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第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动:《直线方程的概念与直线的斜率》教学设计说明


§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
教学设计说明 一【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学必修 2(B 版) 》第二章第二节第一课时,直线方程的 概念与直线的斜率,教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等 概念。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度,倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度,斜率是 从数量关系上刻画了直线的倾斜程度。直线的倾斜角是几何概念,它主要起过渡作用,是联系新旧知识的 纽带;而斜率则是代数量,建立斜率公式的过程,体现了解析法的基本思想:把几何问题代数化,通过代 数运算研究几何图形的性质,而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用, 是本节课的重点.同时,本节课是第一次用方程研究直线,为后续研究曲线起到一个示范作用.

二【目标分析】 (1) 、理解直线的倾斜角和斜率的定义;掌握斜率公式,并会求直线的斜率. (2) 、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示,以提高学生分析、比较、概括、 化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路,培养学生综合运用知识解决问题的能 力. (3) 、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与“形”的内在 联系,体现数、形的统一美,激发学生学习数学的兴趣.

三.【教学问题诊断】 学情分析之知识储备:1.学生之前已经学习了函数的图象和性质,现在基本会画简单函数的图象,也会通 过图象去研究理解函数的性质,初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念,教材是由一次函 数的图像引入的,是将一次函数与其图像的对应关系,转换成直线方程和直线的对应关系。这样引入比较 自然,符合学生的认知特点。2.直线方程的学习安排在三角函数之前,因此,倾斜角的正切等于斜率,这 一事实还不能直接引入。在研究斜率与倾斜角的关系时,由于没有三角函数的知识,学生接受起来比较困难, 这是本节课的难点.在这部分内容的研究中,鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会,让学生在实 践中体验二者的联系,学生充分利用特值验证,或斜率公式作出解释,教师再利用几何画板演示变化关系, 给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点. 学情分析之心理准备:对现在的高中生来说,他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。其中相当一部分学 生可以把握正确的阅读方法来理解材料内容的大意和结构,有目的的检索有关的阅读信息。而由于数学语 言的特殊性,数学阅读要求学生在阅读中必须不断的同化和顺应新的数学概念、术语及符号,不断进行假

设、预测、检验、推理和想象,不断的观察、比较、分析、综合、抽象和概括。所以教师要适时指点,围 绕重点展开讨论和交流,鼓励学生发表独立见解,引导他们在阅读探究中主动获取知识,形成能力.

四.【教法分析】 综合以上分析, 教法上本着“教是为了不教”的教学思想,主要采用自学、阅读、问题探究式教学与 学习方法。通过鼓励学生阅读课本,引导学生捕捉数学问题并解决问题,让学生自主探索与合作交流相结 合,使学生从懂到会到悟,提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学,增强教学的直观性,提高课 堂效率。 教学过程设计如下: 环节一 新课引入 展示数学教育家波利亚名言:学习任何东西,最好的途径是自己去探究发现.提出阅读是探究知识的重要手 段.揭示本节课研究方式:自主阅读,探索研究! 【设计意图】通过声情并茂的激励语,鼓励学生认真阅读,自主探索,大胆尝试! 环节二 概念探究(一)

自学阅读:阅读课本 74 页内容,自主探究直线方程的概念. 概念形成: 教师提出问题 1 问题 1:本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的? 学生活动:学生分析讨论,师生共同总结。 强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解,2.以方程的解为坐标的点都在直线上,两者缺一 不可. 学生可能还会发现:有的方程不一定是函数,引导学生举例说明如 x ? 2 ,教师指出,用函数表示直线不 全面,用方程更全面 【设计意图】在学生读书思考的基础上,通过教师的指点,围绕重点展开讨论和交流,鼓励学生发表独立 见解。层层深入,与学生共同体会概念的严谨,感受学习的乐趣。 概念深化:思考:如图, (1)直线 l 的方程是

y ? 1 吗?为什么? x

(2)直线 l 的方程是 x( x ? y) ? 0 吗?为什么? 学生讨论交流得出: (1)

y ? 1 不满足直线上所有点的坐标是方程的解(2) x

所以均不是直线的方程.教师及时强调定义的两部 x( x ? y) ? 0 不满足以方程的解为坐标的点都在直线上, 分内容缺一不可。 【设计意图】加深对直线方程的概念的理解,使学生明确直线方程的概念的两部分缺一不可.

环节三

概念探究(二)

自学阅读:如何通过方程研究直线的问题,我们需要哪些工具?请学生带着问题阅读课本第 75 页内容. 学生边读边思考,教师合理安排阅读时间,控制阅读进程 【设计意图】根据不同的阅读任务和性质,向学生提出阅读要求,让学生带着问题边阅读边思考,使阅读 更有效. 概念形成 本部分内容主要涉及哪些概念?(斜率和倾斜角). 问题 2:能谈谈你对斜率的认识吗? 学生可能会回答直线斜率的定义,以及已知直线上两点 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 ? x 2 ,如何求斜率的公式。 教师进一步引导:两点间斜率公式有什么注意事项吗? 引导学生讨论,学生代表发言: (一)垂直于 x 轴的直线无斜率 (二)斜率公式与直线上点的位置无关, 学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题, 此处渗透了数形结合的思想 (三) 斜率的几何意义. 教师总结点评. 思考:关于斜率,你还有其它认识吗? 这是一个发散性问题,学生一般会联系物理学中 s ? vt ,速度就是斜率, 教师引导学生发现斜率与函数单调性的关系 学生活动:在学生读书思考的基础上,通过教师的指点,围绕重点展开讨论和交流,鼓励学生发表独立见 解。关于对斜率公式的注意事项,其他学生补充,教师完善总结。引导他们在交流中主动获取知识,形成 能力. 问题 3:反映直线倾斜程度的量,除了代数角度的斜率,还有别的量吗?请一名同学谈谈对倾斜角的认识. 学生不难回答出倾斜角的定义和范围. 【设计意图】以问题研讨的形式替代教师的讲解,分化知识点、解决重点,给学生“数学创造”的体验, 有利于学生对知识的掌握, 并强化对斜率的理解. 学生在讨论、 合作中解决问题, 充分体会成功的愉悦. 思 考题是发散性问题,鼓励学生注意学科间以及所学知识前后的联系.

环节四

概念探究(三)

问题 4: 斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度,两者之间有什么关系? 学生活动: 教师给学生提供一个交流、讨论的氛围,相互学习,相互补充.请小组代表到讲台讲解,教师及 时点评补充,最后教师可借助动画展示,让学生有更直观深刻的印象. 思路一: 特值验证:已知 A (1,0) B (3,1) C ( 2,1) ,D (1,1) E (1,0) , F (?2,1) 求直线 AB,AC,AD,AE,AF 的斜率,并判断 这些直线的倾斜角是锐角,直角还是钝角。并观察出倾斜角随斜率变化的情况. 思路二: 以斜率为正值的两条不平行的直线为例,分别取两点,使得⊿x 相同,比较⊿y 的大小关系,进而判断斜率 大小,再观察倾斜角的大小,进而得出结论. 教师提供思路三 :

教师演示几何画板做出的动画. 思考:斜率与倾斜角之间还有别的关系吗? 学生结合初中所学直角三角形知识回答:在倾斜角为锐角情况下,斜率等于倾斜角的正切值. 教师补充:钝角情况同样适用,但目前超出了我们的知识范围,关于斜率和倾斜角的关系,我们将在必修 4 中再次讨论。 【设计意图】斜率与倾斜角的关系是本节课的难点.学生在自主探索,自由想象和相互交流的过程中,充 分感受到成功和失败的情感体验,深刻地领会到数形结合思想在解决问题中所起的作用. 第一种方法学 生容易想到,第二种方法体现了斜率公式的应用,第三种动画演示可以使学生有更直观深刻的印象.通过讨 论交流演示,层层深入,突破本节课难点. 环节五 知识应用

1.求下列直线的斜率

1 x ?1 3 (2) 3x ? 5 y ? 2 ? 0 (3)已知直线上两点 A(a, c), B(b, c)a ? b 1 1 2.求斜率为 ? . 且过点(2, )的直线方程,并画出图象 3 2
(1) y ? 3.判断正误: (1)任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 (2)直线的倾斜角越大,斜率也越大 (3)平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或 180 4. 如图所示,直线 l1 , l 2 , l3 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,则: ) (
? ?

A.k1 ? k 2 ? k 3 C.k 3 ? k 2 ? k1

B.k 3 ? k1 ? k 2
D k1 ? k 3 ? k 2

学生回答,教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中,教师做好课堂巡视,加强对学生个别指导。

【设计意图】巩固所学知识,有助于保持学生自主学习的热情和信心。,第一题总结求直线斜率的方法,第 二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析, 第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系。 问题由学生解决,解题后的反思总结由学生自主完成,教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能 力

环节六

小结与作业

引导学生从知识和方法两方面总结本节课所学内容,教师补充完善.布置作业. 【设计意图】让学生大胆发言,归纳总结本节课的收获,教师及时点评。充分肯定学生的学习成果,鼓励 学生阅读思考,进一步提高自主学习的能力.分层次布置作业,让各层次学生均得以发展

五.【设计特色】 本节课的教学设计始终本着这样的理念 “不但要教给学生知识,更重要的是教给学生获取知识的能力”, 而阅读是自学的重要形式, 自学能力的核心是阅读能力。 因此, 教会学生学习的重头戏就是教会学生阅读, 培养其阅读能力。希望能做到授人以渔,而非授人以鱼。所以,这节课既是一堂新课又是一堂自学阅读课. 整个教学过程, 鼓励学生自主阅读,探索研究学习,从激发学生学习的内驱力入手,把课堂还给学生。提 倡在学生读书思考的基础上,通过教师的指点,围绕重点难点展开讨论和交流,鼓励学生发表独立见解, 引导他们在阅读探究中主动获取知识,形成能力,改变过去我们熟悉的“教师讲,学生听”“教师问学生 , 答”及大量演练习题的模式。符合学生的认知规律和心理特点,重视思维训练,发挥学生的主体作用,注 意数学思想方法的溶入渗透.整个教学设计中,特别注重以下几个方面: (1)注重学生参与知识的形成过程,动手、动口、动脑相结合,使他们“读”有所思,“学”有所获, 增强学习数学的信心,体验学习数学的乐趣。 (2)有效指导学生阅读的方法,鼓励学生做探究式阅读,而非被动接受式阅读。,使其养成“边阅读, 边思考”的阅读习惯,有利于其数学能力的发展,进而促进其终身学习能力的提高。 (3)注重师生之间、同学之间的交流,使学生在充满合作机会的群体交往中,学会沟通、互助、分享和 合作,实现知识、情感、态度和价值观的完善。 以上是我对本节课的一点认识,不足之处,敬请各位专家指正! !


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