=2x· x2,求 a+b+c 的值. 解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c), f(x+1)=2x+1[a(x+1)2+b(x+1)+c] =2· 2x[(ax2+bx+c)+2ax+a+b] =2f(x)+2· 2x(2ax+a+b) 由 f(x+1)-f(x)=2x· x2 有 2x(ax2+bx+c)+2· 2x[2ax+a+b]=2x· x2, 在上式中,

令 x=0 得 2a+2b+c=0;① 令 x=1 得 7a+3b+c=0;② 令 x=2 得 14a+4b+c=0.③ 由①,②,③解出 a=1,b=-4,c=6, ∴ a+b+c=3. (3)关于函数方程 这个问题是前一个问题的继续,我们把含有未知函数的等式叫函数方程,把寻求未 知数的过程,或证明函数方程无解叫解函数方程. 例 5 对于一切实数 x,y,函数满足 f(x· y)=f(x)· f(y),且 f(0)≠0.求 f(1987)和 f(1988). 解 ∵f(x· y)=f(x)· f(y),取 y=0,得 f(x· 0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)· f(0).又 f(0)≠0,∴f(x)=1, ∴f(1987)=f(1988)=1. 例 6 (第 32 届美国中学生数学竞赛题)函数 f(x)在 x=0 处没有定义,但对所有非零 实数 x 有 f(x)+2f=3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个,但并非一切非零实数 (E) 是一非零实数 解 f(x)+2f=3x.① 以换 x 得 f+2f(x)= ② 由①,②两式消去 f 得 3f(x)=-3x, ∴f(x)= -x.③ 又由 f(x)=f(-x),将③代入得 -x=+x, 即 -2x=0,2-x2=0, ∴x=± .故应选(B). (4)求函数值 例 7(1986 年北京高一竞赛题) f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986, 求 f[-1]. 解 设,则 2t+1=, 即 2t2+2t=55. ∴2t5+2t4-53t3-57t+54 =t3(2t2+2t)-53t3-57t+54 =2t3+2t2-2t2-57t+54 =55t-2t2-57t+54 =-2t2-2t+54=-1. ∴f()=(-1)1986=1. 2.正比便函数、反比便函数及一次函数 例 8 (1987 年浙江省初中竞赛题)已知 y=y1+,其中 y1 与 x 成正比例,y2 与 x 成反 比例,且当 x=2 和 x=3 时,y 的值都为 19.求 y 与变量 x 的函数关系式. 解 设 y1=k1x,y2=(k1,k2 均不为零), 则 y=y1+=k1x+. 将 x=2,x=3 代入 y=y1+得 ∴ y=5x+ 例 9(1986 年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数 y=ax+b(a≠0)有一组对应值 x=,y=0.

试证 y=ax+b 不能有二组以上的有理数的对应值. 证明 若 y=ax+b 存在两组不同的有理数对应值 (x1, y1),(x2, y2),而函数式为 y=a(x-), 故 ∵a≠0,消去 a 可得(y2-y1)=x1y2-x2y1. ∵x1y2-x2y1 是有理数. ∴y2-y1=0,即 y1=y2, ∴x1y1-x2y1=0. 即(x1-x2)y1=0. 若 y1=0,则 x1=,但这与假设矛盾,故不可能. ∴y1≠0,从而 x1=x2 也不可能. ∴y=ax+b 不能有两组以上的有理数的对应值. 3.二次函数 关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题. 例 10(1987 年浙江初中数学竞赛题)设二次函数 y=(a+b)x2+2cx-(a-b),其中 a,b,c 是三角形的三边,且 b≥a,b≥c.已知 x=-这个二次函数有最小值为-,求△ABC 三内角 A、B、C 的度数. 解散 由题设,二次函数图象的顶点坐标是 (-,-) ,即(). 于是 ①② 由①得 a+b=2c, 代入②得(b-c)+(b-a)=0. ∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0, 即 a=b=c.△ABC 为正三角形,A=B=C=60° . 例 11 (1989 年全国初中数学竞赛题)如图 31-1,△ABC 中,D、E 分别是边 BC、AB 上的点,且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC 的周长依次为 m,m1,m2,证明: 证明 由已知可得 DE∥AC,进而 △EBD∽△ABC∽△DAC. ① ∴② ③ ∴ 于是有 在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的. 4.其它 下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题. 例 12 (1978 年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为 a 的正三角形中,设点 P、Q、 R 在边 BC,CA,AB 上运动,并保持的关系,设,△PQR 的面积为 S. (1)用 x、y、z 表示 S; (2)求 S 的最大值; (3)求 S 取最大值时, 、 、的值. 解(1)S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ). ∵S△ABC=a2,

S△AQR=z(a-y)sin60° =z(a-y). 同样 S△BRP=x· (a-z), S△CPQ=y(a-x). ∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)] =a2-a(x+y+z)+ (yz+yx+xy) =a2-a2+(yz+yx+xy) =(yz+yx+xy). ① (2)将 z=a-x-y 代入①消去 z 得 S=[(a-x-y)(x+y)+xy] =-[x2+(y-a)y+y2-ay], ∴S=-) ≤ 当 x+时,上式取等号, 即 x=y=z=时,Smax=a2, (3)根据(2) ,当 S 取最大值时,x=y=z=. 在△CPQ 内,CQ=,CP=.由余弦定理得 最后,我们把视线转向分段函数的极值问题. 例 13(1968~1969 年波兰竞赛题)已知两两互异的实数 a1,a2,…,an.求由式子 (x 为实数)y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值. 解 我们首先研究一个简单的事实: 设 a<b,则 u=|x-a|+|x-b|= u 在 a≤x≤b 上每一点达到最小值: -a+b. ① 下面我们来研究原命题:对 a1,a2,…,an 重新按从小到大排序为 a1′,a2′,…an′. 于是,当 n 为偶数,即 n=2m 时,将原函数重新记为 y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1| +…+|x-am′|+|x-a′m+1). 令 y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在 ai≤x≤an+i 上取最小值-ai+an+1-i. 又∵每一个区间都包含着下一个区间,即[a1,an] [a2,an-1]…[am,am-1](“”读作包含,如 AB,读作 A 包含 B) ,因此它们的公共区 间为[am,am+1].由于在区间[am,am+1]每点上所有 yi 都取常数最小值,为了方便 令 x=am 或 x=am+1 于是 y 最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1 =-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an. 当 n 为奇数时,将原函数记为 y=(|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|) +…+(|x-am′|+|x-a′m+2|)+|x-a′m+1|. 类似上面的讨论,当 x=am+1 时, y 最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.

练习三十一 1.选择题 (1) (1989 年全国初中数学竞赛题)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 则下列 6 个代数式 ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b 中,其值为正的式子的个数 为( ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)4 个以上 (2)曲线|y|=x2-1 的图象(实线部分)大致形状是( ). (3) (1984 年全国竞赛题)若则下列等式正确的是( ). (A)F(-2-x)=-1-F(x) (B) (C)F(x-1)=F(x) (D)F(F(x) )=-x 2.填空题 (1)x,y 为实数,.则 x+xy+x2y 的值是_________. (2) (据 1990 年全国初中竞赛题改)方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k 是实数)有两个 实根 α、β,且 0<α<1,1<β<2,那么 k 的取值范围是______. 3.已知 f(a+b)=f(a)+f(b),且 f(1)=1. 求的值. 4.已知函数 y=|x-1|+|x-3|+.试求使 y 值恒等于常数的 x 值范围. 5.(1983 年全国竞赛题)已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(x)≤-1,-1≤f(2)≤5.求 f(3)的范围. 6.已知 0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且 x+y+z=1,求函数 W=2x+5y+4z 的最大、最小值. 7.(1987 年浙江初中竞赛题)二次函数 f(x)=ax2+bx+c 其中 a≠0,且 a、b、c 为实数. 对某一常数 t,如有 af(t)<0,试证:f(x)有不同的两个实数根,其中一个实根比 t 小, 另一实根比 t 大. 8.(浙江初中竞赛题)函数 f(x)对一切实数 x 满足 f(4+x)=f(4-x).若方程 f(x)=0 恰有 三个不同的实根,求这些实根的和是多少? 9.(1985 年江苏东台初中数学竞赛题)若 z2-2mz+m+6=0 的二实数根为 a、b,试 求(a-1)2+(b-1)2 的最小值. 10.(1983 年重庆初中数学竞赛题)等边△ABC 的边长为 a 有三个动点 P、Q、R 分别同时从 A、B、C 出发沿 AB、BC、CA 按逆时针方向以各自的速度作匀速直线 运动.已知 P 点由 A 到 B 需 1 秒,Q 点从 B 到 C 需 2 秒,R 点由 C 到 A 需 3 秒,在 一秒钟内,问开始运动多少时间△PQR 的面积最小?最小面积是多少?) 11.(1985 年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形 ABCD 边长依次为 2、2、3、1.问 在四边形 ABCD 变形为各种凸四边形的过程中,BD 的长的变化范围是什么?B 到 DC 距离的变化范围又是什么?

练习三十一 1.A. D. A. 2. 3. 4.当 5.①②(1)+(2)得③(2)+(3)得-1 6.由 z=1-x-y,∴W=4-2x+y.要求W的最大、最小值,只需求 y-2x 的最大、最小

值.设P(x,y)是坐标适合条件的点,则P在以为顶点的内(包括边界) .设 t=y-2x, 则 y=2x+t.由 t 的几何意义W最大值=5W最小值=4. 7.先证 、∈∈8.四个根之和为16. 9.先由 10. ∈11.如图(a)BD最大时,B、A、D在一直线上,BD=3.


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