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2014年高中数学难点:代数不等式的解法·例题 有解析答案


2014 年高中数学难点:代数不等式的解法·例题 例 5-3-1 解 解不等式 16x+x4-x5<16。 原不等式可同解变形为 x5-x4-16x+16>0。 左边分解因式,得同解不等式 (x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)>0 用数轴标根法,得不等式的解集为{x|-2<x<1 或 x>2}。 注 解实系数一元高次不等式,可先把最高次项的系数化为正数,并使右边

为 0,再通过因式分解,将左边变形,最后用数轴标根法求解集。 例 5-3-2 (1)已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(-∞,α )∪(β ,+ ∞)。求 ax2+bx+c>的解集,并说明 b 的取值范围 a,c 的关系; (2)若 a<0,解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2>0。 解 (1)由题设知,a<0。所以, (x-α )(x-β )<0 由此可知,当α ≠β 时,不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α <x<β };当α = β 时,不等式无解。 又由题设 a<0,且 b2-4ac≥0,即 b2≥4ac。因此,当 c≥0 时,有 4ac≤0,这 时 b 可取任意实数;当 c<0 时,则 4ac>0,这时 -1- (2)由于 a<0,从而 a-1<0,故所给不等式同解于 若 b=0,此不等式即为 x2<0。这时无解; 解集为 注 解一元二次不等式时,应充分利用二次函数的图象,通过形数结合,提 高解题的速度。 解 [法一] 移项、化简,原不等式同解于 (x+1)x(x-1)(x-3)<0 由下图可知,原不等式的解集是 {x|-1<x<0 或 1<x<3} [法二] 原不等式同解于不等式组 -2- 故(Ⅰ)的解集为{x|1<x<3};(Ⅱ)的解集为 x|-1<x<0。从而所求解集为 {x|1<x<3}∪{x|-1<x<0}={x|1<x<3 或-1<x<0} 注 系。 将不等式同解变形为不等式组时,要注意区分解集的“交”、“并”关 例 5-3-4 解下列不等式: 解 (1)原不等式同解于不等式组 解不等式组(Ⅰ),得 0<x<1,(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是 {x|0<x<1} (2)令 t=x2-x,则原不等式化为 此不等式的允许值集确定于不等式组 另一方面,不等式(i)可化为 -3- 注 解含根式的不等式,关键在于去掉根号,使之化为有理不等式。去掉二 次根号的常用方法是平方法,有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。 无论采用哪种方法,都要注意转化的同解性。 例 5-3-5 解下列不等式: 解 (1)原不等式可化为 -4- (2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为 两边立方,得 化简并整理后即为 解前一不等式组得 x>4;后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x>4}。 例 5-3-6 解关于 x 的不等式: 当 a<0 时,由(i)得 t>1-a>0,即 当 a=0 时,(i)无解; -5- 于是, 当 a≥1 时,(i)无解。 综上所述,当 a<0 时,原不等式的解集为 当 a=0 或 a≥1 时,原不等式无解。 注 本例既涉及变量代换,又涉及参数的讨论,综合性较强,但并不需要高 超的技巧,按常规方法即可解决。关键是变量代换,难点是严 间,要认真领会。 -6- -7-

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