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2013高中数学奥数培训资料之二次函数(1)


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料) §5 二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富内涵。在中学数学数材中,对二次 函数和二次方程, 二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质, 都有深入和反复的讨论与 练习。它对近代数学,乃至现代数学,影响深远,为历年来高考数学考试的一项重点考查内 容,历久不衰,以它为核心内容的重点试题,也年年有所变化,

不仅如此,在全国及各地的 高中数学竞赛中,有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此,必须透彻熟练地掌 握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点(-b/2a,(4ac-b /4a),顶点的由来体现了配方法 2 2 2) 2 (y=ax +bx+c=a(x+b/2a) +(4ac-b /4a);图象的平移归结为顶点的平移(y=ax → 2 y=a(x-h) +k);函数的对称性(对称轴 x=-b/2a,f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x),x?R),单 2) 2 调区间(-∞,-b/2a),[-b/2a,+∞]、极值((4ac-b /4a),判别式(Δ b -4ac)与 X 轴 的位置关系(相交、相切、相离)等,全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 (一元)二次函数 → 2 y=ax +bx+c (a≠0) ↑ ↑ (一元)二次三项式 → 2 ax +bx+c(a≠0)
↓ ↓ ↓
2

2)

a=0



(一元)一次函数 y=bx+c(b≠0) ↑ ↑ 一次二项式 bx+c(b≠0)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓

a=0



↓ ↓ 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0) → a=0 →

一元一次方程 bx+c=0(b≠0)


一元二次不等式 2 ax +bx+c>0 或 2 ax +bx+c<0(a≠0) → a=0 →


一元一次不等式
bx+c>0 或 bx+c<0(b≠0)

观察这个框图,就会发现:在 a≠0 的条件下,从二次三项式出发,就可派生出一 元二次函数,一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二 2 次三项式 ax +bx+c(a≠0)像一颗心脏一样,支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次 2 函数 y=ax +bx+c(a≠0),犹如“四个二次型”的首脑或统帅:它的定义域即自变量 X 的取值 2 范围是全体实数,即 n?R;它的解析式 f(x)即是二次三项式 ax +bx+c(a≠0);若 y=0,即 2 2 ax +bx+c=0(a≠0),就是初中重点研究的一元二次方程;若 y>0 或 y<0,即 ax +bx+c>0 或

ax +bx+c<0(a≠0),就是高中一年级重点研究的一元二次不等式,它总揽全局,是“四个 二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所 在,它直接影响着两大主干:一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可 看作二次函数的零点; 一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、 负值区间。 心脏、 头脑、 关键、主干、一句话,“四个二次型”联系密切,把握它们的相互联系、相互转化、相互利 用,便于寻求规律,灵活运用,使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式 上面提到, “四个二次型” 的心脏是二次三项式: 二次函数是通过其解析式来定义的 (要 特别注意二次项系数 a≠0);二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此,掌握二次 函数首先要会求解析式,进而才能用解析式去解决更多的问题。 y=ax +bx+c(a≠0)中有三个字母系数 a、b、c,确定二次函数的解析式就是确定字母 a、 b、c 的取值。三个未知数的确定需要 3 个独立的条件,其方法是待定系数法,依靠的是方 程思想及解方程组。 二次函数有四种待定形式: 1.标准式(定义式):f(x)=ax +bx+c.(a≠0) 2 2.顶点式: f(x)=a(x-h) +k .(a≠0) 3.两根式(零点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 4.三点式:(见罗增儒《高中数学竞赛辅导》) 过三点 A(x1,f (x1))、B(x2,f (x2))、C(x3,f (x3))的二次函数可设为 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把 ABC 坐标依次代入,即令 x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3), f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3), f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之,得:a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3),a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3),a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 从而得二次函数的三点式为: f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2) 根据题目所给的不同条件, 灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式, 将会得心应 手。
2 2

2

例题讲解
元素与集合的关系

1.

集合 A ={ y | y ? x 2 ? 2 x ? 4 }, B ={ y | y ? ax2 ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a 的 取值集合.

2.

考察所有可能的这样抛物线 y ? x 2 ? ax ? b 2 ,它们与坐标轴各有三个不同的交点,对 于每一条这样的抛物线,过其与坐标轴的三个交点作圆.证明:所有这些圆周经过一定 点.

3.

抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的顶点位于区域 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 1.0 ? y ? 1} 内部或边界 上,求 b 、 c 的取值范围.

4.

设 x = p 时, 二次函数 f (x) 有最大值 5, 二次函数 g (x) 的最小值为-2, p >0,f (x) 且
2 + g (x) = x ? 16x ? 13 , g ( p ) =25.求 g (x) 的解析式和 p 值.

5.

已知 0≤ x ≤1, f (x) = x ? ax ?
2

a (a ? 0) , f (x) 的最小值为 m . 2

(1)用 a 表示 m ;(2)求 m 的最大值及此时 a 的值.

6.函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ?
2 2

9 , x ?[― m ,1― m ],该函数的最大值是 25,求该函数 4

取最大值时自变量的值.

7.一幢 k (>2)层楼的公寓有一部电梯,最多能容纳 k -1 个人,现有 k -1 个学生同时 在第一层楼乘电梯,他们中没有两人是住同一层楼的.电梯只能停一次.停在任意选择的一 层. 而对每一个学生而言, 自已往下走一层感到一分不满意, 而往上走一层感到 2 分不满意, 问电梯停在哪一层,可使不满意的总分达到最小?

8.已知方程 (ax ? 1) 2 ? a 2 (1 ? x 2 ) ,其中 a >1,证明:方程的正根比 1 小,负根比 -1 大. 9.若抛物线 y ? x 2 ? ax ? 2 与连接两点 M (0,1), N (2,3)的线段(包括 M 、 N 两 点)有两个相异的交点,求 a 的取值范围.

10. x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ x4 ≥2, x2 + x3 + x4 ≥ x1 , 设 且 证明: x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 2 ? 4x1 x2 x3 x4 (

11.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ≥0 时, f (x) =- x ? 2 x .另一个函数 y = g (x) 的
2

定义域为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、 b ≠0.在 x ?[ a , b ]上, f (x) = g (x) .问: b a
2

是否存在实数 m ,使集合{ ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b]} ? {( x, y) | y ? x ? m} 恰含有两个元 素?

课后练习
1. 已知二次函数的图象过(-1,-6),(1,-2)和(2,3)三点,求二次函数的解析式。

2.二次函数的图象通过点(2,-5),且它的顶点坐轴为(1,-8),求它的解析式

3.已知二次函数的图象过(-2,0)和(3,0)两点,并且它的顶点的纵坐标为 125/4,求 它的解析式。

4.已知二次函数经过 3 点 A(1/2,3/4)、B(-1,3)、C(2,3),求解析式。

5.当 X 为何值时,函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) 取最小值。

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2

2

6.已知 x1,x2 是方程 x -(k-2)x+(k +3k+5)=0 (k 为实数)的两个实数根,x1 +x2 的最大值是: ( )
(A)19; (B)18; (C)50/9 (D)不存在

2

2

2

2

7.已知 f (x)=x -2x+2,在 x?[t,t+1]上的最小值为 g (t),求 g (t)的表达式。

2

8.(1)当 x +2y =1 时,求 2x+3y 的最值; (2)当 3x +2y =6x 时,求 x +y 的最值。
2 2 2 2

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课后练习答案
1. [解法一]:用标准式 ∵图象过三点(-1,-6)、(1,-2)、(2,3) ∴可设 y=f(x)=ax2+bx+c,且有 a-b+c=-6 ①,a+b+c=-2 ②,4a+2b+c=3 ③ 解之得:a=1,b=2,c=-5 ∴所求二次函数为 y=x2+2x-5 [解法二]:用三点式 ∵图象过三点(-1,-6),(1,-2),(2,3) ∴可设 y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2-
[a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)

计算可得:a1=-6/(-1-1)(-1-2)=-1, a2=-2/ (1+1)(1-2)=1, a3=3/ (2+1)(2-1)=1 ∴f(x)=x +2x-5 2. 解:∵它的顶点坐标已知
2

∴可设 f (x)=a(x-1)2-8 ,又函数图象通过点(2,-5), ∴a(2-1)2-8=-5 ,解之,得 a=3 故所求的二次函数为:y=3(x-1)2-8 即:y=f (x)=3x2-6x-5 [评注],以顶点坐标设顶点式 a(x-h)2+k,只剩下二次项系数 a 为待定常数,以另一条件 代入得到关于 a 的一元一次方程求 a,这比设标准式要来得简便得多。 3. 解:∵(-2,0)和(3,0)是 X 轴上的两点, ∴x1=-2,x2=3 可设 y=f(x)=a(x+2)(x-3) 2 2 2 =a(x -x-6)=a[(x-1/2) -25/4]=a(x-1/2) -25/4a 它的顶点的纵坐标为-25/4a ,∴-25/4a=125/4,a=-5 故所求的二次函数为:f (x)=-5(x+2)(x-3)=-5x +5x+30 [想一想]:本例能否用顶点式来求? 4. [分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式,但解方程组与求 a1、a2、a3 计算较繁。 仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析,注意到三点的特殊位置,则可引出如下巧解。 [解法一]: 顶点式: 由二次函数的对称性可知, B、 所连线段的中垂线 x=(-1+2)/2=1/2 点 C 即为图象的对称轴,从而点 A(1/2,3/4)必是二次函数的顶点,故可设顶点 2 式:f(x)=a(x-(1/2)) +(3/4) 把 B 或 C 的坐标代入得:f(-1)=a(-3/2) +(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得:a=1 ,∴f(x)=(x-(1/2)) +3/4=x -x+1
2 2 2 2

[解法二]由 B、C 的纵坐标相等可知 B、C 两点是函数 y=f (x)与直线 y=3 的交点,亦即 B、C 两点的横坐标是方程 f (x)=3 即 f (x)-3=0 的两个根故可设零点式为: f (x)-3=a(x+1)(x-2) 把 A 点坐标代入,有 f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2),即-9/4=-9/4a,a=1 从而 f (x)=(x+1)(x-2)+3=x -x+1 5.解:∵f (x)=(x -2a1x+a1 )+(x -2a2x+a2 )+?+(x -2anx+an )=nx -2(a1+a2?+an)x+(a1 +a2 +? 2 +an ) ∴当 x=((a1+a2+?+an)/n)时,f(x)有最小值。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[评注]:1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题,在测量某物理量的过程中,因 仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1、a2、?,an 共 n 个数据。我们规定的所测物 理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其它近似值比较,a 与各数据差的平方和最小, 依此规定,从 a1,a2,?an 推出 a= 读者从 5 的解答中,能否悟到解决此题的灵感? 6.解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k +3k+5 ∴x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=(k-2) -2(k +3k+5) 2 2 =-k -10k-6=-(k+5) +19 如果由此得 K=-5 时,(x1 +x2 )max=19,选(A),那就错了。为什么?已知该 x1,x2 是 方程的两个“实数”根,即方程必须有实数根才行,而此时方程的判别式Δ ≥0,即
Δ =(k-2) -4(k +3k+5)=-3k -16k-16≥0 ①
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

解①得:-4≤k≤-4/3
∵k=-5 [-4,-4/3],设 f(k)=-(k+5) +19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18
2

∴当 k=-4 时,(x1 +x2 )max=18, ∴选(B) [评注]:求二次函数最值时,必须首先考虑函数定义域。否则,审题不慎,忽略“实数” 二字,就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。 7. 解:f (x)= (x-1) +1 (1)当 t+1<1 即 t<0 时,g(t)=f(t+1)=t +1 (2)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,g (t)=f (1)=1 (3)当 t>1 时,g(t)=f (t)=t -2t+2
2 2 2

2

2

综合(1)、(2)、(3)得: 8.解:(1)由 x +2y =1 得 y =1/2(1-x ),代入 2 2 2 2x+3y =2x+(3/2)(1-x )=(-(3/2))(x-(2/3)) +(13/6) 又 1-x =2y ≥0,∴x ≤1,-1≤x≤1 ∴当 x=2/3 时,y=(√10)/6,(2x+3y )max=16/3;
2 2 2 2 2 2 2 2

当 x=-1 时,y=0, (2x+3y )min=-2
(2)由 3x +2y =6x,得 y =(3/2)x(2-x),代入 x +y =x +(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3) +9/2
2 2 2 2 2 2 2

2

又 y =(3/2)x (2-x)≥0,得 0≤x≤2 当 x=2,y=0 时,(x +y )max=4;当 x=0,y=0 时,(x +y )min=0
2 2 2 2

2

例题答案:
1 . 解 : A 、 B 分 别 表 示 函 数 y ? x 2 ? 2 x ? 4 与 函 数 y ? ax2 ? 2x ? 4a 的 值 域 . 由

x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3≥3 知 A =[3,+∞).而 B 受参数 a 的影响,要进行讨论.

a =0 时, y ? ?2 x ,值域是 R 符合条件 A ? B .

a ≠ 0 时 , f (x) = ax2 ? 2 x ? 4a 是 二 次 函 数 , 如 果 a < 0 , 该 函 数 的 值 域 为
1 1? ? ? ? ?,4a ? ? ,这时 A B 不成立.如果 a >0 时,由[3,+∞] ? [ 4 a ? ,+∞],得 a a? ?

?a ? 0 ? ?4a ? 1 ? 3 ∴ 0< a ≤1 ? a ? 综上所述, a 的可取值集合为{ a |0≤ a ≤1}。
说明:参数 a 的取值决定了函数 f (x) = ax ? 2 x ? 4a 的类别及性质,因而对该函数的值域
2

有影响.为了由 A ? B 求出 a 的允许值范围,必须对参数 a 分情况讨论. 2.证明:设抛物线 y ? x 2 ? ax ? b 2 与 x 轴的交点为( x1 ,0)、( x2 ,0).由韦达定理 知 x1 ? x2 ? ?b 2 <0 (因为 b =0,则 y ? x 2 ? ax 与坐标轴只有两个不同的交点),故点( x1 ,

0)、( x2 ,0)在坐标原点的两侧.又因为 | x1 | ? | x2 |?| ?b 2 | ?1 ,由相交弦定理的逆定理 知,点( x1 ,0)、( x2 ,0)、(0, ? b ),(0,1)在同一个圆周上,即过抛物线与
2

坐标轴的三个交点( x1 ,0)、( x2 ,0)、(0, ? b )的圆一定过定点(0,1).于是
2

所有的这些圆周均经过一定点(0,1).

b 4c ? b 2 3.解:抛物线的顶点坐标为( ? , ),故 2 4

b ? ? 0 ? ? 2 ?1 ? 2 ?0 ? 4c ? b ? 1 4 ?

?? 2 ? b ? 0 ? b2 , ? ?b 2 ? 4 ? c ? 4 ?1 ? 上式即为 b 、 c 的取值范围.
2 4.解:由题设 f ( p ) =5, g ( p ) =25, f ( p) ? g ( p) = p ? 16 p ? 13 ,所以

p 2 ? 16 p ? 13 =30,解得

p =1 ( p = -17 舍去).由于 f (x) 在 x =1 时有最大值 5,

2 故设 f (x) = a( x ? 1) ? 5, a ? 0

所以

g (x) = x 2 ? 16x ? 13 - f (x) = (1 ? a) x 2 ? 2(a ? 8) x ? 8 ? a ,因 g (x) 的最小

值为-2,故

4(1 ? a)(8 ? a) ? 4(a ? 3) 2 ? ?2 ,所以 a ? ?2 .从而 g (x) = 3x 2 ? 12x ? 10 . 4(1 ? a)

a 2 a a2 a a a2 5. (1) f (x) 改写成 f (x) = ( x ? ) ? ? 解: 把 . 于是知 f (x) 是顶点为 ( , ? ) , 2 2 4 2 2 4
开口向上的抛物线.又因为 x ?[0,1],故当 0<

a ≤1,即 0< a ≤2 时, f (x) 的最小值为 2

a a a2 f( )? ? ; 2 2 4

?a a2 ? ? , (0 ? a ? 2) a a 4 当 >1,即 a >2 时, f (x) 有最小值 f (1) ? 1 ? .于是 m ? ? 2 a 2 2 ? 1? , (a ? 2) 2 ?
(2)当 a >2 时, 1 ? 最大值为

a 1 1 a a2 2 的值小于 0,而当 0< a ≤2 时, ? = ? ( a ? 1) ? ,它的 2 4 4 2 4

1 1 (当 a =1 时取得),故 m 的最大值为 ,此时 a =1. 4 4

说明: 对于某些在给定区间上的二次函数最值问题, 往往需要把顶点和区间端点结合起来考 虑. 6. 分析: 限定在区间[― m ,1― m ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况. 当

9 1 x 可取任意实数时,二次函数 ? 3 x 2 ? 3 x ? 4m 2 ? 的图象是对称轴为 x ? ? 开口向下的 4 2 1 抛物线,? 与区间[― m ,1― m ]的位置关系决定了已知函数的单调状况,因此要分区间讨 2
论. 当?

1 1 1 3 2 ? [ ― m ,1 ― m ], 即 ? m ? 时 , 最 大 值 应 是 f ( ? ) ? 4m ? 3 . 由 2 2 2 2
1 3 1 3 11 22 ,不符合 ? m ? 的条件.可见 m ? [ , ] . 得 | m |? 2 2 2 2 2 2

4m2 ? 3 =25, m 2=
当?

1 3 9 2 2 >1― m ,即 m > 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? , x ?[― m ,1― m ] 2 4 2 15 5 23 23 2 ? 25 , 是增函数, 可见 f (1 ? m) ? m ? 9m ? 解之得 m = 或 m = ? . 其中 m = ? 4 2 2 2 3 5 3 不合 m > 的条件,舍去.可见 1― m =1- =- . 2 2 2 1 1 9 2 2 当 ? <― m , m < 时,函数 f (x) = ? 3 x ? 3 x ? 4m ? 是[― m ,1― m ]是减函 即 2 4 2 9 7 13 7 1 2 数,可见 f (?m) ? m ? 3m ? ? 25 ,解之得 m = 或 m = ? .其中 m = 不合 m < 的 4 2 2 2 2 13 3 13 条件,舍去,由此知 m = ? . 综上所述,当 x =- 或 x = 时, 函数 f (x) 有最大值 25. 2 2 2 1 说明:由点 ? 与区间[― m ,1― m ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作 2
用. 本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 x 的值, 没有问 m 的值, 但这个 x 值与 m 值 有直接关系,所以要先求 m 再求 x . 7.解:设电梯停在第 x 层,则不满意的总分为 S =(1+2+?+ x -2)+2(1+2+?+ k

- x )= [3x ? (4k ? 5) x] ? k ? k ? 1 ,所以当 x = N (
2 2

1 2

4k ? 5 ) 时, S 最小,其中 N (a ) 表 6

示最接近于 a 的整数.例如 N (3) ? 3, N (3.6) ? 4, N (2.1) ? 2, N (2.5) ? 2或3 ,故当电梯停 在 N(

4k ? 5 ) 时,不满意总分最小. 6
2 2 2 2 2 2

8.证明:原方程整理后,得 2a x ? 2ax ? 1 ? a =0,令 f (x) = 2a x ? 2ax ? 1 ? a ,则

f (x) 是开口向上的抛物线,且 f (0) ? 1 ? a 2 ? 0 ,故此二次函数 f (x) =0 有一个正根,一
个负根. 要证明正根比 1 小, 只须证 f (1) ? 0 , 要证明负根比 -1 大, 只须证 f (?1) >0. 因



f (1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0 f (?1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0

从而命题得证.

9.解:易知过两点(0,1)、(2,3)的直线方程为 y ? x ? 1 ,而抛物线 y ? x 2 ? ax ? 2
2 与线段 MN 有两个交点就是方程 x ? ax ? 2 ? x ? 1 在区间[0,2]上有两个有两个不等的实

根.令 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 1.则 ?
2

a ?1 ? ?0 ? ? 2, ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 解得 的范围为 a 2 ? f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 2a ? 3 ? 0 ?

?

3 ≤ a ≤-1. 2
2

说明:利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段. 10.证明:令 a = x2 + x3 + x4 , b ? x2 x3 x4 ,则原不等式为 ( x1 ? a) ? 4 x1b ,即
2 2 x1 ? 2(a ? 2b) x1 ? a 2 =0,令 f (x) = x ? 2(a ? 2b) x ? a 2 ,则只需证明 f ( x1 ) ≤0.因

? ? 4(a ? 2b) 2 ? 4a 2 ? 16b(b ? a) ,而

a x 2 ? x3 ? x 4 1 1 1 ≤ ? ? ? ? b x 2 x3 x 4 x 2 x3 x3 x 4 x 2 x 4

1 1 1 3 ? ? ? ? 1 ,所以 b ? a ,从而 ? >0, f (x) 与 x 轴有两个不同的交点.易知这两个 4 4 4 4
交点为

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a)

,下证 x1 ?[ u, v ].

a a ? 3x1 ? 3a, ? x1 ? [ , a] ,只 3

需证[

a a , a ] ? [ u, v ],即 u ? , a ? v ,由于 v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? 2b ? a ? a , 3 3

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? ( b ? b ? a ) 2 ? (

a b ? b?a

)2 ? (

a b b ? ? 1) 2 a a

? (

a 4 1 2 ? ) 3 3

?

a 3

所以 x1 ?[ u, v ],从而必有 f ( x1 ) ≤0.

解 法 二 : 只 需 证 明 f ( x1 ) ≤ 0 , 而

a a ? x1 ? a , 因 此 只 需 证 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 而 3 3 a 4 a 3 a f (a) ? 4a(a ? b) , f ( ) ? a(4a ? 3b) ,由 ? 可证得 f (a ) ? 0, f ( ) ? 0 3 9 b 4 3

说明:通过构造二次函数,然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题,往往会使问题 简化. 11.分析:{ ( x, y) | y ? x 2 ? m }是以 y 轴为对称轴由 y = x 的图象平移所形成的抛物线
2

系. 对给定的 m 它表示一条抛物线, 条件 ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b] ? {( x, y) | y ? x 2 ? m} 恰含有两个元素的意思是函数 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象与抛物线 y ? x 2 ? m 恰有两个 交点.首先要弄清楚 y = g (x) , x ?[ a , b ],进而作出它的图象. 容易求出奇函数 y = f (x) 在 x <0 时的解析式是 f (x) = x ? 2 x .即
2

? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) f (x) = ? 2 ? x ? 2 x ( x ? 0)
函数 y = g (x) 的定义域为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、 b ≠0,这表明 b a

?a ? b ?1 1 ? ? ?b a ?
可见 a 、 b 同号.也就是说 y = g (x) , x ?[ a , b ]的图象在第一或第三 象限内. 根据 f (x) = g (x) x ?[ a , b ]以及 f (x) 的图象可知, ( 函数 g (x) 的图象如所示曲线的一部分. 值域与函数的单调状况有关,又与定义域有关.如果只考虑 0< a < b <2 或-2< a < b <0 两种情况,不能准确地用, a 、 b 表示出值域 区间的端点,因此要把区间(0,2),(-2,0)再分细一些,由图中 看出,当 a 、 b >0 时,考虑以下三种情况较好.0< a < b ≤1,0< a <1< b ,1≤ a < b <2. 如果 0< a < b ≤1,那么 [

1 >1.但是 x ?(0,1]时, f (x) ≤1,这与 g (x) 的值域区间 a

1 1 , ]的右端点大于 1 矛盾.可见不出现 0< a < b ≤1 的情形. b a ?1 2 ? b ? g (b) ? ?b ? 2b 如果 1≤ a < b <2,由图看出 g (x) 是减函数,可见 ? 整理得 1 2 ? ? g ( a ) ? ? a ? 2a ?a

?a ? 1 ?( a ? 1)( a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ,考虑到 1≤ a < b <2 的条件,解之得 ? 1? 5 . ? 2 b? ? (b ? 1)( b ? b ? 1) ? 0 ? 2 ?
完全类似地,考虑到-1≤ a < b <0,-2< a <-1< b <0,-2< b < a ≤-1 三 种情况后,可以在-2< b < a ≤-1 的情况下通过值域条件得出

? ?a ? ? 1 ? 5 , 这就得 ? 2 ? b ? ?1 ?

到了函数

? 2 ? ? x ? 2x ? g ?( x) ? ? ? x 2 ? 2x ? ?

(1 ? x ? (

?1? 5 ? x ? ?1) 2

1? 5 ) 2

对于某个 m ,抛物线与函数 g ?(x ) 的图象有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交 点在第三象限.因此, m 应当使方程 x ? m ? ? x ? 2 x ,在[1,
2 2

1? 5 ]内恰有一个实数 2

根, 并且使方程 x ? m ? x ? 2 x , 在[
2 2

?1? 5 ,?1 ]内恰有一个实数根.问题归结为求 m , 2

? 2 ?2 x ? 2 x ? m ? 0 ? 使? ? x? 1m ? 2 ?
2 x ? 2 x 2 ? m 在 [1,

1? 5 ]内恰有一个实根 ? (1) ? 2 由(1)得,方程 ?1? 5 在[ ,?1]内恰有一个实根 (2) ? 2 在[1,

1? 5 1? 5 ) ? m ? h(1) 即 ] 内恰有一根,设 h( x) ? 2 x ? 2 x 2 ,则 h( 2 2 ?1? 5 1 ? m ? ?1 ,即 ? 1 ? 5 ? m ? ?2 ,∴ m =-2.易证, 2 2 5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

? 2 ? m ? 0 ,由(2)得

抛物线 y ? x ? 2 与函数 g (x) 图象恰有两个交点(―1,―1)和(
2

综上所述:题目条件下的实数 m =-2. 说明:解题过程可分为“求函数 y ? f (x) ”, “求函数 y ? g (x) ”, “求 m ”三个阶段.求 函数 y ? g (x) 的关键步骤是求 a, b 的值.运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程, 最终把求 m 的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题.
2 可以看出,当 m ?(-2,0)时,抛物线 y ? x ? m 与函数 y ? g (x) 的图象在第一象限内

有一个交点,当 m ? ? 1 ? 5,?2 时,在第三象限内有一个交点.

?

?


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